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第七讲　正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量
问题.
名称 正弦定理 余弦定理
定理
R是三角形外接圆的半径 a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝a2＋c2－2ac cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
1.正弦定理与余弦定理
角的分类 A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
2.三角形解的判断
3.三角形中常用的面积公式
【常用结论】
(1)在△ABC 中，A＞B a＞b sin A＞sin B.
(2)三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
(3)内角和公式的变形
①sin (A＋B)＝sin C；
②cos (A＋B)＝－cos C.
(4)角平分线定理
如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，AD 平分∠BAC，
考点一 利用正、余弦定理解三角形
1.(2023 年北京卷)在△ABC 中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A
－sin B)，则 C＝(
)
答案：B
2.(多选题)在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中恰有一
解的是(
)
答案：BC
3.(2023 年新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中，A＋B＝3C，
2sin(A－C)＝sin B.
(1)求 sin A 的值；
(2)设 AB＝5，求 AB 边上的高.
4.(2024 年天津期末考)在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别
(1)求 B 的大小；
(2)求 sin A 的值；
(3)求cos (2A－B)的值.
【题后反思】解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要
考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则
考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有
可能用到.
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确
定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不
唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判
断.
考点二 判断三角形的形状
所以 sin Acos B＋sin Acos C＝sin (A＋C)＋sin (A＋B)＝sin Acos C
＋cos Asin C＋sin Acos B＋cos Asin B，得 cos A(sin C＋sin B)＝0，
因为 00，sin C>0，所以 cos A＝0，
0故－1cos (C－A)≤1，要使 cos (A－B)cos (B－C)cos (C－A)＝1，则需
cos (A－B)＝cos (B－C)＝cos (C－A)＝1，
所以 A－B＝0，B－C＝0，C－A＝0，
所以A＝B＝C，△ABC是等边三角形，故D正确.
答案：BCD
(2)(2024 年北京朝阳开学考)已知△ABC 的三个内角 A，B，C
所对的边分别为 a，b，c，则下列条件能推导出△ABC 一定为锐角
三角形的是__________.
对于④，因为 tan(A＋B)＝
tan A＋tan B
＝－tan C，则 tan A＋
1－tan Atan B
tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C，
故 tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
由于 tan A＋tan B＋tan C>0，
故 tan Atan Btan C>0，
故 A，B，C 均为锐角，△ABC 为锐角三角形，故④正确.
答案：②④
【题后反思】判断三角形形状的常用技巧
若已知条件中既有边又有角，则
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判
断三角形的形状.
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三
角形的形状.此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论.
【变式训练】
A.等腰三角形但一定不是直角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形但一定不是等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案：C
考点三 与三角形面积、周长有关的问题
考向 1 与三角形面积有关的问题
【题后反思】(1)求三角形面积的方法
①若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该
积.
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其
正弦值，代入①中公式求面积.总之，结合图形选择恰当的面积公
式是解题的关键.
(2)已知三角形面积求边、角的方法
①若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列
方程求解.
②若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式
列方程求解.
考向 2 与三角形周长有关的问题
答案：12
【考法全练】
(1)求函数 g(x)的解析式；
(2)设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，若 g(B)＝1，且 b＝4，求△ABC 面积的最大值.
⊙解平面图形问题
(2)当△BMQ 和△CNQ 的面积相等时，求 tan θ的值.
【反思感悟】平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角
度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利
用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，
常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用
所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研
究最值，常使用函数思想.
【高分训练】
sin 2A＋sin 2B＝sin [(A＋B)＋(A－B)]＋sin [(A＋B)－(A－B)]
＝sin (A＋B)cos (A－B)＋cos (A＋B)sin (A－B)＋sin (A＋B)cos (A
－B)－cos (A＋B)sin (A－B)＝2sin (A＋B)·cos (A－B)＝2sin C·
cos (A－B)＝cos (A－B).

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