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第四讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置
关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
判断方法 相交 相切 相离
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
公共点个数法 2 1 0
1.直线与圆的位置关系
内容 内含 内切 相交 外切 外离
几何法
(rdR＋r
公切线
条数 0 1 2 3 4
图形
2.两圆的位置关系
【名师点睛】(1)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2 项的系数相
同)相减便可得公共弦所在的直线方程.
(2)直线与圆相交时，圆心到直线的距离 d、半径 r 与弦长 l 满
(3)圆的切线方程常用结论
①过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
考点一 直线与圆的位置关系
[例1](1)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的
)
位置关系是(
A.相交
C.相离
B.相切
D.不确定
答案：A
(2)(2024 年福建福州质检)M(x0，y0)为圆 x2＋y2＝a2(a>0)内异
)
于圆心的一点，则直线 x0x＋y0y＝a2 与该圆的位置关系为(
A.相切
B.相交
C.相离
D.相切或相交
答案：C
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可
判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于
动直线问题.
【变式训练】
1.(多选题)已知直线 l：(m＋2)x＋y－m－3＝0 与圆 C：x2＋
y2－2x－3＝0，则(
)
A.直线 l 过定点(1，1)
B.圆 C 的半径为 4
C.直线 l 与圆 C 一定相交
D.圆心 C 到直线 l 的距离的最大值是 1
解析：直线 l 可化为 m(x－1)＋2x＋y－3＝0，
故直线 l 过定点(1，1)，A 正确；
圆 C 的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，故半径为 2，B 错误；
由于定点(1，1)在圆 C 内，故直线 l 与圆 C 一定相交，C正确；
(1，1)到圆心 C(1，0)的距离为 1，故当定点(1，1)与圆心 C
的连线与直线 l 垂直时，距离最大，故圆心 C 到直线 l 的距离的
最大值是 1，D 正确.故选 ACD.
答案：ACD
考点二 圆的切线、弦长问题
考向 1 圆的弦长问题
答案：2
考向 2 圆的切线问题
(1)求过点 P 的圆 C 的切线方程；
(2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长.
考向 3 与弦长有关的最值和范围问题
[例4]已知直线 kx－y－k＋1＝0 与圆(x－1)2＋y2＝4 相交于 A，
B 两点，则|AB|的最小值为(
)
答案：D
【题后反思】
(1)弦长的两种求法
①几何方法：若弦心距为 d ，圆的半径长为 r ，则弦长 l ＝
②代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一
个一元二次方程.在判别式Δ＞0 的前提下，利用根与系数的关系，
根据弦长公式求弦长.
(2)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关
系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有
一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存
在的切线.
【考法全练】
1.(2023 年新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆 x2＋y2－4x－1＝0 相
切的两条直线的夹角为α，则 sin α＝(
)
答案：B
答案：C
解析：过点 C 作 CD⊥l，垂足为 D，连接 CA，CB，如图.
选项 A，圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心
C(1，2)，故 A 正确；
答案：AB
考点三 圆与圆的位置关系
[例 5]已知两圆 x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋
m＝0.
(1)m 取何值时两圆外切？
(2)m 取何值时两圆内切？
(3)当 m＝45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦
的长.
【题后反思】
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间
的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方
程作差消去 x2，y2 项得到.
【变式训练】
答案：C
答案：ABD
答案：[0，3]
⊙阿波罗尼斯圆
公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一
书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，
点 A，B 为两定点，动点 P 满足|PA |＝λ|PB|.则λ＝1 时，动点 P 的
轨迹为直线；当λ＞0 且λ≠1 时，动点 P 的轨迹为圆，后世称之为
阿波罗尼斯圆.
证明：设|AB|＝2m(m＞0)，|PA |＝λ|PB|，如图，以 AB 的中点
O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，
则 A(－m，0)，B(m，0).
[例 6]在平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，则满足
|PA |＝2|PB|的点 P 的轨迹的圆心坐标为________________.
【高分训练】
平面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成
的图形是圆.人们将这种圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在
(1)求点 P 的轨迹对应的阿氏圆方程；
(2)求过点 Q(8，－4)且与阿氏圆相切的直线 l 的方程.

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