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山东省德州市临邑县2025年九年级第二次练兵考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（ ）
A． B． C．0 D．4
2．下列四个前沿的AI大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．已知一次函数与（m，n为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
8．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1），司南中心为一圆形，圆心为点O，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连结，并延长交于点P．则D点位于点P的南偏西的角度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直角坐标系中，正方形的顶点C和D都在x轴上，点B在双曲线上，连接，若，则正方形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
10．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CEFG的边CE重合，点O是EG的中点，∠CGE的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：
①GH⊥BE；
②HO∥BG，HO=BG；
③点H不在正方形CGFE的外接圆上；
④△GBE∽△GMF．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．报告显示，2025年2月，的访问量达到5.247亿次，超过了的访问量．其中数据5.247亿用科学记数法表示为 ．
12．因式分解： ．
13．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭发射成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F”模型的进价贵，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为元，则可列方程为 ．
14．已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
15．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在中，点分别是的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为 ．
16．如图，，，，，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中x满足方程．
18．在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形．
(1)请你判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，，求四边形的面积．
19．根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
(2)视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________；
(3)视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人；
(4)视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________；
(5)请为做好近视防控提一条合理的建议．
20．2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
(1)求无人机从点B到点C处的飞行距离；
(2)求四门塔的高度．
21．德州扒鸡闻名全国，远销海外，被誉为“天下第一鸡”，是享誉全国的特色产品．某超市计划采购A、B两种品牌扒鸡，已知购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元．
(1)求A、B两种品牌扒鸡的单价各是多少元？
(2)该超市预算不超过11300元采购A、B两种扒鸡共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种扒鸡的售价均为185元/盒，如何安排采购量才能使销售利润最大？最大利润是多少？
22．如图，内接于，为的直径，延长至点D，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
23．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的“零点”．
(1)请写出下列函数的“零点”：一次函数的“零点”是________，二次函数的“零点”是________；
(2)已知二次函数是“零点函数”（a，b，c是常数，）．若，，函数的“零点”是，，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；
(3)已知抛物线（m为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
①求m的值．
②点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求h的值．
24．（1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接．
填空：① ___________；②的度数为___________；
（2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．

《山东省德州市临邑县2025年九年级第二次练兵考试数学试题 》参考答案
1．D
解：∵，，，，
又∵，
∴在数轴上表示的点距离原点最远的是4．
故选：D．
2．A
解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
3．D
解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4．C
解：从上面看，看到的图形是一个正方形，中间有一个圆，即看到的图形如下：
故选；C．
5．B
解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积，
∴铁块的体积为，
∴铁块的棱长为，
∵，
∴，
∴铁块的棱长在3和4之间，
故选：B．
6．A
解：根据函数图象可知，
当时，，
即不等式的解集为，
故选：A．
7．B
解：连接，设与交于点，如图，
平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
∵由作图可得，
∴，
又，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
．
故选：B．
8．C
解：连接，如图所示：
∵八个方位将圆形八等分（图2中的点，
∴正八边形每段弧所对的圆心角为，
∴，
∴点位于点的南偏西的角度是；
故选：C．
9．C
解：设正方形的边长为a，则，
∵，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点B在双曲线上，
∴，
解得：（负值舍去），
∴正方形的面积为．
故选：C
10．C
【详解】（1）如图1，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
（2）∵GH是∠EGC的平分线，
∴∠BGH=∠EGH，
在△BGH和△EGH中，
，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO是△EBG的中位线，
∴HO∥BG，HO=BG，
故②正确；
（3）由（1）得△EHG是直角三角形，
∵O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
故③错误；
（4）如图2，连接CF，
由（3）可得点H在正方形CGFE的外接圆上，
∴∠HFC=∠CGH，
∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，
∴∠FMG=∠GBE，
又∵∠EGB=∠FGM=45°，
∴△GBE∽△GMF．
故④正确，
故选C．
11．
解：5.247亿；
故答案为：．
12．
=
=，
故答案为.
13．
设每个“长征二号F”模型的进价为元，则每个“天宫”模型的进价为元
根据题意得，．
故答案为：．
14．1
解：由题意，得：，，
∴，
∴
；
故答案为：1．
15．18
解：由题意，，
在矩形中，，
∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
又∵，
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
∴四边形的面积为；
故答案为：．
16．
解：过作轴于，
∵是等腰直角三角形，且斜边为，
∴，
∴的横纵坐标相同，
在中，当时，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线的解析式为，则，
∴直线的解析式为：，
∵，都是等腰直角三角形，
∴
∴，
的表达式的次项系数与的表达式的一次项系数相同，
设的表达式的表达式为，
将代入，
，
直线的表达式是，
联立，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得，
……，
以此类推可知，，
∴，即，
故答案为：．
17．（1）；（2），当时，
（1）解：
．
（2）解：原式
∵
∴
解得：或，
当时，分母，分式无意义，舍去；
当时，原式．
18．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：由（1）得：，四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴菱形的面积
19．(1)抽样调查；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
20．(1)；
(2)．
（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问；
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
21．(1)购买A品牌扒鸡的单价是115元，购买B品牌扒鸡的单价是95元
(2)该超市购买A品牌扒鸡60盒，B品牌扒鸡40盒时，销售完两种品牌扒鸡获得的利润最大，最大利润为7800元
（1）解：设购买A品牌扒鸡的单价为x元，购买B品牌扒鸡的单价为y元，则根据题意，
得， 解得；
答：购买A品牌扒鸡的单价是115元，购买B品牌扒鸡的单价是95元；
（2）设购买A品牌扒鸡a盒，则购买B品牌扒鸡盒，根据题意，得
，解得，
设销售完两种品牌扒鸡获得的利润为w元，则
，
，则w随a的增大而减小，
当时，w的值最大，最大值为，
此时；
答：该超市购买A品牌扒鸡60盒，B品牌扒鸡40盒时，销售完两种品牌扒鸡获得的利润最大，最大利润为7800元．
22．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
∴．
23．(1)1；2或4
(2)或
(3)①；②
（1）解：在中，当时，，
∴一次函数的“零点”是1；
在中，当时，解得或，
∴二次函数的“零点”是2或4；
（2）解：∵二次函数是“零点函数”，且函数的“零点”是，，
∴，是关于x的方程的两个不相等的实数根，
∵，
∴，
∵函数与x轴的两个交点之间的距离为8，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
在中，当，，
∴二次函数与y轴的交点坐标为，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为或；
（3）解：①∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线（m为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，
∴抛物线的顶点横坐标为2，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴；
②∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
24．（1）①1；②；（2）；；（3）或．
解：（1）∵绕点B顺时针旋转到，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：①1；②．
（2）；，理由如下：
在矩形中，，
∵，则，
∴，
同理在中，
∵，则，
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：；．
（3）由（2）可得，，
∵，
∴，
∴，
∵点M为的中点，，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：．
∴或．

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