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第七章
平面解析几何
第一讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的
几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线
斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种
形式(点斜式、两点式及一般式).
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，以 x 轴为基准，x 轴正向
与直线 l 向上的方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.
(2)范围：0°≤α<180°.
2.斜率公式
(1)若直线 l 的倾斜角α≠90°，则斜率 k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝
3.直线的方向向量
(2)若直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的一个方向向量为(1，k).
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线
y＝y1　
4.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
截距式 不含垂直于坐标轴和过
原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直
线都适用
提醒：截距是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，
也可以是零，而距离是一个非负数.
α 0
k 0 k>0 不存在 k<0
【名师点睛】
(1)直线的倾斜角α和斜率 k 之间的对应关系：
(2)直线的斜率 k 和倾斜角α之间的函数关系如图.
(3)特殊直线的方程
①过点 P1(x1，y1)且垂直于 x 轴的直线方程为 x＝x1；
②过点 P1(x1，y1)且垂直于 y 轴的直线方程为 y＝y1；
③y 轴的方程为 x＝0；
④x 轴的方程为 y＝0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
[例1](1)已知直线 l 的斜率的范围为[－1，1]，则直线 l 的倾斜
角α的取值范围为(
)
A.0°≤α≤45°或 135°≤α≤180°
B.45°≤α≤135°
C.45°<α<135°
D.0°≤α≤45°或 135°≤α<180°
解析：由题意可知 tan α∈[－1，1]，0°≤α<180°，由正切
函数的单调性可知 0°≤α≤45°或 135°≤α<180°.
答案：D
答案：x＋y－1＝0
【题后反思】
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取
值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 y＝tan x 在
[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并
不是单调的.
【变式训练】
(多选题)如图，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜
角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(
)
A.k1＜k3＜k2
C.α1＜α3＜α2
B.k3＜k2＜k1
D.α3＜α2＜α1
答案：AD
考点二 直线方程的求法
[例2](1)已知点 M 是直线 l：2x－y－4＝0 与 x 轴的交点，将
直线 l 绕点 M 按逆时针方向旋转 45°，得到的直线方程是(　　)
A.x＋y－3＝0
B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0
D.3x＋y－6＝0
答案：D
【题后反思】
(1)已知直线的斜率与直线上某一点的坐标时，用点斜式.
(2)已知直线上两点的坐标时，用两点式，或先利用斜率公式
求出斜率，再利用点斜式写出直线方程.
(3)用待定系数法时，一般选取直线的一般式或斜截式.
(4)若直线可能与 x 轴垂直时，应避免选用与斜率相关的形式，
【变式训练】
1.(2024 年广东江门期末考)直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的
取值范围是(
)
答案：B
2.求过点 A(－5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2
倍的直线方程.
考点三 直线方程的综合应用
[例3]已知直线 l 过点 M(2，1)，且分别与 x 轴的正半轴、y 轴
的正半轴交于 A，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求
直线 l 的方程.
【题后反思】
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函
数，再利用基本不等式(或函数)求最值.
(2)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程
中 x，y 的关系，将问题转化为关于 x(或 y)的函数，借助函数的性
质解决问题.
【变式训练】
(2024 年广东深圳月考)已知关于 x，y 的二元一次方程表示直
线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如 x2－y2＝0 表示的就
是 x＋y＝0 和 x－y＝0 两条直线.
(1)求方程(x－y＋2)(2x＋y＋1)＝0 表示的直线与 y 轴围成的面
积；
(2)若方程 x2－y2＋ax＋2y－1＝0 表示的是两条直线，求 a 的
值.
⊙巧构造，妙用斜率求解问题
解析：作出函数 f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可
知当 x＞0 时，曲线上各点与原点连线的斜率随 x 的增大而减小，
【高分训练】
(2024 年广东深圳期中考)已知点 A(2，－3)，B(－3，－2)，若
过点(1，1)的直线与线段 AB 相交，则该直线斜率的取值范围是
(
)
答案：B

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