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第六讲　对数与对数函数
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数
转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的
3.体会对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝
logax(a＞0，且 a≠1)互为反函数.
概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数
性质 底数的限制条件：a>0，且a≠1
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN
负数和零没有对数
1的对数是0：loga1＝0
1.对数
性质 底数的对数是1：logaa＝1
对数恒等式：alogaN＝N
运算
性质 loga(M·N)＝logaM＋logaN 　 a>0，且a≠1，
　 M>0，N>0
loga ＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底
公式 logab＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)
【名师点睛】换底公式的三个重要结论
(3)logab·logbc＝logac.
其中 a，b，c 均为不等于 1 的正数，m，n∈R，m≠0.
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
2.对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0性质 过定点(1，0)，即 x＝1 时，y＝0
当 x>1 时，y>0；
当 01 时，y<0；
当 00
在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减
3.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)
互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称.
【名师点睛】
对数函数的图象与底数大小的比较如图所
示，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交
点的横坐标为相应的底数.
故 0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐
增大.
考点一 对数的运算
解析：由9a＝45得a＝log945＝log9(5×9)＝log95＋log99＝
log95＋1＝b＋1，所以 a＝b＋1，所以 a－b＝1，B 选项正确，其
他选项不正确.故选 B.
答案：B
答案：64
【题后反思】对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数
指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合
并.
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用
对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
考点二 对数函数的图象及应用
[例 1](1)(多选题)若函数f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，
且 a≠1，则函数 f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可
能是(
)
A
B
C
D
解析：易知g(x)＝loga|x|为偶函数.当0＜a＜1时，f(x)＝ax-2单
调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时 A 选项符合题
意；当 a＞1 时，f(x)＝ax-2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单
调递增，此时 D 选项符合题意.故选 AD.
答案：AD
(2)(2024年浙江阶段练习)已知实数a，b满足log3a＋a＝3b＋
)
b＝2，则(
A.1C.1B.a<1D.b<1解析：因为 log3a＋a＝3b＋b＝2，
所以 log3a＝2－a，3b＝2－b，
设 f(x)＝log3x，g(x)＝3x，h(x)＝2－x，
则 a 是 y＝f(x)与 y＝h(x)的图象交点的横坐标，b 是 y＝g(x)与
y＝h(x)的图象交点的横坐标，在同一坐标系中，作出 y＝f(x)，
y＝g(x)与 y＝h(x)的大致图象，如图.
结合图象可知 b<1答案：D
【题后反思】利用对数函数的图象解决问题的技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，
在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结
合思想.
(2)对一些对数型方程、不等式问题，常将其转化为相应的函
数图象问题，再利用数形结合法求解.
【变式训练】
1.函数 y＝ln (2－|x|)的大致图象为(
)
A
B
C
D
答案：A
解析：问题等价于函数 y＝f(x)与 y＝－x＋a 的图象有且只有
一个交点，结合图可知 a>1.
答案：(1，＋∞)
类型 方法
logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
考点三 对数函数的性质及应用
考向 1 解对数方程、不等式
通性通法：求解对数不等式的两种类型及方法
[例 2](1)方程 log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________.
(2)(2024 年北京阶段练习)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在
[0，＋∞)上为单调函数，f(－1)＝－1，f(2)＝1，若|f(log2t)|≤1，则
t 的取值范围是__________________________.
解析：因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，又 f(－1)＝－1，所
以 f(1)＝－1，
由|f(log2t)|≤1，可得－1≤f(log2t)≤1，又f(x)是定义在R上的偶函数，
所以－1≤f(|log2t|)≤1，又f(2)＝1，所以f(1)≤f(|log2t|)≤f(2)，
底数、真数情况 比较方法
底数相同 若底数为同一常数，可利用对数函数的单调
性直接进行判断；若底数为同一参数，则需
对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助 1，0 等中间量进行比较
考向 2 比较指数式、对数式的大小
通性通法：比较对数值大小的方法
A.c＜b＜a
C.b＜a＜c
B.c＜a＜b
D.b＜c＜a
答案：A
(2)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，
(
)
A.aC.bB.bD.c答案：A
考向 3 对数型复合函数的单调性问题
通性通法：(1)对于y＝logaf(x)型的复合函数的单调性：函数
y＝logaf(x)的单调性与函数u＝f(x)[f(x)>0]的单调性在a>1时相同，在0(2)研究y＝f(logax)型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f(t)的单调性即可.
【考法全练】
解析：a＝3-2.5，c＝3-2.3，∴1＝30＞3-2.3＞3-2.5，且b＝log35＞
log33＝1，∴a＜c＜b.故选 D.
答案：D
答案：BD
⊙数形结合探讨对数函数的性质
[例5]已知函数 f(x)＝|log2x|，正实数 m，n 满足 mf(m)＝f(n).则 m＋2n 的取值范围是(
)
解析：正实数 m，n 满足 m数 f(x)＝|log2x|的草图，由图可知 01.
f(m)＝|log2m|＝f(n)＝|log2n|，
答案：C
【反思感悟】利用对数函数的性质，解题时要注意数形结合、
分类讨论、转化与化归思想的使用.
【高分训练】
1.(2024年天津南开阶段练习)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c 　　　　　　　 B.bC.a解析：令f(x)＝3x＋x＝0，则3x＝－x，
即f(x)＝3x＋x的零点为函数y＝3x与y＝－x图象交点的横坐标；
令g(x)＝log3x＋2＝0，则log3x＝－2，
即g(x)＝log3x＋2的零点为函数y＝log3x与y＝－2图象交点的横坐标；
令h(x)＝log3x＋x＝0，则log3x＝－x，
即h(x)＝log3x＋x的零点为函数y＝log3x与y＝－x图象交点的横坐标.
画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x
＋x 的零点依次是点 A，B，C 的横坐标，由图象可知 a答案：C
2.已知方程2－x－|log2x|＝0的两根分别为x1，x2，则(　　)
A.1B.x1x2>2
C.x1x2＝1 　　　　
D.0答案：D

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