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第八讲　解三角形应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量
和几何计算有关的实际问题.
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与
俯角 在目标视线与水平视线所成的
角中，目标视线在水平视线上方
的叫做仰角，目标视线在水平视
线下方的叫做俯角
测量中的有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
方位角 从某点的指北方向线起按顺时
针方向到目标方向线之间的夹
角叫做方位角.方位角θ的范围
是 0°≤θ<360°
术语名称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北
(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
【名师点睛】易混淆方位角与方向角的概念
(1)方位角是指北方向线按顺时针旋转到目标方向线之间的水
平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.
(2)“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是
[0°，360°)，方向角大小的范围是[0°，90°).
考点一　距离问题
解析：如图，在△ABD 中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，
答案：B
【变式训练】
(2023年新疆和田期末考)如图，为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2 km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为(　　)
答案：B
考点二 测量高度问题
[例2](2024 年河北邢台期中考)如图 1，已知 AA1 为某建筑物
的高，BB1，CC1 分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1，
B1，C1 分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，
B，C 分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得 A1B1＝80 米，
CC1＝86 米，∠C1A1B1＝48.60°，∠A1C1B1＝30°，在点 C 测得
点 B的仰角为 33.69°，在点 B 测得点 A 的仰角为 51.34°，则该
建筑物的高AA1约为(　　)(参考数据：tan 33.69°≈0.667，
tan 51.34°≈1.250，sin 48.60°≈0.750)
图 1
A.268 米
B.265 米
C.266 米
D.267 米
解析：如图 2，分别过 B，C 作 BF⊥AA1，CD⊥BB1，垂足
分别为 F，D，过 D 作 DE⊥AA1，垂足为 E.
图 2
答案：C
在Rt△BCD中，DC＝B1C1＝120，则BD＝120×tan 33.69°≈
120×0.667＝80.04，
在Rt△ABF中，BF＝A1B1＝80，则AF＝80×tan 51.34°≈
80×1.250＝100，
所以AA1＝CC1＋BD＋AF≈86＋80.04＋100≈266(米).
【变式训练】
(2023 年广东东莞月考)和谐钟塔位于江西省赣州市章贡区赣
州大桥东岸引桥南侧，有四个直径达 12.8 米的钟面.小赵同学经过
和谐钟塔时，想利用正弦定理的知识测量该钟塔的高度.如图，他
在该钟塔塔底 B 点的正西处的 C点测得该钟塔塔
顶 A 点的仰角为 30°，然后沿着东偏南67°的方
向行进了 180.8 m 后到达 D 点(B，C，D 三点处
于同一水平面)，且 B 点在 D 点北偏东 37°的方
向上，则该钟塔的高度为________m.(参考数据：
取 sin 53°≈0.8)
解析：如图，
∠BCD＝67°，∠CDB＝90°－67°＋37°＝60°，
则∠CBD＝180°－60°－67°＝53°.
答案：113
考点三 测量角度问题
[例3](2024年浙江温州期中考)如图，在坡度一定的山坡 A处
测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的夹角为∠CAD ＝
15°，沿山坡向山顶前进100 m到达B处，在B处测得∠CBD＝45°.
若CD＝50 m，山坡AD与地平面AE的夹角为θ，则cos θ等于(　　)
答案：D
【反思感悟】
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实
际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理
或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须
先弄清楚是哪一个点的方向角.
【变式训练】
A.南偏东 60°方向
C.北偏西 60°方向
B.南偏西 30°方向
D.北偏西 30°方向
解析：如图，
由题意，在△ABD 中，B＝15°＋30°＝45°，
答案：D
⊙解三角形中的综合问题
【反思感悟】
(1)解三角形中的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角
形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面
向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是
解题关键.
(2)三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数
思想的应用.
【高分训练】
(2024 年海南阶段练习)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c，且 bcos C＋acos B－c＝0.
(1)判断△ABC 的形状；
解：(1)由题知 bcos C＋acos B－c＝0，
由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Acos B－sin (A＋B)＝sin Bcos C
－cos Asin B＝0，
因为 B∈(0，π)，所以 sin B>0，所以 cos C＝cos A，C＝A，
则△ABC 为等腰三角形.

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