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(共88张PPT)
第七讲　条件概率、二项分布与正态分布
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率
公式计算概率.
3.理解二项分布、正态分布的概念，能解决一些简单的实际
问题.
1.条件概率
2.事件的相互独立性
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称
事件 A 与事件 B 相互独立.
3.全概率公式
4.贝叶斯公式
【名师点睛】
5.独立重复试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试
验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验.
n重伯努利试验具有如下特征：
①同一个伯努利试验重复做 n 次；
②各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布
6.正态分布
(1)正态分布的定义及表示
则称随机变量 X 服从正态分布，记作 X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝
0，σ＝1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.
服从正态分布的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(2)正态曲线：函数 f(x)＝
，x∈R.其中实数μ和σ为
参数(σ>0，μ∈R).我们称函数 f(x)的图象为正态密度曲线，简称正
态曲线.
(3)正态曲线的特点
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交.
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称.
④当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴.
⑤曲线与 x 轴之间的面积为 1.
⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿 x
轴平移，如图 1 所示.
⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，
表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分
布越分散，如图 2 所示.
图 1
图 2
考点一 条件概率
1.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A＝“两次的点数均为奇
数”，B＝“两次的点数之和为 4”，则 P(B|A)＝(
)
A.
1
12
B.
1
4
C.
2
9
2
D.
3
答案：C
2.报名足球俱乐部的有 50 人，报名乒乓球俱乐部的有 60 人，
报名足球或乒乓球俱乐部的有 70 人.若已知某人报了足球俱乐部，
则其报了乒乓球俱乐部的概率为(
)
A.0.8
B.0.4
C.0.2
D.0.1
答案：A
答案：CD
考点二 全概率公式与贝叶斯公式
考向 1 全概率公式
[例1](2024 年广西南宁月考)设有甲、乙两个不透明的箱子，
每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有 4 个红
球和 3 个白球，乙箱有 3 个红球和 2 个白球.从甲箱中随机摸出 2
个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出 1 个球.
(1)求从乙箱中摸出白球的概率；
(2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出 2 个红球的概率.
考向 2 贝叶斯公式
[例2](2024 年北京朝阳模拟)现有一种检验方法，对患 X 疾病
的人检验结果 99%呈阳性，对未患 X 疾病的人检验结果 99.9%呈
阴性.我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率.已知一地区
X 疾病的患病率为 0.000 4，则这种检验方法在该地区的误诊率为
(
)
A.0.716
B.0.618
C.0.112
D.0.067
答案：A
【题后反思】“化整为零”求多事件的全概率问题
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
【变式训练】
1.(2024 年四川内江一模)已知一批产品中有 90%是合格品，检
验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为 0.05，一个次
品被误判为合格品的概率为 0.01.任意抽查一个产品，检查后被判
为合格品的概率为(
)
A.0.855
B.0.856
C.0.86
D.0.865
答案：B
考点三 独立重复试验与二项分布
考向 1 相互独立事件的概率
(1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于两个家庭回答这道题正确
的概率.
考向 2 独立重复试验
(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；
(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的
绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望；
(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之
前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率.
考向 3 二项分布
[例5]某社区组织开展扫黑除恶宣传活动，为鼓励更多的人积
极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装
有 9 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利
民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取
卡片 2 张，若抽到的 2 张分别是“普法宣传人人参与”卡和“扫
黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回
盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：
“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有 9 张卡
片的盒中随机抽出 1 张不放回，再用剩下的 8 张卡片按照之前的
抽奖规则进行抽奖.现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X 表示获奖
的人数，求 X 的分布列和均值.
【题后反思】(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
①在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首
先要确定 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率；
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是厘
清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的
概率，从而求得概率.
【考法全练】
答案：ACD
2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次
击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，
出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音
乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－200 分).设每
(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列.
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
3.(2022 年广东汕头一模)足球比赛全场比赛时间为 90 分钟，
若在 90 分钟结束时成绩持平，而该场比赛需要决出胜负，则需进
行 30 分钟的加时赛.若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方
式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派 5 名队员，
双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满 5 轮前，
一队的进球数已多于另一队踢满 5 次可能射中的球数，则不需再
踢，例如第 4 轮结束时，双方进球数比为 2∶0，则不需再踢第 5
轮；③若前 5 轮“点球大战”中双方进球数持平，则采用“突然
死亡法”决出胜负，即从第 6 轮起，双方每轮各派 1 人踢点球，
若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方
不进球的情况，进球方胜.
(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A，
由题意可知，在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，则甲、乙两队进球数之比为3∶0或3∶1.“甲、乙两队进球数之比为3∶0”记为事件A1，“甲、乙两队进球数之比为3∶1”记为事件A2，
则A＝A1＋A2，且A1与A2互斥，
考点四 正态分布
[例6](2024 年山东模拟)为进一步提升人才选拔的公正性，某
省拟在三年内实现高考使用新课标全国Ⅰ卷，为测试学生对新高
考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试(满
分 150 分)，其中甲市有10 000名学生参加考试.根据成绩反馈，该
省及各市本次模拟考试成绩 X 都近似服从正态分布 N(μ，σ2).
(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为 97.5 分，成绩位于(97.5，
130.5]区间内的学生共有 4 772 人.甲市学生 A 的成绩为 114 分，试
估计学生 A 在甲市的大致名次；
(2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取 500 人作为研
究样本，随机变量 Y 为样本中本次考试数学成绩在(μ－3σ，150]
之外的人数，求 P(Y≥1)的值及随机变量 Y 的数学期望.
参考数据：0.998 6500≈0.496 3，
0.998 6499≈0.497 0.
若X～N(μ，σ2)，则有
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
∵甲市学生 A 的成绩为 114 分，且 114＝μ＋σ，
即 P(X>μ＋σ)≈0.158 7，
∴10 000×1 587＝1 587，
故学生 A 在甲市的大致名次为第 1 587 名.
【题后反思】正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及
的知识主要是正态曲线关于直线 x＝μ对称，曲线与 x 轴之间的面
积为 1.
(2)注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，
确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中
的哪一个.
【变式训练】
(2024 年广东清远模拟)某市高三年级 1 万名男生的身高 X(单
位：cm)近似服从正态分布 N(170，52)，则身高超过 180 cm 的男
生约有________名.(参考数据见[例 6])
答案：228
⊙二项分布与超几何分布模型识别问题(数据分析、数学建模)
教科书和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两
种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，
就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，
事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明
显的区别.
[例7]写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二
项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？
(1)X1 表示 n 次重复抛掷 1 枚骰子出现点数是 3 的倍数的次数；
(2)X2 表示连续抛掷 2 枚骰子，所得的 2 个骰子的点数之和；
(3)有一批产品共有 N 件，其中次品有 M 件(N＞M＞0)，采用
有放回抽取方法抽取 n 次(n＞N)，抽出的次品件数为 X3；
(4)有一批产品共有 N 件，其中 M件为次品，采用不放回抽取
方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M≥n＞0，m＝min{M，n}).
分布 超几何分布 二项分布
特征 描述的是不放回抽样问题(总体
在变化) 描述的是有放回抽样
问题(总体不改变)
考察对象分为两类，已知各类
对象的个数 每一次试验是独立重
复试验
联系 当总体容量很大时，超几何分布可近似看作二项分布
【反思感悟】
超几何分布与二项分布的区别与联系
【高分训练】
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽
取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，
质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由
此得到样本的频率分布直方图(如图).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量；
(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505
克的产品数量，求 X 的分布列；
(3)从该流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产
品数量，求 Y 的分布列.
解：(1)质量超过 505 克的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝
0.3，所以质量超过 505 克的产品数量为 40×0.3＝12(件).
(2)质量超过 505 克的产品数量为 12 件，则质量未超过 505 克
的产品数量为 28 件，X 的取值为 0，1，2，X 服从超几何分布.

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