资源简介

锯齿模型和—浙教版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2024七下·覃塘期末）如图，，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
2．如图， 直线 于点 ， 若 ， 则 的度数是 （　　）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形纸片ABCD 的边 BC 上取一点 E，沿着 EF，EG剪去两个直角三角形.已知∠AFE=125°，∠FEG=100°，则∠DGE 的度数为 (　　)
A．135° B．125° C．115° D．105°
4．（2024七下·丹东期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当，时，台灯光线最佳，则此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·新化期末）如图，两直线，点、、、为、之间的四点，则的度数之和为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024七下·江门月考）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2025七下·长沙月考）如图，，则　 　．
8．（2024八上·岳阳开学考）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=　 　.
三、解答题
9．已知 ，试解决下列问题：
（1）如图 1， ▲
（2）如图 2， 等于多少度？请说明理由．
（3） 如图 3， ▲
（4） 如图 4， 试探究 ▲
10．（2024八上·温江期末）如图，直线，连接，为一动点．
（1）当动点落在如图（1）所示的位置时，连接，求证：
（2）当动点落在如图所示的位置时，连接，则之间的关系如何，你得出的结论是　 　．（只写结果，不用写证明）
11．如图 1， 已知直线 ， 点 分别在直线 与 上， 点 为两平行线间一点．
（1） 求证： ①；
②．
（2） 利用 (1) 的结论解答：
① 如图 2， 分别平分 ， ， 请你直接写出 与 的数量关系．
② 如图 分别平分 ， ， 若 ， 求 的度数．
12．（2025七下·江海月考）如图1，点，点分别是上的点，，过直线与之间的点作，可得．
（1）请你在下面的两个结论中任选一个，完成你的证明．你选择结论__________（只填序号）
①；②
（2）你可以直接使用（1）中的结论解决下列问题：
①如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数．
②如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数为__________．
13．（2024七下·东兴月考） 问题情景：已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ.
（1）如图1，过点E作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，类比(1)中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，直接写出∠PFQ的度数.
14．（2024七下·广州期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点．
探究问题
（1）在图1中，，，之间的数量的关系为______．
，，之间的数量关系为：______．
知识迁移
（2）如图2，若，，试猜想和间的数量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】铅笔头模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，过点作．
，
，
，，
．
故答案为：D．
【分析】过点作，先利用平行线的传递性可得，再利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出即可．
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠AEF+∠A=180°，∠CEF+∠C=180°，
∴∠AEF=180°-∠A=180°-120°=60°，
又∵AE⊥CE，
∴∠CEF=90°-∠AEF=30°，
∴∠C=180°-∠CEF=150°，
故选：B.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.
3．【答案】A
【知识点】正方形的性质；铅笔头模型；平行线的判定与性质的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：找模型：是否存在两条平行线：AB∥CD；平行线上的点与平行线间的点的连线是否构成拐角：∠FEG.用模型：根据“铅笔头”模型可知，∠AFE+∠FEG+∠DGE=
【分析】观察图形知AB平行CD，则 ∠AFE、∠FEG及 ∠DGE 的和为360度，再直接计算即可.
4．【答案】C
【知识点】铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点E作，如图所示，
∵
∴
∴∠A+∠AEF=180°，∠FEC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C=360°，
即∠EAB+∠AEC+∠C=360°，
∵∠AEC=137°，∠C=118°，
∴∠A=360°-（∠AEC+∠C）=105°，
故答案为：C.
【分析】
过点E作，则，根据平行线的判定和性质可得结论.
5．【答案】D
【知识点】铅笔头模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，过点E、F、G、H、N分别作的平行线，
∵，
∴，
∴，，，，，
∴
，
故答案为：D．
【分析】过点E、F、G、H、N分别作AB的平行线，则AB∥CD∥PE∥QFD∥SG∥TH，根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：
①如图，过点作直线，
，
，
∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∴∠1+∠A+∠2+∠C=180°+180°=360°
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC+∠A+∠C=360°，故结论①错误；
②如图，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
又∵∠1=∠C+∠P，
∴∠A=∠C+∠P，
∴∠P=∠A-∠C，故结论②正确；
③如图，过点作直线，
，
，
∴∠1=∠2，∠3+∠A=180°，
∴∠3=180°-∠A，
又∵∠AEC=∠2+∠3，
∴∠AEC=∠1+180°-∠A，即∠AEC=180°+∠1-∠A，故结论③错误；
④如图，
，
∴∠α+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠α，
，
∴∠α+∠1=180°，
∴∠2=180°-∠γ，
又∵∠1+∠β+∠γ=180°，
∴180°-∠α+∠β+180°-∠γ=180°，
∴∠α-∠β+∠γ=180°，故结论④正确，
综上所述：结论②和④正确，共有2个，
故答案为：B．
【分析】①过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论①错误；②如图，先根据行线的性质：两直线平行，内错角相等，得出∠A=∠1，再根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠P，即可得出结论②正确；③如图，过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠1=∠2，∠3+∠A=180°，进而可得∠AEC=180°+∠1-∠A，即可得出结论③错误；④如图，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得出∠α+∠1=180°，∠α+∠1=180°，再根据平角的定义可得，180°-∠α+∠β+180°-∠γ=180°，即∠α-∠β+∠γ=180°，即可得出结论④正确，从而得出正确答案.
7．【答案】
【知识点】铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：作，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】分别过分别作，可推出AB∥EM∥FN∥CD，利用两直线平行同旁内角互补，可求出的度数.
8．【答案】360°
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，
∴ ∠BAC+∠ACE+∠CEF= ∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°，
故答案为：360°.
【分析】利用两条直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，再利用角的运算求解即可.
9．【答案】（1）
（2）解：如图，过点 作直线 ．
（3）
（4）
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
故填：180°.
（3）如图，过点E和点F分别作EG∥AB，FH∥AB，
同理可得，∠1+∠AEF=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠CFH+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠AEF+∠GEF+∠EFH+∠CFH+∠4=3×180°=540°，
故填：540°.
（4）由（2）（3）可知，
.
故填：.
【分析】（1）观察目标角的关系，直接由平行线的性质即可得出结果；
（2）为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数；
（3）同（2）过拐点作平行线，利用平行线的性质即可推理分析得出目标角的关系并计算得出结果；
（4）由（2）（3）的规律类比推理，即可得出一般性的规律得出结果.
10．【答案】（1）（1）延长AP交BD于M，如图1，
∵AC∥BD，
∴∠PAC＝∠AMB，
∵∠APB＝∠AMB＋∠PBD，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD；
（2）∠APB+∠PAC+∠PBD＝360
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；铅笔头模型
【解析】【解答】（2）∠APB+∠PAC+∠PBD＝360，
如图2，过P作EF∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠PAC＋∠APF＝180，∠PBD＋∠BPF＝180，
∴∠PAC＋∠APF＋∠PBD＋∠BPF＝360，
∴∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD＝360．
【分析】（1）延长AP交BD于M，根据直线平行性质可得∠PAC＝∠AMB，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（2）过P作EF∥AC，根据直线平行性质可得 AC∥EF∥BD， 再根据角之间的关系即可求出答案.
11．【答案】（1）证明：①如图，过点 作 ，
则 ．
即 ．
②∵CD∥MN∥EF，
∴∠APN=∠CAP，∠BPN=∠EBP，
又∵∠ABP+∠APN+∠BPN=360°，
∴.
（2）解：①．
② 由 (1) 得 分别平分 ，
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】（2）解：①由（1）可知，∠P=∠DAP+∠FBP，
同理可证，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
又∵ 分别平分 ， ，
∴，
∴，
即.
【分析】（1）为利用已知平行条件，通过过拐点P作已知直线的平行线即可直接使用平行线的性质完成角度推理得证①②；
（2）根据（1）中结论结合角平分线的角度关系进一步推理，不熟练的情况可以通过设二元直接表示得出目标与条件角直接的关系即可得证①并求出角度②.
12．【答案】（1）解：选择结论①：∵，，
∴，
∴，
∴；
选择结论②：
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得：，，∵，
∴，
∵点M是和平分线的交点，
∴，
∴，
∴；
②：
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（2）②：设，则，
∵比大，平分，
∴，，
由（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
【分析】
（1）选择结论①：根据平行线的判定可得，从而得到，即可；选择结论②：根据平行线的判定可得，从而得到，即可；
（2）①由（1）得：，，可得，然后结合角平分线的定义可得，即可求解；
②设，则，可得，，由（1）得：，，，从而得到，然后结合角平分线的定义可得，可列出方程，即可求解．
（1）解：选择结论①：
∵，，
∴，
∴，
∴；
选择结论②：
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得：，，
∵，
∴，
∵点M是和平分线的交点，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵比大，平分，
∴，，
由（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
13．【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
证明：过点作，
，
，
，
，
，
即．
（3）解：根据（1）可得，
由（2）可得，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【分析】（1） 过点E作EH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EH∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH， 然后根据角的和差及等量代换可得结论；
（2）过点E作EG∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EG∥CD，由二直线平行，通同旁内角互补，得∠APE+∠PEG=180°，∠CQE+∠QEG=180°， 然后将两个等式相加即可得出结论；
（3）根据（1）（2）结论及角平分线的性质和角的关系证出即可.
14．【答案】解：
（1）；；
（2），理由如下：
如图所示，过点作，过点作，
设，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
由上述证明可知，，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；．
【分析】
（1）如图所示，过点作，根据两直线平行内错角相等即可求解，，之间的数量的关系；再根据角平分线的性质可求出，，之间的数量关系；
（2）如图所示，过点作，过点作，设，，根据平行线的性质，角平分线的性质可得，，，由此可得，所以根据，即可求解．
1 / 1锯齿模型和—浙教版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2024七下·覃塘期末）如图，，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】铅笔头模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，过点作．
，
，
，，
．
故答案为：D．
【分析】过点作，先利用平行线的传递性可得，再利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出即可．
2．如图， 直线 于点 ， 若 ， 则 的度数是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠AEF+∠A=180°，∠CEF+∠C=180°，
∴∠AEF=180°-∠A=180°-120°=60°，
又∵AE⊥CE，
∴∠CEF=90°-∠AEF=30°，
∴∠C=180°-∠CEF=150°，
故选：B.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.
3．如图，在正方形纸片ABCD 的边 BC 上取一点 E，沿着 EF，EG剪去两个直角三角形.已知∠AFE=125°，∠FEG=100°，则∠DGE 的度数为 (　　)
A．135° B．125° C．115° D．105°
【答案】A
【知识点】正方形的性质；铅笔头模型；平行线的判定与性质的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：找模型：是否存在两条平行线：AB∥CD；平行线上的点与平行线间的点的连线是否构成拐角：∠FEG.用模型：根据“铅笔头”模型可知，∠AFE+∠FEG+∠DGE=
【分析】观察图形知AB平行CD，则 ∠AFE、∠FEG及 ∠DGE 的和为360度，再直接计算即可.
4．（2024七下·丹东期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当，时，台灯光线最佳，则此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点E作，如图所示，
∵
∴
∴∠A+∠AEF=180°，∠FEC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C=360°，
即∠EAB+∠AEC+∠C=360°，
∵∠AEC=137°，∠C=118°，
∴∠A=360°-（∠AEC+∠C）=105°，
故答案为：C.
【分析】
过点E作，则，根据平行线的判定和性质可得结论.
5．（2024七下·新化期末）如图，两直线，点、、、为、之间的四点，则的度数之和为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】铅笔头模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，过点E、F、G、H、N分别作的平行线，
∵，
∴，
∴，，，，，
∴
，
故答案为：D．
【分析】过点E、F、G、H、N分别作AB的平行线，则AB∥CD∥PE∥QFD∥SG∥TH，根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．
6．（2024七下·江门月考）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：
①如图，过点作直线，
，
，
∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∴∠1+∠A+∠2+∠C=180°+180°=360°
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC+∠A+∠C=360°，故结论①错误；
②如图，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
又∵∠1=∠C+∠P，
∴∠A=∠C+∠P，
∴∠P=∠A-∠C，故结论②正确；
③如图，过点作直线，
，
，
∴∠1=∠2，∠3+∠A=180°，
∴∠3=180°-∠A，
又∵∠AEC=∠2+∠3，
∴∠AEC=∠1+180°-∠A，即∠AEC=180°+∠1-∠A，故结论③错误；
④如图，
，
∴∠α+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠α，
，
∴∠α+∠1=180°，
∴∠2=180°-∠γ，
又∵∠1+∠β+∠γ=180°，
∴180°-∠α+∠β+180°-∠γ=180°，
∴∠α-∠β+∠γ=180°，故结论④正确，
综上所述：结论②和④正确，共有2个，
故答案为：B．
【分析】①过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论①错误；②如图，先根据行线的性质：两直线平行，内错角相等，得出∠A=∠1，再根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠P，即可得出结论②正确；③如图，过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠1=∠2，∠3+∠A=180°，进而可得∠AEC=180°+∠1-∠A，即可得出结论③错误；④如图，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得出∠α+∠1=180°，∠α+∠1=180°，再根据平角的定义可得，180°-∠α+∠β+180°-∠γ=180°，即∠α-∠β+∠γ=180°，即可得出结论④正确，从而得出正确答案.
二、填空题
7．（2025七下·长沙月考）如图，，则　 　．
【答案】
【知识点】铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：作，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】分别过分别作，可推出AB∥EM∥FN∥CD，利用两直线平行同旁内角互补，可求出的度数.
8．（2024八上·岳阳开学考）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=　 　.
【答案】360°
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，
∴ ∠BAC+∠ACE+∠CEF= ∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°，
故答案为：360°.
【分析】利用两条直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，再利用角的运算求解即可.
三、解答题
9．已知 ，试解决下列问题：
（1）如图 1， ▲
（2）如图 2， 等于多少度？请说明理由．
（3） 如图 3， ▲
（4） 如图 4， 试探究 ▲
【答案】（1）
（2）解：如图，过点 作直线 ．
（3）
（4）
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
故填：180°.
（3）如图，过点E和点F分别作EG∥AB，FH∥AB，
同理可得，∠1+∠AEF=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠CFH+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠AEF+∠GEF+∠EFH+∠CFH+∠4=3×180°=540°，
故填：540°.
（4）由（2）（3）可知，
.
故填：.
【分析】（1）观察目标角的关系，直接由平行线的性质即可得出结果；
（2）为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数；
（3）同（2）过拐点作平行线，利用平行线的性质即可推理分析得出目标角的关系并计算得出结果；
（4）由（2）（3）的规律类比推理，即可得出一般性的规律得出结果.
10．（2024八上·温江期末）如图，直线，连接，为一动点．
（1）当动点落在如图（1）所示的位置时，连接，求证：
（2）当动点落在如图所示的位置时，连接，则之间的关系如何，你得出的结论是　 　．（只写结果，不用写证明）
【答案】（1）（1）延长AP交BD于M，如图1，
∵AC∥BD，
∴∠PAC＝∠AMB，
∵∠APB＝∠AMB＋∠PBD，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD；
（2）∠APB+∠PAC+∠PBD＝360
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；铅笔头模型
【解析】【解答】（2）∠APB+∠PAC+∠PBD＝360，
如图2，过P作EF∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠PAC＋∠APF＝180，∠PBD＋∠BPF＝180，
∴∠PAC＋∠APF＋∠PBD＋∠BPF＝360，
∴∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD＝360．
【分析】（1）延长AP交BD于M，根据直线平行性质可得∠PAC＝∠AMB，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（2）过P作EF∥AC，根据直线平行性质可得 AC∥EF∥BD， 再根据角之间的关系即可求出答案.
11．如图 1， 已知直线 ， 点 分别在直线 与 上， 点 为两平行线间一点．
（1） 求证： ①；
②．
（2） 利用 (1) 的结论解答：
① 如图 2， 分别平分 ， ， 请你直接写出 与 的数量关系．
② 如图 分别平分 ， ， 若 ， 求 的度数．
【答案】（1）证明：①如图，过点 作 ，
则 ．
即 ．
②∵CD∥MN∥EF，
∴∠APN=∠CAP，∠BPN=∠EBP，
又∵∠ABP+∠APN+∠BPN=360°，
∴.
（2）解：①．
② 由 (1) 得 分别平分 ，
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】（2）解：①由（1）可知，∠P=∠DAP+∠FBP，
同理可证，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
又∵ 分别平分 ， ，
∴，
∴，
即.
【分析】（1）为利用已知平行条件，通过过拐点P作已知直线的平行线即可直接使用平行线的性质完成角度推理得证①②；
（2）根据（1）中结论结合角平分线的角度关系进一步推理，不熟练的情况可以通过设二元直接表示得出目标与条件角直接的关系即可得证①并求出角度②.
12．（2025七下·江海月考）如图1，点，点分别是上的点，，过直线与之间的点作，可得．
（1）请你在下面的两个结论中任选一个，完成你的证明．你选择结论__________（只填序号）
①；②
（2）你可以直接使用（1）中的结论解决下列问题：
①如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数．
②如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数为__________．
【答案】（1）解：选择结论①：∵，，
∴，
∴，
∴；
选择结论②：
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得：，，∵，
∴，
∵点M是和平分线的交点，
∴，
∴，
∴；
②：
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（2）②：设，则，
∵比大，平分，
∴，，
由（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
【分析】
（1）选择结论①：根据平行线的判定可得，从而得到，即可；选择结论②：根据平行线的判定可得，从而得到，即可；
（2）①由（1）得：，，可得，然后结合角平分线的定义可得，即可求解；
②设，则，可得，，由（1）得：，，，从而得到，然后结合角平分线的定义可得，可列出方程，即可求解．
（1）解：选择结论①：
∵，，
∴，
∴，
∴；
选择结论②：
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得：，，
∵，
∴，
∵点M是和平分线的交点，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵比大，平分，
∴，，
由（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
13．（2024七下·东兴月考） 问题情景：已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ.
（1）如图1，过点E作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，类比(1)中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，直接写出∠PFQ的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
证明：过点作，
，
，
，
，
，
即．
（3）解：根据（1）可得，
由（2）可得，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【分析】（1） 过点E作EH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EH∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH， 然后根据角的和差及等量代换可得结论；
（2）过点E作EG∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EG∥CD，由二直线平行，通同旁内角互补，得∠APE+∠PEG=180°，∠CQE+∠QEG=180°， 然后将两个等式相加即可得出结论；
（3）根据（1）（2）结论及角平分线的性质和角的关系证出即可.
14．（2024七下·广州期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点．
探究问题
（1）在图1中，，，之间的数量的关系为______．
，，之间的数量关系为：______．
知识迁移
（2）如图2，若，，试猜想和间的数量关系，并加以证明．
【答案】解：
（1）；；
（2），理由如下：
如图所示，过点作，过点作，
设，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
由上述证明可知，，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；．
【分析】
（1）如图所示，过点作，根据两直线平行内错角相等即可求解，，之间的数量的关系；再根据角平分线的性质可求出，，之间的数量关系；
（2）如图所示，过点作，过点作，设，，根据平行线的性质，角平分线的性质可得，，，由此可得，所以根据，即可求解．
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