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第三讲　圆的方程
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握
圆的标准方程与一般方程.
2.能根据直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际
问题.
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)
半径：r
1.圆的定义与方程
方
程 一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径：r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
【名师点睛】
(1)圆的常用性质
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上；
③直径所对的圆周角为直角.
(2)以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x
－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
考点一 求圆的方程
1.(2024 年上海期末考)以 C(3，4)为圆心且过点(1，－3)的圆
的标准方程是_______________.
答案：(x－3)2＋(y－4)2＝53
2.(2024年海南月考)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，则△ABC的外接圆方程是(　　)
A.(x－2)2＋(y－2)2＝20
B.(x＋2)2＋(y＋2)2＝20
C.(x－2)2＋(y－2)2＝5
D.(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
答案：C
3.(2022 年全国甲卷文科)设点 M 在直线 2x＋y－1＝0 上，点
(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为_______________.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
【题后反思】求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，
进而写出方程.
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，
求出 a，b，r 的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方
程组，进而求出 D，E，F 的值.
考点二 与圆有关的最值问题
考向 1 斜率型、截距型、距离型的最值问题
通性通法：把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义
解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类
转化较为常见：
图 1
图 2
考向 2 利用对称性求最值
通性通法：求解形如|PM|＋|PN|(其中 M，N 均为动点)且与圆
C 有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段
之和，一般要通过对称性解决.
答案：A
【考法全练】
1.(2023 年全国乙卷文科)已知实数 x，y 满足 x2＋y2－4x－
2y－4＝0，则 x－y 的最大值是(
)
答案：C
答案：A
⊙与圆有关的轨迹问题
[例 3]已知△ABC 两个顶点坐标为 A(－1，0)，B(3，0).
(1)若△ABC 是以点 C 为直角顶点的直角三角形，求点 C 的轨
迹方程；
【题后反思】求与圆有关的轨迹方程的方法
【高分训练】
答案：B
2.(2024 年河北邢台月考)已知圆 C 过原点 O 和点 A(1，3)，圆
心在 x 轴上.
(1)求圆 C 的方程；
(2)过圆 C 上一动点 M 作垂直于 x 轴的直线 m，设 m 与 x 轴的

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