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第二讲　充分条件与必要条件
1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系.
3.理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系.
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q 　　　p
p是q的必要不充分条件 p 　　　q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p 　　　q且q 　　　p
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.充分条件与必要条件的两个特征
【常用结论】
(1)p 是 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条
件.其他情况依次类推.
(2)集合与充要条件：设事件 p＝“x∈A”，q＝“x∈B”，则
B；p是q的必要不充分条件 A B；
p是q的充分不必要条件 A
p是q的充要条件 A＝B.
考点一 充分条件、必要条件的判断
[例 1](1)(2023年天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的
(
)
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得 a＝－b 或 a＝b，
a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得 a＝b，故“a2＝b2”不能推出
“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝
b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分
条件.故选 B.
答案：B
(2)“月相变化”指的是地球上所看到的月球被日光照亮的不
同现象.当地月连线和日地连线正好垂直时，若我们正好可以看到
月球西半边亮且呈半圆形，则称之为“上弦月”；若我们正好可
以看到月球东半边亮且呈半圆形，则称之为“下弦月”.根据以上
信息可知“地月连线和日地连线垂直”是“下弦月”的(
)
A.充要条件
C.充分不必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当地月连线和日地连线垂直时，我们可能看到“上弦
月”或“下弦月”，充分性不成立；
若为“下弦月”，则地月连线和日地连线垂直，必要性成立.
故“地月连线和日地连线垂直”是“下弦月”的必要不充分条件.
答案：B
【题后反思】判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法：根据 p q，q p 进行判断，适用于定义、定理判
断性问题.
(2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行
判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
【变式训练】
1.(2023 年四川成都期末考)设α，β为不同的平面，m，n 为不
同的直线，n⊥α，n⊥β，则“m⊥α”是“m⊥β”的(
)
A.充要条件
C.充分不必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：因为 n⊥α，n⊥β，所以α∥β，若 m⊥α，则 m⊥β；
若 m⊥β，则 m⊥α.故选 A.
答案：A
2.(2024 年海南模拟)若 p：－3(
)
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当－3立，所以 p 是 q 的充分不必要条件.故选 A.
答案：A
考点二 充分条件、必要条件的应用
考向 1 充分条件、必要条件的探求
通性通法：先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推
大”的方法确定符合题意的条件.
[例 2]写出“实数 x，y 满足条件 x＋y≥0”的一个充分不必
要条件：________________.(答案不唯一)
解析：根据充分不必要条件的定义，只需找出一组满足不等
式的值即可，不妨令 x＝0，y＝2，而 x＋y≥0 不能推出该组值，
故符合要求.
答案：x＝0，y＝2(此题答案不唯一)
考向 2 利用充分、必要条件求参数的取值范围
通性通法：(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充
要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关
于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端
点值的检验，从而确定取舍.
[例3]已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤
x≤1＋m}.若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则 m 的取值范
围是________.
解析：由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知 S P.
∴0≤m≤3.即 m 的取值范围是[0，3].
答案：[0，3]
【考法全练】
答案：A
2.(2024 年河南南阳期中考)“方程 ax2＋2x－1＝0 有实根”的
充要条件为(
)
A.a∈[－1，＋∞)
B.a∈(－1，＋∞)
C.a∈[－1，0)∪(0，＋∞)
D.a∈(－1，0)∪(0，＋∞)
答案：A
⊙“交汇型”充分条件、必要条件的判断
[例4]已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”
是“S4＋S6＞2S5”的(　　)
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案：C
【反思感悟】“交汇型”充分条件、必要条件的问题通常是
选取合适的数学背景，把新交汇考点巧妙地融入试题中.虽然它的
构思巧妙、题意新颖，但是，它考查的还是基本知识和基本技能.
解这类题的关键在于用慧眼去找寻“交汇点”，用心灵去感受题
意以及科学合理地运算推理.
【高分训练】
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：C
2.(多选题)(2024 年山东潍坊阶段练习)下列命题是真命题的是
(
)
A.“a>b”是“a3>b3”的充要条件
B.“a＝b”是“|a|＝|b|”的必要不充分条件
C.“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形的充分不
必要条件”
D.“两个三角形的两组对应角相等”是“两个三角形相似”
的充要条件
解析：对于 A，∵f(x)＝x3 为在 R 上的单调递增函数，
∴“a>b”是“a3>b3”的充要条件，故 A 正确.
对于 B，当|a|＝|b|时，则 a＝±b，所以|a|＝|b|不能推出 a＝b，
所以“a＝b”不是“|a|＝|b|”的必要条件，故 B 错误.
对于 C，菱形的对角线相互垂直，但对角线相互垂直的四边
形不一定是菱形，故 C 错误.
对于 D，两个三角形的两组对应角相等，则两个三角形的三
组对应角都相等，故两个三角形相似；反之，如果两个三角形相
似，则三组对应角都相等，由此可判断“两个三角形的两组对应
角相等”是“这两个三角形相似”的充要条件，故 D 正确.故选
AD.
答案：AD

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