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第二章
函数、导数及其应用
第一讲　函数的概念及其表示
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象
法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
内容 函数
两个集合A，B 设A，B是两个非空的实数集
对应关系
f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 函数y＝f(x)，x∈A
1.函数的概念
2.函数的定义域、值域和对应关系
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值集合 A
叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值
的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则
这两个函数为相等函数.
解析法 图象法 列表法
用数学表达式表示两个
变量之间的对应关系 用图象表示两个变
量之间的对应关系 列出表格来表示两个
变量之间的对应关系
3.函数的表示法
4.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着
不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.
【常用结论】
1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于 0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为 R.
(4)零次幂的底数不能为 0.
(5)y＝ax(a＞0 且 a≠1)，y＝sin x，y＝cos x 的定义域均为 R.
(6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}.
2.常见函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R.
(4)y＝ax(a＞0 且 a≠1)的值域是(0，＋∞).
(5)y＝logax(a＞0 且 a≠1)的值域是 R.
(6)y＝sin x，y＝cos x 的值域是[－1，1]，y＝tan x 的定义域
是 R.
考点一 求函数的定义域
考向 1 具体函数的定义域
通性通法：已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若 f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的
定义域为各基本初等函数的定义域的交集.
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数
的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确
定内层函数的定义域，两者取交集即可.
A.(－4，－π)∪(0，π)
B.(0，π)
C.(2kπ，π＋2kπ)，其中 k∈Z
D.[－4，－π)∪(0，π)
当 k＝0 时，x∈(0，π)满足；k＝1 时，x∈(2π，3π)，则 x∈ ；
k＝－1 时，x∈(－2π，－π)，则 x∈[－4，－π)，
则 f(x)的定义域为[－4，－π)∪(0，π).故选 D.
答案：D
考向 2 抽象函数的定义域
通性通法：求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定
义域可由不等式 a≤g(x)≤b 求出.
(2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为
g(x)在 x∈[a，b]上的值域.
答案：B
答案：[－1，2]
【考法全练】
1.(2023 年河北承德期末考)函数 f(x)的定义域为[－2，4]，则
A.(1，8]
C.(1，2]
B.[－4，1)∪(1，8]
D.[－1，1)∪(1，2]
答案：D
解得 x>－2 且 x≠1，所以所求定义域为(－2，1)∪(1，＋∞).
答案：(－2，1)∪(1，＋∞)
考点二 求函数的解析式
[例 3](1)已知二次函数 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求 f(x)；
(2)已知函数 f(x)满足 f(－x)＋2f(x)＝2x，求 f(x).
【题后反思】求函数解析式的 4 种方法及适用条件
(1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将
已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系
数.
(2)换元法
对于形如 y＝f(g(x))的函数解析式，令 t＝g(x)，从中求出 x＝
φ(t)，然后代入表达式求出 f(t)，再将 t 换成 x，得到 f(x)的解析式，
要注意新元的取值范围.
(3)配凑法
由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，
然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式.
(4)解方程组法
造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x).
【变式训练】
考点三 分段函数
考向 1 分段函数求值
考向 2 分段函数与方程、不等式问题
则 f(f(1))＝_______，若 f(a)＞1，则实数 a 的取值范围是_______.
解得 a＞10 或 a＜－2，
∴若 f(a)＞1，则实数 a 的取值范围是(－∞，－2)∪(10，＋∞).
答案：－7 (－∞，－2)∪(10，＋∞)
【题后反思】
(1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于
哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解.
(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应
根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或
范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
特别提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
【考法全练】
作出 f(x)的图象如图.
∴方程 f(f(x))＝6 有 4 个实数根，C 选项正确；
∵方程 f(x)＝m 有 3 个实数根，
∴y＝f(x)与 y＝m 有 3 个交点，
∴由图知 m 的取值范围是[1，2)，D 选项错误.故选 AC.
答案：AC

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