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第八讲　函数与方程
结合函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断方
程根的存在性与根的个数.
1.函数的零点
(1)零点的定义：对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实
数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点.
(2)零点的几个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数解 函数y＝f(x)
的图象与 x 轴有公共点 函数 y＝f(x)有零点.
[注意]函数的零点不是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点，而是
函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不
是一个点，而是一个实数.
2.函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲
线，且有 f(a)f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一
个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)
＝0 的解.
[注意]函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号
零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的
端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不
必要条件.
Δ的符号 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的公共点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无公共点
零点个数 2 1 0
3.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
考点一 函数零点所在区间的判定
1.(2024 年山东临沂阶段练习)f(x)＝log2x＋x－4 的零点所在区
间为(
)
A.(1，2)
B.(2，3)
C.(3，4)
D.(4，5)
解析：f(x)＝log2x＋x－4 在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝log22
＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23－1>0，故 f(x)＝log2x＋x－4 的零点所
在区间为(2，3).故选 B.
答案：B
2.若 a)
－a)的两个零点分别位于区间(
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－
a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区
间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点.又函数 f(x)是二次函数，最
多有两个零点，因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，
c)内.故选 A.
答案：A
3.已知方程 lg x＝3－x 的解所在区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则
k＝____________.
解析：构造函数 f(x)＝lg x－3＋x，则 f(x)在(0，＋∞)为增函
数，
则 f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg 3>0，
由零点存在定理可得函数 f(x)的零点在(2，3)之间，所以 k＝2.
答案：2
【题后反思】判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程.
(2)根据“零点存在性定理”判断.
(3)数形结合法，画出相应函数的图象，观察图象与 x 轴的交
点情况来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交
点来判断.
考点二 函数零点个数的确定
1.函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0，1)内的零点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上连续
且单调递增，
∴函数 f(x)在区间(0，1)内有且只有 1 个零点.故选 B.
答案：B
答案：C
3.(2024年天津南开阶段练习)函数f(x)＝2x·|log0.5x|－1的零点
个数为________.
答案：2
【题后反思】函数零点个数判定的方法
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就
有几个零点.
(2)函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是
连续的曲线，且 f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调
性)才能确定函数有多少个零点.
(3)作出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
考点三 根据函数零点个数求参数
通性通法：根据函数零点个数求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通
过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以
解决.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中
作出函数的图象，然后数形结合求解.
解析：∵函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)的周期为 2，
又x∈[0，2]，f(x)＝－2x2＋4x－2＝－2(x－1)2，作出函数
y＝f(x)，y＝g(x)的图象，如图所示，
答案：BC
【变式训练】
1.(2024 年山东聊城阶段练习)若函数 f(x)＝|x2－2x|－a 有 4 个
零点，则实数 a 的取值范围为(
A.0C.a＝0 或 a>1
)
B.－1D.0作出 y＝g(x)与 y＝a 的图象如图所示.
∵y＝g(x)与 y＝a 的图象有 4 个公共点，∴由图知 0答案：D
解析：根据题意，作出函数 f(x)的图象如图所示.令 g(x)＝0，
得 f(x)＝x＋a，所以要使函数 g(x)＝f(x)－x－a 有且只有两个不同
的零点，只需函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同的交点，
根据图象可得实数 a 的取值范围为(－1，＋∞).故选 BCD.
答案：BCD
⊙数形结合法求解函数零点问题
直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态
与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.函数的零点问
题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过画图分析图象
的特征、图象间的关系来解决.
解析：作出函数 y＝f(x)的图象如图所示，
由 F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得 f(x)＝0 或 2f(x)－m＝0，
当 f(x)＝0 时，f(x)有 3 个零点，
答案：(0，2)
(2)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点分别是m，n，则(　　)
A.mn＝1 　　　　 　
B.mn>1
C.0D.以上都不对
答案：C
【高分训练】
1.已知函数 f(x)与 g(x)都在区间(a，b)上有意义，若函数 y＝
f(x)－g(x)在 x∈(a，b)上至少有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)
在(a，b)上是“关联函数”，区间(a，b)称为“关联区间”.若 f(x)
＝kx 与 g(x)＝|log2x|在(0，8)上是“关联函数”，则 k 可能的取值
是(
)
A.－1
B.0
C.
1
4
D.1
答案：C
答案：B

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