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第三讲　函数的奇偶性与周期性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断和应用简单
函数的周期性.
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
1.函数的奇偶性
【名师点睛】
(1)常见的奇函数有 f(x)＝xk(k 为奇数)，f(x)＝sin x，f(x)＝tan x，
＝c(c 为常数)，f(x)＝xk(k 为非零偶数)，f(x)＝cos x，f(x)＝g(|x|).
(2)如果一个奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，那么一定有 f(0)＝0.
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函
数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数
T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么
函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最
小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
【名师点睛】函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0).
3.函数图象的对称性
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线
x＝a 对称.
(2)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点
(b，0)中心对称.
(3)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)
或 f(a＋x)＝f(a－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.
考点一　判断函数的奇偶性
函数中为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是(
)
A.f(x＋1)－2
C.f(1－x)＋2
B.f(x＋1)＋2
D.f(1－x)－2
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(0，＋∞)上单调递增，且
为奇函数，符合题意.
故选 D.
答案：D
(2)(多选题)(2023 年辽宁月考)已知 f(x)是定义在 R 上不恒为 0
)
的偶函数，g(x)是定义在 R 上不恒为 0 的奇函数，则(
A.f(f(x))为奇函数
B.g(g(x))为奇函数
C.f(g(x))为偶函数
D.g(f(x))为偶函数
解析：由题意可知，f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以 f(f(－x))＝f(f(x))，即 f(f(x))为偶函数，A 项错误；
g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，即 g(g(x))为奇函数，B 项正
确；
因为 f(g(－x))＝f(g(x))，即 f(g(x))为偶函数，C 项正确；
因为 g(f(－x))＝g(f(x))，即 g(f(x))为偶函数，D 项正确.
答案：BCD
【题后反思】判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：函数是奇(偶)函数 函数图象关于原点(y 轴)对称.
(3)在两函数的公共定义域中：
奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；
奇×奇＝偶，奇×偶＝奇，偶×偶＝偶.
【变式训练】
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.是奇函数又是偶函数
答案：B
考点二 根据函数的奇偶性求参数的值或范围
答案：B
答案：C
【题后反思】
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，
确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题.
(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数 f(x＋a)
为偶函数(奇函数)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称[关于点(a，
0)对称].
【变式训练】
是奇函数，则实数 a 的值为(　　)
A.－3 或－1
B.－1
C.－2 D.－3
解析：由题知，f(x)的定义域为 R，
由奇函数的定义可知，f(－x)＝－f(x)，
整理得 2(a＋3)x2＝0，所以 2(a＋3)＝0，解得 a＝－3.故选 D.
答案：D
答案：±1
考点三 函数性质的综合应用
考向 1 单调性与奇偶性的综合问题
通性通法：(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
相反、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，实现不等
式的等价转化.
(2)注意偶函数的性质 f(x)＝f(|x|)的应用.
[例 3]已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)＝xf(x).若 a＝
g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aB.cC.bD.b解析：易知 g(x)＝xf(x)在 R 上为偶函数，∵奇函数 f(x)在 R上
是增函数，则f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又3>log25.1>2>
20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(－log25.1)>g(20.8)
即 c>a>b.
答案：C
考向 2 周期性与奇偶性的综合问题
通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期
性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定
义域内求解.
解析：在 R 上的函数 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，则 f(2－x)
＝f(x)，
由 f(x＋2)为奇函数，得 f(－x＋2)＝－f(x＋2)，于是 f(x＋2)＝
－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此函数 f(x)是以 4 为周期的周期函
数，
由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(1)＋f(3)＝f(2)＋f(4)＝0，由 f(－x＋2)
＝－f(x＋2)，得 f(2)＝0，
而 f(1)＋f(2)＝2，则 f(1)＝2，所以　　 ＝506[f(1)＋f(2)＋
f(3) ＋f(4)]＋f(1)＝2.故选 B.
答案：B
考向 3 单调性、奇偶性与周期性的综合问题
通性通法：对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时
需要通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关
系，因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定
函数另一区间上的性质.
【常用结论】函数图象的对称性与函数周期性的关系
(1)若 y＝f(x)的图象既关于 x＝a 对称，也关于 x＝b 对称，则
|2(a－b)|是 f(x)的一个周期.
(2)若 y＝f(x)的图象既关于(a，0)对称，也关于(b，0)对称，则
|2(a－b)|是 f(x)的一个周期.
(3)若 y＝f(x)的图象既关于 x＝a 对称，也关于(b，0)对称，则
|4(a－b)|是 f(x)的一个周期.
[例 5](多选题)若定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)＝f(2－x)，
)
且当 x∈(0，1]时，f(x)＝x，则(
A.y＝f(x＋1)为偶函数
B.f(x)在(3，5)上单调递增
C.f(x)在(－3，－1)上单调递增
D.f(x)的最小正周期 T＝4
解析：由 f(x)＝f(2－x)得函数 f(x)的图象关于 x＝1 对称，
函数 f(x＋1)的图象是由函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度
得到的，
所以函数 f(x＋1)的图象关于 y 轴对称，所以函数 f(x＋1)是偶
函数，故 A 正确；
由 f(x)＝f(2－x)得 f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
所以 f(4＋x)＝f(x)，f(x)的最小正周期为 4，故 D 正确；
当 x∈(0，1]时，f(x)＝x，因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
所以当 x∈[－1，0)时，f(x)＝x，且 f(0)＝0，
所以 f(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
因为 f(x)的最小正周期 T＝4，所以 f(x)在(3，5)上单调递增，
在(－3，－1)上单调递减，故 B 正确，C 错误.故选 ABD.
答案：ABD
【考法全练】
A.(－2，0)∪(1，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(1，2)
D.(－2，0)∪(2，＋∞)
且 f(0)＝0，f(－2)＝－f(2)＝0，
因为(x－1)f(x)>0，故不考虑 x＝0 的情况，
当 x>1 时，f(x)>0＝f(2)，则 x<2，故 1当 02，故 x∈ ；
当 x<0 时，f(x)<0＝f(－2)，则 x>－2，故－2综上，－2答案：A
2.(多选题)(2024年海南模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x＋2)是偶函数，且对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有x1f(x1)＋x2f(x2)A.若f(1)＝－1，则f(5)＝1
B.函数f(x)的最小正周期是4
C.函数f(x)在[2，6]上单调递增
D.直线x＝3是y＝f(x－1)图象的对称轴
解析：由 f(x)＋f(－x)＝0 得 f(－x)＝－f(x)，所以函数 f(x)为奇
函数，
由 f(x＋2)是偶函数，得函数 y＝f(x)的图象关于 x＝2 对称，
则直线 x＝3 是 f(x－1)图象的对称轴，故 D 正确；
且 f(x＋2)＝f(－x＋2)，则 f(x＋4)＝f(－x)，
所以 f(x＋4)＝－f(x)，则 f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
所以函数 f(x)的周期为 8，故 B 错误；
答案：ACD
对于A，由f(x＋4)＝－f(x)，若f(1)＝－1，则f(5)＝－f(1)＝1，故A正确；
对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有x1f(x1)＋x2f(x2)即(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在[－2，0]上单调递减，
结合奇函数知，函数在[0，2]上单调递减，即函数[－2，2]上函数单调递减，
由于函数f(x)关于x＝2对称，
所以函数f(x)在[2，6]上单调递增，故C正确.故选ACD.
3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x)＝f(2－x)，若 x∈[0，
1] 时，f(x)＝x，则 f(11)的值为____________.
解析：根据题意，奇函数 f(x) 满足 f(x)＝f(2－x)，则有 f(2－x)
＝－f(－x)，即 f(x＋2)＝－f(x)，
变形可得 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的周
期函数，
则 f(11)＝f(－1＋12)＝f(－1)＝－f(1)，
而 x∈[0，1] 时，f(x)＝x，则 f(1)＝1，
故 f(11)＝－f(1)＝－1.
答案：－1
⊙函数奇偶性、周期性的应用
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性
质的综合应用更加突出.这类问题从通性通法的角度来处理，显得
较为烦琐，若能灵活利用函数奇偶性的性质，常能达到化难为易、
事半功倍的效果.以下归纳出函数奇偶性的拓展及应用.
(1)若函数 f(x)是奇函数，且 g(x)＝f(x)＋c，则必有 g(－x)＋
g(x)＝2c.
(2) 已知函数 f(x) 是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的
x∈D，都有 f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，
则 fmax(x)＋fmin(x)＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0.
(3)若函数 f(x)是奇函数，则函数 g(x)＝f(x－a)＋h 的图象关于
点(a，h)对称.
(4)若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)＝f(|x|).
答案：A
所以 g(x)为奇函数，又 f(x)存在最值，故 g(x)也存在对应最值，
结合奇函数的对称性知 gmax(x)＋gmin(x)＝0，
所以 M＋m＝gmax(x)＋7＋gmin(x)＋7＝14.
答案：14
【高分训练】
1.设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝
(
)
A.{x|x<－2 或 x>4}
B.{x|x<0 或 x>4}
C.{x|x<0 或 x>6}
D.{x|x<－2 或 x>2}
解析：由 f(x)＝x3－8(x≥0)，知 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
且 f(2)＝0.所以由已知条件 f(x－2)>0 得 f(|x－2|)>f(2).所以|x－2|>2，
解得 x<0 或 x>4.故选 B.
答案：B
2.(多选题)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于点(1，
)
0)对称.以下关于 f(x)的结论正确的是(
A.f(x)是周期函数
B.f(x)满足 f(x)＝f(4－x)
C.f(x)在(0，2)上单调递减
答案：ABD

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