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第五讲　基本不等式及其应用
1.探索并了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
的几何平均数.
[注意]在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成
立.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知 x>0，y>0，则
【名师点睛】
(1)使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”
三个条件缺一不可.
(2)“当且仅当 a＝b 时等号成立”的含义是“a＝b”是“等
号成立”的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题
错误.
(3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致.
考点一 基本不等式的证明
[例 1](1)(2023 年广西一模)《几何原本》中的“几何代数法”
(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依据，通
过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，
也称之为“无字证明”.如图，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB
上，且 OF⊥AB，设 AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证
明为(
)
答案：D
答案：A
【题后反思】
【变式训练】
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值
考向 1 通过配凑法求最值
考向 2 通过常数代换法求最值
答案：C
考向 3 通过消元法求最值
[例4]已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为
________.
答案：6
【题后反思】利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，
然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条
件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
【考法全练】
x＋y 的最小值是(
)
A.3
B.4
C.6
D.9
答案：D
答案：B
答案：3
考点三 基本不等式在实际问题中的应用
[例 5](2024 年贵州六盘水期中考)如图所示，动物园要建造一
面靠墙的矩形熊猫居室，墙长 20 m.若可供建造围墙的材料总长是
36 m，则当宽 x 为________m 时，才能使所建造的熊猫居室面积
最大，熊猫居室的最大面积是________m2.
答案：9 162
【题后反思】基本不等式在实际问题中的应用
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题写出函数的解析式后，只需利用基本不等式
求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的
自变量的取值范围)内求解.
【变式训练】
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(单位：
L)与速度x(单位：km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，其每小时耗油量最少？
(2)已知 A，B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地
驶向 B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
所以当 x＝120 时，l 取得最小值，最小值为 10.
因为 10<16，所以当速度为 120 km/h 时，总耗油量最少.

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