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第九讲　函数模型及其应用
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体
实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的
含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数
等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
常见函数模型 函数解析式
一次函数模型 y＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
反比例函数模型
二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
1.常见的函数模型
常见函数模型 函数解析式
指数型函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)　
对数型函数模型 y＝blogax＋c(a，b，c为常数，x＞0，a＞0，且a≠1，b≠0)
幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
函数 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 因n而异
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
2.三种函数模型之间增长速度的比较
3.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步
选择数学模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符
号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论.
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
【常用结论】
考点一 用函数图象刻画变化过程
1.高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破
了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，
则函数 v＝f(h)的大致图象是(
)
A
B
C
D
解析：当 h＝0 时，v＝0；当 h＝H 时，v＝V，AC 错误.该鱼
缸上下窄，中间宽，因此 h 从 0 开始匀速增加时，v 的增长速度应
为先慢后快再慢.故选 B.
答案：B
2.如图，在直角梯形 OABC 中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，
OC＝BC＝2，梯形 OABC 被直线 l：x＝t 所截后位于直线 l 左侧的
图形(如图中阴影部分)面积为 S，则函数S＝f(t)的图象大致为(
)
A
B
C
D
答案：C
3.如图给出了某种豆类生长枝数 y(单位：枝)与时间 t(单位：
月)的散点图，下列函数模型中最适合用于刻画此种豆类生长枝数
与时间的关系的是(
)
A.y＝2t2 　　 B.y＝log2t C.y＝t3 　 　 D.y＝2t
解析：从所给的散点图的增长趋势可以看出，随着 t 的增加 y
逐渐增加，且增加得越来越慢，大致符合对数型函数，只有 y＝
log2t最合适.故选 B.
答案：B
【题后反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两
种方法
(1)构建函数模型法：根据题意易构建函数模型时，先建立函
数模型，再结合模型选择图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合
图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答
案，选择出符合实际情况的答案.
购买的金柚重量/kg 金柚单价/(元/kg)
不超过 5 kg 的部分 10
超过 5 kg 但不超过 10 kg 的部分 9
超过 10 kg 的部分 8
考点二 构建函数模型求解实际问题
考向 1 构建二次函数、分段函数模型
[例 1](2024 年广东东莞期中考)眼下正值梅州金柚热销之时，
某水果网店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案
如下表：
记顾客购买的金柚重量为 x kg，消费额为 f(x)元.
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)已知甲、乙两人计划在这家网店购买金柚，甲、乙计划购
买的金柚重量分别为 4 kg，8 kg 请你为他们设计一种购买方案，
使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额.
解：(1)当 0当 5当 x>10 时，f(x)＝10×5＋9×5＋8(x－10)＝8x＋15.
(2)当甲、乙两人分开购买时，消费总额为 f(4)＋f(8)＝10×
4＋9×8＋5＝117(元).
当甲、乙一起购买时，消费总额为 f(12)＝8×12＋15＝111(元).
因为 111<117，所以甲、乙一起购买 12 kg 的消费总额最少，
此时的消费总额为 111 元.
考向 2 构建指数(对数)型函数模型
[例 2]某人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到
《
0.5 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速
度减少.为了保障交通安全， 道路交通安全法》规定驾驶员血液中
的酒精含量不得超过 0.2 mg/mL，那么他至少经过需要休息_____
小时后才能开车.(精确到 1 小时，参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5，
lg 5≈0.7)
即至少经过 4 小时，血液中的酒精含量不超过 0.2 mg/mL，才
能开车.
答案：4
[例3]某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市
场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：万元)与营运年数 x 的关
系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆
客车营运年数为________.
答案：5
【题后反思】
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，
而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，
应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的
最大(最小)值中的最大(最小)值.
(2)指数型函数、对数型函数模型的解题关键是对模型的判断，
先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进
行指数、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
【考法全练】
答案：A
2.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边
夹角为 60°(如图).考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计要求
面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y
米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周
长最小)，则防洪堤的腰长 x＝________米.
v/(km/h) 60 70 80 90 100 110 120
P/kW 8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4
⊙已知函数模型求解实际问题
[例 4]有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得
到了该电动汽车的耗电功率P(单位：kW)与行驶速度v(单位：km/h)
的数据如下表所示：
(1)请选择最符合表格中所列数据的函数模型(不需要说明理
由)，并求出相应的函数解析式；
(2)李华驾驶一辆同型号电动汽车从 A 地出发，经高速公路(最
低限速 60 km/h，最高限速 120 km/h)匀速行驶 510 km 后到达 B 地.
出发前汽车电池的剩余电量为 65 kW·h，汽车到达 B 地后至少要
保留 5 kW·h 的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为 v
的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).已知该高速公路
上服务区有功率恒为 18 kW 的充电桩，若不充电，该电动汽车能
否到达 B 地？若需要充电，求该电动汽车从 A 地到 B 地所用时间
(即行驶时间与充电时间之和)的最小值.(结果保留一位小数)
【反思感悟】已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)分析所给函数模型，分清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
【高分训练】
1.拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)＝
1.06(0.5[m]＋1)给出，其中 m>0，[m]是不超过 m 的最大整数(如
[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费
为________元.
解析：∵m＝6.5，
∴[m]＝6，代入得 f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
2.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
答案：16

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