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第十二讲　导数与函数的极值、最值
1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不
超过三次).
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般
不超过三次).
1.函数的极值
(1)函数的极小值：函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在
点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近
的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，
f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在
点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近
的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，
f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为
极值.
注意：极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是
函数的局部性质.极值点是函数自变量 x 的取值，不是点的坐标.
2.函数的最值
(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件
一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续
不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【名师点睛】
(1)若函数 f(x)在[a，b]上是单调函数，则 f(x)一定在区间端点
处取得最值.
(2)若函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值
点一定是函数的最值点.
考点一 利用导数解决函数的极值问题
考向 1 根据函数图象求极值问题
[例 1](2024 年内蒙古阶段练习)已知函数 y＝f(x)的导函数 y＝
f′(x)图象如图所示，则下列说法正确的是(
)
A.f(x1)>f(x3)
B.x2 是 f(x)的极大值点
C.f(x)在区间(a，b)内一定有 2 个极值点
D.y＝f(x)的图象在 x＝x1 处的切线斜率为 0
解析：对于 A，由函数 y＝f′(x)的图象可得当 x∈(x1，x3)时，
f′(x)>0，
所以函数在区间(x1，x3)为单调递增函数，所以 f(x1)所以 A 错误；
对于 B，由 A 知函数 y＝f(x)在区间(x1，x3)为单调递增函数，
因为 x2∈(x1，x3)，所以 x2 不是函数 f(x)的极值点，所以 B 错
误；
对于 C，由函数 y＝f′(x)的图象知当 x∈(a，x3)时 f′(x)>0，当
x∈(x3，x5)时 f′(x)<0，当 x∈(x5，b)时 f′(x)>0，
所以函数 f(x)在区间(a，x3)上单调递增，在区间(x3，x5)上单调
递减，在(x5，b)上单调递增，
所以 x＝x3 是函数 f(x)的极大值点，x＝x5 是函数 f(x)的极小值
点，所以 C 正确；
对于 D，由函数 y＝f′(x)的图象可得 f′(x1)>0，所以函数 y＝f(x)
的图象在 x＝x1 处的切线的斜率大于 0，所以 D 错误.
答案：C
【题后反思】由图象判断函数 y＝f(x)的极值时，要抓住两点：
(1)由 y＝f′(x)的图象与 x 轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数 y＝f′(x)的图象可以看出 y＝f′(x)的值的正负，从而可得
函数 y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
考向 2 求已知函数的极值
因为 f(0)＝1，所以切点为(0，1)，f′(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为
y－1＝1×(x－0)，即 y＝x＋1.
【题后反思】利用导数研究函数极值问题的一般流程
考向 3 已知函数极值求参数的值或范围
所以实数 a 的取值范围为(－9，0)∪(0，1).
答案：(－9，0)∪(0，1)
【题后反思】
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据
极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法
求解.
(2)某点的导数值为 0 不是此点为极值点的充要条件，所以用
待定系数法求解后必须检验.
【考法全练】
1.已知定义域为(0，＋∞)的函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且函数
g(x)＝(log3x－1)f′(x)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是
(
)
A.f(x)有极小值 f(6)，极大值 f(1)
B.f(x)有极小值 f(6)，极大值 f(10)
C.f(x)有极小值 f(1)，极大值 f(3)和 f(10)
D.f(x)有极小值 f(1)，极大值 f(10)
解析：观察题图可知，当 0＜x＜1 时，g(x)＞0，log3x－1＜0，
则 f′(x)＜0；
当1＜x＜3时，g(x)＜0，log3x－1＜0，则f′(x)＞0；　
当3＜x＜10时，g(x)≥0，log3x－1＞0，则f′(x)≥0；　
当x＞10时，g(x)＜0，log3x－1＞0，则f′(x)＜0.
综上所述，函数 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，10)上单调递
增，在(10，＋∞)上单调递减，所以 f(x)有极小值 f(1)，极大值 f(10).
故选 D.
答案：D
由 g′(x)<0 可得 x>0，由 g′(x)>0 可得 x<0，
所以函数 g(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为
(0，＋∞)，
故 gmax(x)＝g(0)＝1，
且当 x<－1 时 g(x)<0，当 x>－1 时，g(x)>0，如下图所示.
答案：A
3.(2024年江苏无锡阶段练习)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax－1的两个极值点为x1，x2，且f(x1)＋f(x2)≥－2，则实数a的最小值是________.
答案：2
考点二 利用导数求函数的最值
[例 4]已知函数 f(x)＝(ax－2)ex 在 x＝1 处取得极值.
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)在[m，m＋1]上的最小值.
解：(1)∵f(x)＝(ax－2)ex，
∴f′(x)＝aex＋(ax－2)ex＝(ax＋a－2)ex，
由已知得f′(1)＝0，即(2a－2)e＝0，解得a＝1.
(2)由(1)得f(x)＝(x－2)ex，
则f′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex.
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0得x<1.
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]上单调递增，fmin(x)＝f(m)＝
(m－2)em；
当0(1，m＋1]上单调递增，
fmin(x)＝f(1)＝－e；
当m≤0时，m＋1≤1，f(x)在[m，m＋1]上单调递减，
fmin(x)＝f(m＋1)＝(m－1)em+1.
综上所述，f(x)在[m，m＋1]上的最小值
【规律方法】
(1)求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础
上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到
函数的最值.
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数 f(x)求导，通过
对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f(x)的最值.
【变式训练】
(1)讨论 f(x)的极值；
(2)求 f(x)在[1，e]上的最小值 g(a).
解：(1)由题意知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当 a≤0 时，x－a>0，∴f′(x)>0 恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值.
当 a>0 时，若 x∈(0，a)，则 f′(x)<0；
若 x∈(a，＋∞)，则 f′(x)>0，
∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.
∴f(x)的极小值为f(a)＝1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
(2)当a≤1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，
∴f(x)在[1，e]上单调递增，
∴fmin(x)＝f(1)＝a.
当1若x∈(a，e]，则f′(x)>0.
⊙利用导数研究生活中的优化问题
利用导数研究生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模
型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x).
(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大
(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题，结合实际问题作答.
[例 5](2024 年上海期中考)一块边长为 12 cm 的正三角形薄铁
片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形(每个四边形
中有且只有一组对角为直角)，然后用余下的部分加工制作成一个
底面边长为 x(单位：cm)的“无盖”正三棱柱容器，容积记为 V(单
位：cm3).
(1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使
用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的
“顶盖”，求此时 x 的值；
(2)将 V 表示为 x 的函数，并求 V 的最大值.
解：(1)由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三
个全等的四边形组成与底面三角形全等的三角形，
所以 2x＝12，解得 x＝6.
【反思感悟】(1)利用导数研究生活中的优化问题的关键：理
清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.
(2)注意：函数的定义域由实际问题确定，最后要把求解的数
量结果“翻译”为实际问题的答案.
【高分训练】
为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体
水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为 6 m3.已
知水池底面的造价为 600 元/m2，侧面的造价为 400 元/m2.(衔接处
材料损耗忽略不计)
(1)求水池的造价 S(单位：元)关于水池底面边长 x(单位：m)
的函数解析式；
(2)为使水池的造价最低，水池底面的边长应为多少？

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