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第三讲
二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
【名师点睛】二项展开式形式上的特点
(1)项数为 n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的
和为 n.
(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减1直到
0；字母 b 按升幂排列，从第一项开始，次数由 0 逐项加 1 直到n.
(4)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但两个
展开式的通项不同.
(5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系
数是指 　　　　　　　　　它只与各项的项数有关，而与 a，b
的值无关；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅
与各项的项数有关，还与 a，b 的值有关.
考点一 二项展开式中的特定项或系数
A.－40
B.40
C.－80
D.80
答案：D
答案：BC
答案：6
【题后反思】与二项展开式有关问题的解题策略
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第 r＋1 项，再由特
定项的特点求出 r 的值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数
项，再由通项写出第 r＋1 项，由特定项得出 r 的值，最后求出其
参数.
考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题
答案：－160
(2)若(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋
a5＝__________.
　　解析：令x＝1，则(1－3×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32，
令x＝0，则(1－3×0)5＝a0＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5－a0＝
－32－1＝－33.
答案：－33
【题后反思】求解系数和问题常用的“赋值法”
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开
式的各项系数和的方法.求解有关系数和问题的关键点如下：
(1)赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的
值，常赋的值有－1，0，1 等.
(2)求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得
参数值.
(3)求值，根据题意，得出指定项的系数和.
【变式训练】
1.(多选题)已知f(x)＝(2x－3)n(n∈N*)展开式的二项式系数和为512，f(x)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，下列选项正确的是(　　)
A.a1＋a2＋…＋an＝1
B.a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝18
C.f(6)被8除的余数为1
D.|a0|＋|a1|＋…＋|an|＝39
答案：BCD
2.(2024 年上海普陀模拟)已知(1＋x)n 展开式的各项系数之和
为 64，展开式中 x2 项的系数为________.
答案：15
考点三 二项式系数的性质
考向 1 二项式系数的最值问题
答案：－160
考向 2 项的系数的最值问题
答案：5
答案：1 013 或 1 014
⊙几个多项式的展开式问题
A.5
B.10
C.15
D.20
答案：C
[例 5](2x2－3x＋a)5的展开式的各项系数之和为 1，则该展开
)
式中含 x7 项的系数是(
A.－600
C.－1 080
B.－840
D.－2 040
答案：D
【反思感悟】
(1)求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路
①若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解；
②观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.　
(2)求解三项式问题的思路
①对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或因式分解，转
化成二项式定理的形式去求解；或看成几个因式的乘积，再利用
组合数公式求解.
②求三项展开式的项时，可看作是把次数“分配”给不同的
【高分训练】
1.(2024 年江苏扬州期末考)(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的系
数为(
)
A.20 　　　 B.－20 　　　 C.28 　　　 D.－28
答案：B
答案：D

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