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第五讲　指数与指数函数
1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的
运算.
3.体会指数函数是一类重要的函数模型.
1.根式
2.有理数指数幂
3.指数函数的概念
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x
是自变量，定义域是 R，a 是底数.
[注意]形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函
数叫做指数型函数，不是指数函数.
底数 a>1 0图象
性质 定义域为 R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
4.指数函数y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0性质 当 x>0 时，y>1；
当 x<0 时，00 时，0当 x<0 时，y>1
在定义域 R 上为增函数 在定义域 R 上为减函数
(续表)
【名师点睛】(1)指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，
④y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关
系为 c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：
在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大.
(2)指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，
要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究.
考点一 指数幂的运算
答案：B
【题后反思】(1)指数幂的运算首先将根式化为分数指数幂，
以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，
又含有负指数.
考点二 指数函数的图象
[例 1](1)(多选题)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经
过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(
)
A.a>1
C.b>0
B.0D.b<0
解析：因为函数 y＝ax＋b－1(a>0，且 a≠1)的图象经过第一、
三、四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，
所以 a>1，当 x＝0 时，y＝1＋b－1＝b<0.故选 AD.
答案：AD
(2)若函数 y＝|2x－1|的图象与直线 y＝b 有两个公共点，则 b
的取值范围为________.
解析：作出曲线 y＝|2x－1|的图象与直线 y＝b，如图所示.由
图象可得 b 的取值范围是(0，1).
答案：(0，1)
【题后反思】
(1)对于指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的
图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到指数型函数的图象.
特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分类讨论.
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数
型函数图象，数形结合进行求解.
【变式训练】
1.函数 y＝f(x)＝2－ax+1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点(
)
A.(0，2)
C.(－1，1)
B.(1，2)
D.(－1，2)
解析：由于 f(－1)＝2－a－1+1＝1，所以 f(x)恒过定点(－1，1)，
且一定不经过(－1，2)，故 C 正确，D 错误.
而 f(0)＝2－a，f(1)＝2－a2 均不是定值，故 A，B 错误.故选C.
答案：C
2.(多选题)已知函数 f(x)＝|2x－1|，实数 a，b 满足 f(a)＝f(b)
(a＜b)，则(
)
A.2a＋2b＞2
B. a，b∈R，使得 0＜a＋b＜1
C.2a＋2b＝2
D.a＋b＜0
解析：画出函数 f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示，
由图知 1－2a＝2b－1，则 2a＋2b＝2，故 A 错误，C 正确；
答案：CD
考点三 指数函数的性质及应用
考向 1 利用指数函数的单调性比较大小
通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的，先化成
同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引
入“1”等中间量比较大小.
答案：A
解析：因为 b>0，所以函数 y＝xb 在(0，＋∞)上单调递增.
因为 a>0，所以 ab<(2a)b，即 x1同理，由函数 y＝x2a 在(0，＋∞)上单调递增，得 b2a<(2b)2a，
即 x3(2)若0<2a(　　)
A.x4C.x2答案：B
因为0<2a因为0<2a<1，所以y＝(2a)x在R上单调递减，所以(2a)b<(2a)2a，所以(2a)b所以x1考向 2 与指数函数有关的复合函数的单调性
通性通法：求解与指数函数有关的复合函数的问题时，首先
要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明
确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要
借助“同增异减”这一性质进行分析判断.
[例3] (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数).若f(x)在区间[2，＋∞)
上单调递增，则 m 的取值范围是________.
答案：(－∞，4]
(2)函数f(x)＝4x－2x+1的单调增区间是________.
解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，设t＝2x，其在R上单
调递增，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上单调递增，∴2x≥1，∴x≥0.
答案：[0，＋∞)
考向 3 函数的最值问题
通性通法：对可化为a2x＋b·ax＋c＝0形式的方程或a2x＋b·
ax＋c≥0(≤0)形式的不等式，常借助换元法解题，但应注意换元
后“新元”的取值范围.
答案：A
【考法全练】
1.(2024 年山东日照阶段练习)下列大小关系正确的是(
)
A.①②
B.③④
C.②③
D.①③
答案：C
A.(－∞，4)
B.(0，＋∞)
C.(0，4]
D.[4，＋∞)
答案：C
⊙指数运算的实际应用
[例 5]中国的传统音阶是五声音阶，西方的音阶是七声音阶，
它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整
的八度音阶分成了 12 个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来
答案：7
【高分训练】
(2023 年广东佛山市期末考)在某个时期，某湖泊中的蓝藻每
天以 6.25%的增长率呈指数增长，已知经过 30 天以后，该湖泊的
蓝藻数大约为原来的 6 倍，那么经过 60 天后该湖泊的蓝藻数大约
)
为原来的(
A.18 倍
C.36 倍
B.24 倍
D.48 倍
解析：某湖泊中的蓝藻每天以 6.25%的增长率呈指数增长，经
过 30 天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的 6 倍，设湖泊中原来
蓝藻数量为 a，则 a(1＋6.25%)30＝6a，
∴经过 60 天后该湖泊的蓝藻数量为 y＝a(1＋6.25)60＝a[(1＋
6.25%)30]2＝36a.
∴经过 60 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的 36 倍.故选 C.
答案：C

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