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(共57张PPT)
第七讲　抛物线
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单
几何性质.
2.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等
的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛
物线的准线.
标准方程 y2＝2px
(p>0) y2＝－2px
(p>0) x2＝2py
(p>0) x2＝－2py
(p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
图形
2.抛物线的标准方程和几何性质
顶点坐标 O(0，0)
对称轴 x 轴 y 轴
焦点坐标
离心率 e＝1
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
【名师点睛】
如图，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切.
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于 2p，通径是过
焦点最短的弦.
考点一 抛物线的定义及应用
过点 P，N 分别作准线 x＝－2 的垂线，垂足分别为 B，D，
如图，
【题后反思】抛物线定义的应用规律
提醒：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛
物线问题的重要途径.
【变式训练】
答案：D
答案：A
考点二 求抛物线的标准方程
1.(多选题)(2024 年河北石家庄期末考)经过点 P(4，－2)的抛
)
物线的标准方程为(
A.y2＝x
C.y2＝－8x
B.y2＝8x
D.x2＝－8y
答案：AD
选项 C，如图，设过点 A(1，0)的直线方程为 x＝my＋1(m≠0)，
答案：BC
答案：y2＝8x
【题后反思】求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置确定开口方向.
(2)再定形：根据条件求 p 的值.
考点三 抛物线的几何性质
解析：过点 M，P，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别
为 M1，P1，N1，
连接 AM，MF，NF，如图，
答案：ACD
答案：ABD
【题后反思】
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形
直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如
此.
【变式训练】
1.(2024 年广东汕头质检)已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：
y2 ＝2px(p>0)的焦点，点 M(x0 ，4)在 C 上，且|MF|＝2|OF|，则 C
)
的方程为(
A.y2＝x
C.y2＝4x
B.y2＝2x
D.y2＝8x
答案：D
2.如图所示，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线依次交
抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物
线的方程为(
)
A.y2＝8x
B.y2＝4x
C.y2＝2x
D.y2＝x
解析：如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，交准线于点 E，
D，设准线与 x 轴交于点 G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由
定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，
答案：B
⊙活用抛物线焦点弦的常用结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上
形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时
抛物线的焦点弦问题的几个常用结论即为具体表现之一.
(5)以 AB 为直径的圆与准线相切，切点为点 M.
(6)分别过 A，B 两点作抛物线的切线，两切线交于(5)中的
点 M.
解析：设抛物线的准线与 x 轴交于点 F1，过点 A 作准线的垂
线，垂足为 A1，过点 B 分别作准线和 x 轴的垂线，垂足分别为 B1，
B2，如图所示.
答案：ABC
【高分训练】
1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直
线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为(
)
答案：D
2.直线 l 过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F(1，0)，且与 C
交于 A，B 两点，则 p 的值为___________，2|AF|＋|BF|的最小值
为____________.

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