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第六讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1.了解函数 y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，
了解参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述
周期变化现象的重要函数模型.
y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)
振幅 周期 频率 相位 初相
A ωx＋φ φ
1.y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
2.“五点法”画 y＝A sin (ωx＋φ)的图象
用“五点法”画 y＝A sin (ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找
五个特征点，如下表：
3.函数y＝sin x 的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的步骤
【常用结论】
(1)函数 y＝A sin (ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，
上加下减”.
(2)函数图象的左右平移本质上是 x 的增减变化.函数图象向左
平移α个单位长度时，只需把函数解析式中的 x 整体代换为 x＋α
即可.
(3)函数图象上的点的横坐标的倍数变化本质上是 x 的倍数变
析式中的 x 整体代换为ωx 即可.
考点一 函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
答案：C
答案：B
令g(x)＝f(x)＋x＝x－sin x，则g′(x)＝1－cos x≥0对任意x∈R
恒成立，可知函数 y＝g(x)在 R 上单调递增，且 g(0)＝0，
　　所以函数 y＝f(x)＋x 的零点个数为 1.故选 B.
答案：B
【题后反思】由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx
＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
提醒：三角函数图象左右平移时应注意的问题
①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的
图象.
②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先
利用诱导公式化为同名函数.
③由 y＝Asin ωx 的图象得到 y＝Asin (ωx＋φ)的图象时，需平
移 　个单位长度，而不是|φ|个单位长度.
考点二 根据函数图象求解析式
[例1](1)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能
是(
)
A
B
C
D
答案：D
答案：ACD
【题后反思】确定 y＝Asin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析
式的步骤
(3)求φ，把图象上一个已知的极值点及其对应的函数值代入求
解；若代入的不是极值点，求解时需注意该点在递增区间上，还
是在递减区间上.
【变式训练】
答案：C
答案：B
考点三 三角函数图象与性质的综合应用
考向 1 函数 y＝Asin (ωx＋φ)的应用
考向 2 函数零点(方程根)问题
【题后反思】巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式
问题
解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就
是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解
或不等式的解集.故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决
问题的关键.
【考法全练】
答案：B
答案：A
⊙三角函数在实际问题中的应用(数学建模)
[例4](2024年辽宁沈阳阶段练习)某游乐场的摩天轮示意图如
图，已知该摩天轮的半径为30 m，轮上最低点与地面的距离为2 m，
沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 T＝24 min.在圆周
上均匀分布 12 个座舱，标号分别为 1～12(可视为点)，在旋转过
程中，座舱与地面的距离 h(单位：m)与时间 t(单位：min)的函数
关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即 1 号座舱位于圆
周最右端时开始计时，旋转时间为 t min.
(1)求 1 号座舱与地面的距离 h 与时间 t 的函数 h(t)的解析式；
(2)在前 24 min 内，求 1 号座舱与地面的距离为 17 m 时 t 的值.
【高分训练】
阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.由物
理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开
平衡位置的位移 y(单位：m)和时间 t(单位：s)的函数关系为 y＝
sin (ωt＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续
三次到达同一位置的时间分别为 t1，t2，t3(0＜t1＜t2＜t3)，且 t1＋
t2＝2，t2＋t3＝5，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于
0.5 m 的总时间为(
)
1
A. s
3
2
B. s
3
C.1 s
4
D. s
3
答案：C

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