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第三章
三角函数、解三角形
第一讲
弧度制及任意角的三角函数
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，
可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角，弧度记作 rad.
(2)公式：
3.任意角的三角函数
(1)定义：设角α终边与单位圆交于 P(x，y)，则 sin α＝y，
【名师点睛】
(1)三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正
切，四余弦.
(3)角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个
式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
(4)象限角的集合
考点一 角的概念及其集合表示
1.(2023 年上海长宁期末考)与 2 023°终边相同的角是(　　)
A.－137°
B.227°
C.－227°
D.137°
解析：因为2 023°＝－137°＋6×360°，故－137°与
2 023°的终边相同.故选 A.
答案：A
答案：B
答案：一或三
【题后反思】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条
件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然
后通过对集合中的参数 k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)判断象限角的两种方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角
的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)
的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象
限判断已知角是第几象限角.
考点二 弧度制及其应用
[例 1](2024 年河北保定阶段练习)(1)已知扇形的圆心角所对的
(2)已知扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什么值
时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【题后反思】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须
是弧度.
(2)在解决扇形面积最大值的问题时，常将问题转化为二次函
数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角
所在的三角形.
【变式训练】
1.莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种图形的应用非
常广泛，不仅用于建筑设计和商品外包装设计，还用于工业生产
中.莱洛三角形的画法如下：先画正三角形，然后分别以
三个顶点为圆心、边长为半径画圆弧得到图形.如图，若
答案：A
答案：B
考点三 三角函数的概念
A.第一象限角
C.第三象限角
B.第二象限角
D.第四象限角
答案：C
(2)(2024 年天津阶段练习)已知角θ的终边经过点 P(3a，－4a)，
其中 a≠0.
①求 cos θ的值；
②若θ为第二象限角，求 cos θ＋sin θ的值.
【反思感悟】(1)已知角α终边上一点 P 的坐标，可求角α的三
角函数值：先求点 P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点 P 的坐标中的
参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.
(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三
角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出
角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意
终边在坐标轴上的特殊情况.
【变式训练】
(多选题)(2024 年内蒙古呼伦贝尔期末考)已知角α的终边经过
点 P(sin 150°，tan 150°)，则(　　)
答案：ABC
⊙三角函数线的应用
[例3](多选题)(2024 年上海模拟)已知 sin α>sin β，那么下列命
题中成立的是(
)
A.若α，β是第一象限角，则 cos α>cos β
B.若α，β是第二象限角，则 tan α>tan β
C.若α，β是第三象限角，则 cos α>cos β
D.若α，β是第四象限角，则 tan α>tan β
解析：设α，β的终边分别交单位圆于 M1，M2 两点，分别过
M1，M2 两点作 x 轴的垂线，垂足为A1，A2，由 sin α>sin β知点M1
的纵坐标大于点 M2 的纵坐标.
对于 A，由题知α，β为第一象限角，如图所示.
由图知|OA1|<|OA2|，即 cos α对于 B，由题知α，β为第二象限角，过点 B(－1，0)作 x 轴的
垂线，分别交 OM1，OM2 的延长线于 B1，B2 两点，如图所示.
由图知|BB1|>|BB2|，即 tan α对于 C，由题知α，β为第三象限角，如图所示.
由图知|OA1|>|OA2|，即 cos α对于 D，由题知α，β为第四象限角，过点 C(1，0)作 x 轴的垂
线，分别交 OM1，OM2 的延长线于 C1，C2 两点，如图所示.
由图知|CC1|<|CC2|，即 tan α>tan β，故 D 正确.故选 D.
答案：D
【反思感悟】利用三角函数线比较大小或解不等式，通常采
用数形结合的方法，一般来说 sin x≥b，cos x≥a，只需作直线
y＝b，x＝a 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的
位置，此时再根据方向即可确定相应的 x 的范围.
【高分训练】
1.已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(
)
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
解析：因为 tan α＜0，cos α＜0，所以α在第二象限.故选 B.
答案：B

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