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第五讲
三角函数的图象与性质
1.能画出 y＝sin x, y＝cos x, y＝tan x 的图象，了解三角函数的
周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数
3.要熟记本讲的基础知识，并会将ωx＋φ看作一个整体进行解题.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增
区间 [2kπ－π，2kπ]
的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是　个周
【常用结论】
(1)三角函数的对称性与周期性
①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间
期；
②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
(2)函数具有奇偶性的充要条件
考点一 三角函数的定义域
答案：B
由图可知定义域为[－4，－π]∪[0，π].
答案：[－4，－π]∪[0，π]
【题后反思】三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组).
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线.
考点二 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
考向 1 三角函数奇偶性、周期性
答案：C
答案：A
【题后反思】
考向 2 三角函数图象的对称性
[例 2](1)已知函数 f(x)＝a sin2ax(a>0)，若存在实数 t，使得对
任意 x∈R，f(x)＋f(t－x)＝3 恒成立，则 f(x)的最小正周期为(
)
A.
π
6
π
B.
3
2π
C.
3
3π
D.
2
答案：B
答案：D
【题后反思】
【考法全练】
1.(2023 年北京期末考)下列函数中，最小正周期为π且是偶函
数的是(
)
B.y＝tan x
C.y＝cos 2x
D.y＝sin 2x
答案：C
答案：C
考点三 三角函数的单调性
考向 1 求三角函数的单调区间
通性通法：三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为 y＝A sin (ωx＋φ)或 y＝A cos (ωx＋φ)的形式.
若ω＜0，借助诱导公式 sin α＝sin (π－α)或 cos α＝cos (－α)将ω
化为正数；若 A<0，借助导公式 sin α＝－sin (α±π)或 cos α＝
－cos (α±π)将 A 化为正数.
(2)根据 y＝sin x 和 y＝cos x 的单调区间列不等式求解.
答案：B
子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间
的子集，列不等式(组)求解
整体
角法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、
余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期
性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过
周期列不等式(组)求解
考向 2 已知三角函数的单调性求参数
通性通法：已知单调区间求参数范围的三种方法
答案：B
【考法全练】
答案：C
答案：C
⊙三角函数中确定ω的方法
答案：10
【反思感悟】解答这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函
数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函
数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与
题目给定的区间的关系如何.
【高分训练】
答案：D
答案：C

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