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第五讲　椭圆
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标
准方程及简单几何性质.
1.椭圆的概念
把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距
离叫做椭圆的焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，
且 a，c 为常数.
(1)若 a＞c，则集合 P 为椭圆；
(2)若 a＝c，则集合 P 为线段；
(3)若 a项目
图形
2.椭圆的标准方程和几何性质
项目
性
质 范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
项目
性
质 焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝　∈(0，1)
a，b，c 的关系 c2＝a2－b2
【名师点睛】点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系
【常用结论】
考点一 椭圆的定义及其应用
[例1](1)(2023年广东广州期末考)△ABC 的周长是 8，B(－1，
0)，C(1，0)，则顶点 A 的轨迹方程是(
)
答案：A
答案：A
∵点P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16一个交点，
所以|PF1|＝4，
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF|＝2a＝6，
所以|PF|＝6－|PF1|＝6－4＝2.
【题后反思】椭圆定义的应用技巧
(1)探求轨迹：通过动点与两定点的距离之间的关系判断动点
轨迹是否为椭圆.
(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝
2a 实现等量转换.
(3)焦点三角形：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，用于
求焦点三角形的面积等问题.
【变式训练】
由椭圆的性质知|MF1|＋|MF2|＝2a＝14.
答案：D
答案：25
考点二 椭圆的标准方程
答案：D
答案：C
【题后反思】
(1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a>|F1F2|；利用待定
系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2＋
ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
【变式训练】
解析：不妨设点 A 在第一象限，如图所示.
∵AF2⊥F1F2，
∴A(c，b2)(其中 c2＝1－b2，0＜b＜1，c＞0).
又∵|AF1|＝3|F1B|，
考点三 椭圆的几何性质
考向 1 椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率
(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正
方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为(
)
答案：D
考向 2 与椭圆性质有关的最值或范围问题
解析：因为|OP|＝|OF2|，所以|OP|＝|OF2|＝|OF1|，则PF1⊥PF2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.　
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2，
即|F1F2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2，得4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，则|PF1||PF2|＝2b2.
【题后反思】
(1)求椭圆离心率的方法
①直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解；
(2)在求与椭圆有关的一些量的范围或者最值时，经常用到椭
圆标准方程中 x，y 的范围、离心率的范围等不等关系.
(3)与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
①利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或
取值范围；
②利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；
③利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
【考法全练】
答案：BCD
答案：[2，6]
⊙椭圆离心率的范围问题
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于
a，b，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围.
解析：设椭圆的上顶点为 B，连接 BF1，BF2，如图所示，
则|BF1|＝|BF2|＝a，|OF2|＝c，
若椭圆上存在点 Q，使得∠F1QF2＝120°，则∠F1BF2≥120°，
则∠OBF2≥60°，显然∠OBF2<90°，
答案：D
【题后反思】求椭圆离心率范围的两种方法
方法 解读 适合题型
直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得
出不等关系，直接转化为含有 a，b，c 的
不等关系式 题设条件有直
接的不等关系
【高分训练】
解析：如图，当 Q，F2 在 O 点同侧时，不妨设点 P 在第一象限，

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