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2027届高一年级第二次数学阶段性测试5.30
一、单选题
1．集合，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B． C． D．
6．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
8.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（ ）
A． B．
C． D．
10．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ）
A．若，，，则满足条件的三角形有2个
B．若，则△ABC是等腰三角形
C．若△ABC是锐角三角形，则
D．若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
11．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段上的动点（不含端点）， （ ）
A.异面直线与AF所成角可以为
B.当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行
C.当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.总存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（ ）
三、填空题
12．已知的内角的对边分别为，且，，，则 .
13．函数y＝sin2x－2sin xsin＋sin 图象的对称中心是____________________．
14．已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
16.如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点．
(1)求证：（用向量法证明）；
(2)设，求的值．
(3)若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围．
17．如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成.
(1)求的解析式；
(2)已知，求的取值范围；
(3)若方程存在实数解，求的取值范围.
18．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x(x∈R)．
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
19．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点，求的值．
2027届高一年级第二次数学阶段性测试参考答案5.30
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B B D A AD ACD
题号 11
答案 BC
12. / 13.　(k∈Z) 14．
15．(1) (2) (3)
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
16． (1)证明见解析； (2)； (3).
【详解】（1）以直线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，
，，
所以.
（2）由（1）知，，
由，得，解得，
所以.
（3）由（1）知，
当在线段上时，设，，；
当在线段上时，设，，
；
当在线段上时，设，，；
当在线段上时，设，，
，
所以的取值范围是.
17．(1) (2) (3)
【详解】（1）由题意得，解得，所以.
（2）因为在上单调递减，且，
，解得.
（3）存在实数解，即有解，
即函数的图象与函数的图象有交点，
所以，解得或.
故的取值范围为.
18．（1）， (2) [1,2)
【详解】　(1)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝2＋1
＝2sin＋1.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为，.
(2)依题意，得2sin＋1－t＝1，
所以t＝2sin，
即函数y＝t与y＝2sin的图象在内有两个交点．
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈时，sin∈，
y＝2sin∈[1,2]；
当2x＋∈时，
sin∈，
y＝2sin∈[－1,2]．
由函数y＝t与y＝2sin的图象(图略)，
得1≤t<2，所以实数t的取值范围是[1,2)．
由函数y＝t与y＝2sin2x＋π6的图象(图略)，
得1≤t<2，所以实数t的取值范围是[1,2)．
19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2
【详解】（1）连接，
在中，，，且，
又，，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，又平面，平面，
平面，
在中，，，
又平面，平面，平面，
又因且均在平面中，
平面平面.
（3）由（1）知，又面，面，平面，
又平面，面面，
，又，，．

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