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第六讲　双曲线
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及他的简单
几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.双曲线的概念
平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数
(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦
点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}，|F1F2|＝2c，
其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.
(1)当 a(2)当 a＝c 时，点 M 的轨迹是两条射线；
(3)当 a>c 时，点 M 不存在.
项目
图形
2.双曲线的标准方程和几何性质
项目
性
质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
项目
性
质 离心率
实、虚轴 实轴A1A2的长为2a；虚轴B1B2的长为2b
a，b，c
的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为
y＝±x，离心率为
【名师点睛】双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为 b.设渐近线与实轴的夹角为θ，则双
曲线的离心率
考点一 双曲线的定义
答案：C
2.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆
M 与圆 C1 及圆 C2 均外切，则点 M 的轨迹方程为_____________.
解析：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 和圆 C2 分别外切于 A，
B 两点.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝
|MB|.
答案：4 或 12
【题后反思】(1)利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是
否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常
结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
考点二 双曲线的标准方程
答案：D
解析：由题知点 P 在第四象限，PF1⊥PF2，如图.
答案：A
考点三 双曲线的几何性质
考向 1 求双曲线的渐近线方程
答案：C
答案：C
考向 2 双曲线的离心率
通性通法：求双曲线的离心率或其范围的方法
答案：A
【考法全练】
1.(2024 年全国甲卷理科)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，
(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(
)
答案：C
答案：y＝±x
⊙与双曲线有关的最值和范围问题
答案：A
【题后反思】与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借
助曲线中不等关系来解决.
【高分训练】
答案：D
答案：(0，2)

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