资源简介

《正方形》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习
一、单选题
1．（2024八下·越城期末）如图1是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形（如图2、图3）．由5个同样大小的正方形组成的纸片（如图4），现要剪拼成一个大正方形，则需要在图4的纸片中最少剪（　　）
A．1刀 B．2刀 C．3刀 D．4刀
【答案】B
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图所示，由5个小正方形组成的十字形纸板如解图所示剪开，使剪成的若干块能够拼成如解图所示的一个大正方形，最少只需剪2刀．
故答案为：B．
【分析】观察图4，发现与一个2×2的正方形相比，多了一个小正方形，因此，剪拼后的正方形面积为5，边长为，而刚好是两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，于是我们需要通过剪切，将多余的部分进行重新分配，使其能填补到正方形的空缺部分，从而将十字形纸片的四个角（标注①②③④的部分）剪下来，拼接到十字形纸片的四个内角，形成了一个正方形.
2．（2024八下·东阳期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接，并延长交于点，若是的中点，，则的长（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形和都是正方形，
∴，，
∵是的中点，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
设的长为x，
∴，
∴，
在中，，
∴
解得，
即的长为，
故正确答案为：C
【分析】首先根据垂直平分， 可得出DE=AD=AB=5，再根据余角的性质可得出， 即可得出， 设=x，则可得出CI=5-x，DI=5+x，根据勾股定理即可得出方程式 ，解方程即可得出答案。
3．（2024八下·西湖期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若点是的中点，连接并延长交于点，若，则线段的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：解：四个直角三角形全等，设，则，
点是的中点，
，
又
垂直平分，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴，
设，则，，
在中，，，
即
解得：
∴，
故答案为：B．
【分析】设，则，即可得到，求出，设，则，，在中利用勾股定理求出x值即可解题．
4．（2024八下·萧山期末）如图，在正方形中，点边上一个动点不与点，点重合，连结，作于点，垂足为点，连结，记，四边形的面积分别为，方方通过探究，得到以下两个结论：则下列选项中，正确的是(　　)
A．都正确 B．都错误
C．正确错误 D．错误正确
【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A
【分析】先根据正方形的性质得到，，进而结合题意等量代换得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意等量代换即可求解。
5．（2024八下·北仑期末）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 ，记 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 若， ，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结 ，
由题意得∶ ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
同理可证∶△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，
∴，
四边形是菱形，
，
又，
在同一直线上
又
，
则
四边形 是正方形，
在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上；
设DG=CF=BH=AE=x，
则 ，
，
解得∶ (负值已舍去)
．
故选：B.
【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质．先证明△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，可得，从而得到四边形是菱形，再求，可证四边形 是正方形，进而得到 在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上，设DG=CF=BH=AE=x，用x表示出S1和S2，再由，即可求解．
6．（2024八下·义乌期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作与，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
过点作，并使，连接，
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】先利用ASA证明，再利用全等三角形的性质得到，然后证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质得到，从而可得当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出EM，，然后求出BP+EF的最小值．
7．（2024八下·浦江期末）如图，点分别是正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点在边上，若已知三角形的周长，则可以求出下列哪个数据（　　）．
A．三角形的周长 B．三角形的周长
C．三角形的面积 D．正方形的面积
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图：作于N，连接，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当三角形的周长已知时可求得正方形的边长，进而求得正方形的面积，即D选项符合题意；
由于折叠无法得到E、F的确定位置，从而无法确定G、H的位置，即无法确定三角形的周长、三角形的周长、三角形的面积，即A、B、C选项不符合题意．
故选D．
【分析】
如图：作于N，连接，根据折叠的性质、正方形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质可证明与全等，则可得，同理可得，进而得到的周长等于，即可判定D选项正确；再根据折叠无法确定G、H的具体位置可判定A、B、C选项的正误．
8．（2024八下·苍南期末）如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
∵在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：B．
【分析】先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理可用a表示出，再用a表示出的长，根据，列出关于a的方程求出的值，从而求出的长．
二、填空题
9．（2024·天桥模拟）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为　 　．
【答案】4或16
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当D'落在线段BC上时，连接ED、ED'、DD'，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D'E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D'F＝CD CF＝10，
∴CD'＝＝6，
∴BD'＝BC CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋122，
∴182＋x2＝（18 x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D'落在线段BC延长线上时，连接ED、ED'、DD'，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D'E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D'F＝CD CF＝10，CD'＝＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋242，
∴182＋x2＝（18 x）2＋242，
解得：x＝16，即AE＝16；
综上所述，线段AE的长为4或16；
故答案为4或16．
【分析】分为①D'落在线段BC上，②D'落在线段BC延长线上两种情况，连接ED、ED'、DD'，根据折叠和勾股定理求CD'的值，即可得到BD'的值，然后在Rt△AED和Rt△BED'中根据勾股定理列方程求出AE擦灰姑娘即可解题．
10．（2024八下·诸暨期末）如图，在正方形中，，是边上的动点（可以和重合），连接，，过点作的垂线交线段于点，现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：当不与重合时，
∵正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABE和△DAF中，
∴，
∴，
∵四边形DFGE是平行四边形
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
如图，
当点，分别与A，B重合时，是等腰直角三角形，
当点，分别与B，C重合时，是等腰直角三角形，
∵点E在边上运动，
∴点G在上运动，
∴当时，取最小值，
∵，，
∴，，
∴是直角边为1的等腰直角三角形，
∴G1G2==，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，再利用平行四边形的性质易得是等腰直角三角形，再根据临界情况判断出点G在上运动，由此得出时，取最小值，接着证明是直角边为1的等腰直角三角形，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理进行计算即可．
11．（2024八下·越城期末）如图，正方形边长为，点是线段上一点，且，点是直线上一动点，以为边作正方形（逆时针排列），连接，直线与直线交于点．若点中的其中一点到其余两点距离相等，则的长为　 　．
【答案】或或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；异侧一线三垂直全等模型；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点H在点A、P间时，如图， 过点H作HM⊥BC于M，则∠HME=90°，
∵点中的其中一点到其余两点距离相等，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在点A、H间时，如图，过点H作HN⊥BC的延长线于点N，此时AP=PH，
同理可得，，
∴，
∴；
③当点A在点H、P间时，如图，过点H作HT⊥CB的延长线于点T，此时HA=PA，
同理可得，，
∴，
∴；
综上，的长为或或．
【分析】 分三种情况：①点H在点A、P间， 过点H作HM⊥BC于M，则∠HME=90°，由题意得AH=PH，由正方形性质得∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD，由同位角相等两直线平行及平行于同一直线的两条直线互相平行得PC∥HM∥AB，由平行线等分线段定理得CM=BM=3，根据线段和差可算出CE=4，EM=1，由正方形性质得EH=EF，∠HEF=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠KEM=∠EFC，从而用AAS判断出△HEM≌△EFC，由全等三角形的对应边相等得EM=CF=1，进而利用勾股定理算出EF； ②当点P在点A、H间时，如图，过点H作HN⊥BC的延长线于点N，此时AP=PH，同理得BC=CN=6及△FCE≌△ENH，由全等三角形的对应边相等得CF=NE=10，从而利用勾股定理算出EF；③当点A在点H、P间时，如图，过点H作HT⊥CB的延长线于点T，此时HA=PA，同理得BT=BC=6△FCE≌△ETH，由全等三角形的对应边相等得CF=ET=2，再用勾股定理算出EF，综上可得答案.
12．（2024八下·吴兴期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用.如图 1 为某园林石窗，其外框为边长为 6 的正方形 (如图 2)，点 分别为边上的中点， 以四边形 各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如 ，四个等边三角形的顶点恰好是正方形 各边的中点， 则点 之间的距离是　 　。
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E，H是正方形边的中点，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，
∴四边形是正方形，
∵四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形，
∴，
如图所示，过点K作，延长分别交于L、S，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由对称性可知，
∴；
∵K、L分别为正方形边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图所示，过点M作于W，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H，M之间的距离是，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理得到，进而证明四边形是正方形，过点K作，延长分别交于L、S，利用勾股定理得到；根据矩形的判定定理证明四边形是矩形，由对称性可知，由线段的和差运算可得；同理四边形是矩形，得到，；过点M作于W，则四边形是矩形，可得，得到，在△HWM中，根据勾股定理可得，即可得到答案.
13．（2024八下·西湖期末）如图，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，与交于点．已知，．有以下四个结论：
①；②；③；④若，则的面积为．
以上结论中正确的是　 　．
【答案】①②
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故②正确；
∴，故①正确；
∵
∴垂直平分，
∴
若，
则
又∵
∴垂直平分
∴；
又∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
在中，
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴当且仅当时，，故③不一定正确；
④若，则，
设，
∵在上，垂直平分，
则
在中，
∴
解得：
∴，
∴
∴的面积为．故④不正确
故答案为：①②．
【分析】在上截取，连接，即可得到，根据全等三角形的性质判断①②，假设，即可得到，判断知③；在中，利用勾股定理求出CG的长，进而求出三角形的面积判断④解答即可．
14．（2024八下·路桥期末）如图，为正方形对角线的中点，将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部，连接，，，，若，．则点到直线的距离为　 　，的长为　 　．
【答案】2；2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，在上截取一点，使，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵翻折的性质，
∴垂直平分，
设，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到直线的距离为，
∵为正方形对角线的中点，
∴，
∵，
∴是中位线，
∴，
故答案为：2，2．
【分析】在上截取一点，使，过点作交的延长线于点，连接，由正方形的性质、翻折的性质得，，垂直平分，然后设，则，，从而推出，进而结合垂直平分线的性质得，于是利用勾股定理逆定理证出，得是等腰直角三角形，继而得，利用勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理得出的长．
三、综合题
15．（2024八下·鄞州期末）如图1，点是正方形内部的一点，．连接，，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）猜测的度数，并说明理由；
（2）若，求正方形的边长；
（3）如图2，过点作的垂线交于点．当恰好过的中点时，设正方形的边长为，用含的代数式表示．
【答案】（1）解：，
证明：设∠ADE=2α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠CDA=90°，AB∥CD，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=90°-2α，
∵DE=DA
∴DE=DA=DC，
∴∠DEA===90°-α，∠DEC===45+α，
∴∠CEF=180°-∠DEA-∠DEC=180°-（90°-α）-（45+α）=45°.
（2）解：连接AC，如图所示：
由（1）可知：∠CEF=45°，
∵AE⊥CF，
∴△CEF是等腰三角形，
∴CF=EF，
∵AE=2EF=4，
∴CF=2，AF=AE+EF=6，
在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2=62+22，
在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2AD2，
∴2AD2=62+22，
∴AD=.
答： 正方形的边长是.
（3）解：过点D作DM⊥AF，延长AF与DC的延长线交于点N，
如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠N=∠3，
∵点G是BC的中点，
∴CG=BG=，
在△NCG和△ABG中，
，
∴△NCG≌△ABG（AAS），
∴CN=AB=AD=a，NG=AG，
在△ABG中，由勾股定理得：AG==，
∴NG=AG=，
同理由三角形的面积公式得：CF=，
∵DE=DA，DM⊥AE，
∴AM=ME，∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠2=∠DAC=90°，
∴∠1=∠3=∠N，
∵DM⊥AF，CF⊥AF，
∴∠CFN=∠AMD=90°，
在△NCF和△DAM中，
，
∴△NCF≌△DAM（AAS），
∴AM=CF=EF=，
∴AM=ME=EF，
∴点E为MF的中点，
∵EH⊥AF，
∴EH为梯形MFCD的中位线，
∴EH=（CF+DM），
在△ADM中，AM=，AD=a，
由勾股定理得：DM=，
∴EH=.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；梯形中位线定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）设，则∠CDE=90°-2α，再由DE=DA=DC可得∠DEA=90°-α，∠DEC=45+α，根据平角定义即可求出∠CEF；
（2）由（1）得∠CEF=45°，易得是等腰直角三角形，得到CF=2，AF=6，由勾股定理AC2=AF2+CF2=62+22，
AC2=AD2+CD2=2AD2，即2AD2=62+22，即可求出AD的长；
（3）过点D作DM⊥AF，延长AF与DC的延长线交于点N，证明△NCG≌△ABG，得到CN=AB=AD=a，NG=AG，进而求得NG=AG=，同理得CF=，然后证明△NCF≌△DAM，得出AM=CF=EF=，进而求出EH为梯形MFCD的中位线，则EH=（CF+DM），勾股定理求出DM的长，即可求得EH.
（1），证明如下：
在正方形中，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1）知，，
∵
∴是等腰直角三角形．
∴，
连接．
∵，，
由勾股定理可知．，
∴正方形的边长为．
（3）作．
∵，，
∴，
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵，
∴．
16．（2024八下·拱墅期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，作于，于，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形；
（2）解：四边形是正方形，，
，，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
；
（3）解：当与的夹角为时，
如图，
，，
，
，
；
当与的夹角为时，
如图
，
点，点，点，点四点共圆，
，
综上所述：或．
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)作EP、EQ分别垂直于CD、BC，可证明≌，即可证明EDEG为正方形；
(2)结合正方形的性质得AE的长，由≌，可得CG的长；
(3)讨论DE和AD，DE和DC所成夹角为30°时，求出EFC的度数.
17．（2024八下·钱塘期末）如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP，过点B作BE⊥CP于点E，过点D作DF⊥CP于点F．
（1）求证：△CBE≌△DCF．
（2）如图2，延长CP至点G，使EG＝EB，连结BG，DG．
①探究线段BG，CG，DG之间的数量关系，并说明理由．
②连结AG，若，AD＝3，求DG的长．
【答案】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵BE⊥CP，DF⊥CP，
∴∠BEC＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∵∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（AAS）；
（2）解：①∵△CBE≌△DCF，
∴CE＝DF，BE＝CF，
∴BE＝CF＝EG，
∵GF＝EG+EF＝CF+EF＝CE＝DF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∵CG＝CE+EG＝GF+EG＝，
∴；
②过点B作BH⊥BG交CG于H，过点A作AQ⊥GD交GD于点Q，
∴∠GBH＝∠PBC＝90°，GB＝BH，
∴∠GBA＝∠HBC，
∵AB＝BC，
∴△ABG≌△CBH（SAS），
∴∠GAB＝∠HCB＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝45°，
∴∠GAB+∠ADG＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∵AG＝，
∴AQ＝GQ＝1，
∴DQ＝，
∴DG＝GQ+DQ＝1+2．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
18．（2024八下·义乌期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点．
（1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长．
（3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积．
【答案】（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
，，
，
，则；
（2）解：过点作，如图所示：
正方形的边长为4，
，且，
由（1）知，
在中，，，
点为的中点，
，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
，
，，
，
的周长为；
（3）解：连接，过作，如图所示：
，，
是线段的垂直平分线，则，
，即是等腰三角形，
，则由勾股定理可得，
过点作，延长，过作于，如图：
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
；，
．

【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
19．（2024八下·海曙期末）如图1，点是正方形内一点，，
（1）填表∶
的度数
的度数
（2）若，求的值；
（3）如图2，作于，交延长线于点，已知，，求的长．
【答案】（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
当时，
∴，，，
∴；
当时，
∴，，，
∴；
填表如下：
的度数
的度数
（2）解：如图所示，过点B作的垂线交延长线于点E，
由（1）得．
∵，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，，
∴；
（3）解：连接，
由（1）得．
∴，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得CB=CD，∠BCD=90°，结合已知推出CP=CD，从而利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可；
（2）过B作AP的垂线交AP延长线于E，构造等腰直角△BPE，由同角的余角相等得∠BAE=∠ADP，通过AAS证明ADP≌△BAE，由全等三角形的对应边相等得PD=AE=AP+PE=2y，即可求的值；
（3）连接DB、DM，由等腰三角形的三线合一证得CM是线段PD的垂直平分线，推出△MPD是等腰直角三角形，再由两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似判断出△PDB∽△MDA，由相似三角形对应边成比例得到，据此求解即可．
20．（2024八下·平湖期末）如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，交各边于，连接．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为．
（1）若，求的值；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：∵在正方形中，，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点作交的延长线于点，如图：
在正方形中，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
化简得：，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先利用矩形的面积可得出，再得出，则可得答案；
（2）先证明，再根据全等三角形的性质得出，然后证明，根据全等三角形的性质得出，再证出，则可得出结论.
21．（2024八下·滨江期末）如图，在正方形 中，点 分别在边 和 的延长线上(点不与点，点重合)，且，连接 .过点作于 ，连接.
（1）求证：点是线段的中点.
（2）若，求.
（3）求证：点始终在正方形的对角线上.
【答案】（1）证明：四边形ABCD为证方形，
∴DC=DA，∠DAB=∠DCB=∠B= 90°.
∴∠DCF=∠DAB=90°.
在△DCF和△DAE中，
∴△CDF≌△ADE(SAS)
∴DF=DE，
∴△DEF是等腰三角形，
∵ 于
∴点 是线段 的中点.
（2）解：过点H作HK⊥BC于K，如图：
∵△CDF≌△ADE，AB=3，正方形ABCD，
∴AE=CF=1，AB=BC=3
∴BE=BA－AE=2，BF=BC+CF=4.
∵点H为线段EF的中点，
∴HK为△EBF的中位线，
∴，，
∴CK=BC－BK=1.
∴△HKC是等腰直角三角形
∴CH=
（3）证明：连接AH，过点H作HK⊥BC于K，HT⊥AB于点T，如图所示：
则四边形BKHT为矩形，
∴BK=HT，HK=BT，HK//AB，∠KHT=∠BTH=90°，
设CF=a，HK=b，则AE=CF=a，BT=HK=b，
∵点H是线段EF的中点，HK//AB，
∴HK是△BEF的中位线，
∴BE=2HK=2b，
∴BC=AB=AE+BE=a+2b，
∴BF=BC+CF=a+2b+a=2a+2b，
∴.
∴CK=BC－BK=b=HK
∴△CHK为等腰直角三角形，
∴∠BCH=45°=∠DCH.
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴
∴A，H，C三点共线，即点H始终在正方形ABCD的对角线AC上.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先依据“SAS"判定△DCF和△DAE全等，得DF= DE，再根据DH⊥EF可得出结论；
（2）过点H作HK⊥BC于点K，依题意得BC=AB=3，AE=CF=1，则可求BE，BF的长，证明HK是△EbF的中位线，可得HK和BK的长，则CK=FK-CF=1，再由勾股定理即可求出CH的长；
（3）连接AH，过点H作HK⊥BC于K，HT⊥AB于点T，可得矩形BKHT，从而有BK=HT，HK=BT，HK//AB，∠KHT=∠BTH=90°. 设CF=a，HK=b，则AE=CF=a，BT=HK=b，证明HK是△BEF的中位线得BE和BK长，从而可求BC，BF和BK长，通过计算的KC的长，可得△CHK为等腰直角三角形，进而得∠BCH=45°=∠DCH.再根据正方形对角线的性质可得，于是有A，H，C三点共线，即可得到结论.
22．（2024八下·上虞期末）含有公共顶点A的正方形和正方形按图1所示放置，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，把图1中的正方形绕点A旋转，边刚好经过点B，此时对角线与正方形的对角线交于点O，与边交于点H．
①求证：．
②若，，请直接写出和的长．
【答案】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形．
∴，
∴．
在△AEB和△AGD中，
∴．
（2）①证明：由（1）可知，∴，
∵∠AGD+∠AGF=180°，
∴点F，G，D共线．
过点D作交延长线于点K，如图所示：
∵EG是正方形AGGE的对角线，
∴∠AGF=∠AEF=90°，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②，．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】（2）②解：∵，为等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如图，设交于点P，作于点Q，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，于是得∠EAB=∠GAD，再根据SAS即可证明全等；
（2）①由（1）可知，证出点F，G，D共线．如图，过点D作交延长线于点K，得出是等腰直角三角形，可证明，即可证明．
（2）②根据，为等腰直角三角形，得出．由勾股定理得，，于是可得．再由全等三角形的性质即可得OE的长．设交于点P，作于点Q，设，则，，得出，，即可求解．
（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形．
∴，
∴，
即．
∴．
（2）①证明：由（1）可知，
∴，
∴点F，G，D共线．
如图，过点D作交延长线于点K，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
②解：∵，为等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如图，设交于点P，作于点Q，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
23．（2024八下·嵊州期末）已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点．
（1）当点在对角线上时．
①如图1，连接，，求证：．
②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长．
（2）如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值．
【答案】（1）①证明：∵是正方形，∴，，
又∵，
∴，
∴；
②解：如图，当点与点重合时，则；
当点F在或上时，由（1）可得长相等，
过点作交，于点G，H，
则为矩形，
∴，
又∵，
∴
设，则则，
则有，即，
解得：或（舍去），
又∵
∴，
∴；
当点F在或上时，可得长相等，即长相等，
则，
∴；
综上所述，长为，或；
（2）解：在上截取，连接，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，E，Q共线时，最小，即长，
这时，，
∴．

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质，利用证明全等即可得到结论；
②当点与点重合时，则；当点F在或上或点F在或上两种情况画图，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理解答即可．
（2）在上截取，连接，即可得到，进而得到，得到当点D，E，Q共线时，最小为长，再根据勾股定理计算解题．
（1）①证明：∵是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②如图，当点与点重合时，则；
当点F在或上时，由（1）可得长相等，
过点作交，于点G，H，
则为矩形，
∴，
又∵，
∴
设，则则，
则有，即，
解得：或（舍去），
又∵
∴，
∴；
当点F在或上时，可得长相等，即长相等，
则，
∴；
综上所述，长为，或；
（2）解：在上截取，连接，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，E，Q共线时，最小，即长，
这时，，
∴．
24．（2024八下·慈溪期末）如图1，四边形是边长为10的正方形，点P是射线上一点（点P不与点B和点C重合），连接，过B作的垂线，垂足为E，在线段上取点F，使得，连接．
（1）当点P在线段上时，求证：；
（2）当的面积为20时，求的值；
（3）如图2，连接，在点P的运动过程中，求线段所围成图形面积的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得，，利用余角的性质可推出∠ABE=∠DAF，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得，由此可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AE=DF，设，，，在中，，，得到，然后解方程求出x的值，可得答案.
（3）分两种情况讨论，证明，推出，且，得到线段所围成图形面积是，要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，取的中点，连接和，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或；
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为．
25．（2024八下·宁波期末）如图1，在正方形中，点P在上，连接，过点B作于点E，过点D作于点F．
（1）求证：．
（2）如图2，延长至点G，使，连结，．
①探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
②连结，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①，理由如下：
∵，
，
，
∵，
∴，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
，
；
②过点作交于，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质，并利用证明；
（2）①先证明和是等腰直角三角形，再线段的和求出CG与DG、BG的关系式，变形后可得；
②先利用SAS证明，再利用全等三角形的性质，结合，求出，然后利用勾股定理求出的长．
四、实践探究题
26．（2024八下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且．
特殊化探究：连接．设，．
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：
（1）若，，求的面积．
（2）“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：
若，求证：．
（3）深入探究：老师进一步提出问题：
如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．
请你解答这三个问题．
【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，HE∥GF，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）设BF=a，则BG=a+1，由全等三角形的对应边相等得AF=BG=a+1，在Rt△ABF中，利用勾股定理建立方程求出a的值，从而得到BF、AF的长，进而根据三角形面积计算公式列式计算即可；
（2）由b与a的关系及全等三角形的对应边相等得AE=EF，由正方形四边相等得HG=HE=EF=GF=BF，用SAS证△HGB≌△BFA，由全等三角形的对应角相等得到∠GBH=∠BAF，由二直线平行，内错角相等，得∠BHE=∠HBG，由等量代换可得∠BAE=∠BHE；
（3）用代数法思路证：设DH=CG=BF=AE=a，正方形HEFG的边长为b，AI=AB=AD=c，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N，先将表示出来；利用AAS判断出△BEF≌△BEM，由全等三角形的对应边相等得BM=BF=a，则NE=AM=c-a，从而得出和的关系．
（1）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
1 / 1《正方形》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习
一、单选题
1．（2024八下·越城期末）如图1是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形（如图2、图3）．由5个同样大小的正方形组成的纸片（如图4），现要剪拼成一个大正方形，则需要在图4的纸片中最少剪（　　）
A．1刀 B．2刀 C．3刀 D．4刀
2．（2024八下·东阳期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接，并延长交于点，若是的中点，，则的长（　　）
A．1 B． C． D．
3．（2024八下·西湖期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若点是的中点，连接并延长交于点，若，则线段的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
4．（2024八下·萧山期末）如图，在正方形中，点边上一个动点不与点，点重合，连结，作于点，垂足为点，连结，记，四边形的面积分别为，方方通过探究，得到以下两个结论：则下列选项中，正确的是(　　)
A．都正确 B．都错误
C．正确错误 D．错误正确
5．（2024八下·北仑期末）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 ，记 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 若， ，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2024八下·义乌期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·浦江期末）如图，点分别是正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点在边上，若已知三角形的周长，则可以求出下列哪个数据（　　）．
A．三角形的周长 B．三角形的周长
C．三角形的面积 D．正方形的面积
8．（2024八下·苍南期末）如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·天桥模拟）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为　 　．
10．（2024八下·诸暨期末）如图，在正方形中，，是边上的动点（可以和重合），连接，，过点作的垂线交线段于点，现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值是　 　．
11．（2024八下·越城期末）如图，正方形边长为，点是线段上一点，且，点是直线上一动点，以为边作正方形（逆时针排列），连接，直线与直线交于点．若点中的其中一点到其余两点距离相等，则的长为　 　．
12．（2024八下·吴兴期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用.如图 1 为某园林石窗，其外框为边长为 6 的正方形 (如图 2)，点 分别为边上的中点， 以四边形 各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如 ，四个等边三角形的顶点恰好是正方形 各边的中点， 则点 之间的距离是　 　。
13．（2024八下·西湖期末）如图，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，与交于点．已知，．有以下四个结论：
①；②；③；④若，则的面积为．
以上结论中正确的是　 　．
14．（2024八下·路桥期末）如图，为正方形对角线的中点，将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部，连接，，，，若，．则点到直线的距离为　 　，的长为　 　．
三、综合题
15．（2024八下·鄞州期末）如图1，点是正方形内部的一点，．连接，，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）猜测的度数，并说明理由；
（2）若，求正方形的边长；
（3）如图2，过点作的垂线交于点．当恰好过的中点时，设正方形的边长为，用含的代数式表示．
16．（2024八下·拱墅期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
17．（2024八下·钱塘期末）如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP，过点B作BE⊥CP于点E，过点D作DF⊥CP于点F．
（1）求证：△CBE≌△DCF．
（2）如图2，延长CP至点G，使EG＝EB，连结BG，DG．
①探究线段BG，CG，DG之间的数量关系，并说明理由．
②连结AG，若，AD＝3，求DG的长．
18．（2024八下·义乌期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点．
（1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长．
（3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积．
19．（2024八下·海曙期末）如图1，点是正方形内一点，，
（1）填表∶
的度数
的度数
（2）若，求的值；
（3）如图2，作于，交延长线于点，已知，，求的长．
20．（2024八下·平湖期末）如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，交各边于，连接．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为．
（1）若，求的值；
（2）若，求证：．
21．（2024八下·滨江期末）如图，在正方形 中，点 分别在边 和 的延长线上(点不与点，点重合)，且，连接 .过点作于 ，连接.
（1）求证：点是线段的中点.
（2）若，求.
（3）求证：点始终在正方形的对角线上.
22．（2024八下·上虞期末）含有公共顶点A的正方形和正方形按图1所示放置，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，把图1中的正方形绕点A旋转，边刚好经过点B，此时对角线与正方形的对角线交于点O，与边交于点H．
①求证：．
②若，，请直接写出和的长．
23．（2024八下·嵊州期末）已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点．
（1）当点在对角线上时．
①如图1，连接，，求证：．
②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长．
（2）如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值．
24．（2024八下·慈溪期末）如图1，四边形是边长为10的正方形，点P是射线上一点（点P不与点B和点C重合），连接，过B作的垂线，垂足为E，在线段上取点F，使得，连接．
（1）当点P在线段上时，求证：；
（2）当的面积为20时，求的值；
（3）如图2，连接，在点P的运动过程中，求线段所围成图形面积的最小值．
25．（2024八下·宁波期末）如图1，在正方形中，点P在上，连接，过点B作于点E，过点D作于点F．
（1）求证：．
（2）如图2，延长至点G，使，连结，．
①探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
②连结，若，求的长．
四、实践探究题
26．（2024八下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且．
特殊化探究：连接．设，．
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：
（1）若，，求的面积．
（2）“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：
若，求证：．
（3）深入探究：老师进一步提出问题：
如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．
请你解答这三个问题．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图所示，由5个小正方形组成的十字形纸板如解图所示剪开，使剪成的若干块能够拼成如解图所示的一个大正方形，最少只需剪2刀．
故答案为：B．
【分析】观察图4，发现与一个2×2的正方形相比，多了一个小正方形，因此，剪拼后的正方形面积为5，边长为，而刚好是两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，于是我们需要通过剪切，将多余的部分进行重新分配，使其能填补到正方形的空缺部分，从而将十字形纸片的四个角（标注①②③④的部分）剪下来，拼接到十字形纸片的四个内角，形成了一个正方形.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形和都是正方形，
∴，，
∵是的中点，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
设的长为x，
∴，
∴，
在中，，
∴
解得，
即的长为，
故正确答案为：C
【分析】首先根据垂直平分， 可得出DE=AD=AB=5，再根据余角的性质可得出， 即可得出， 设=x，则可得出CI=5-x，DI=5+x，根据勾股定理即可得出方程式 ，解方程即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：解：四个直角三角形全等，设，则，
点是的中点，
，
又
垂直平分，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴，
设，则，，
在中，，，
即
解得：
∴，
故答案为：B．
【分析】设，则，即可得到，求出，设，则，，在中利用勾股定理求出x值即可解题．
4．【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A
【分析】先根据正方形的性质得到，，进而结合题意等量代换得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意等量代换即可求解。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结 ，
由题意得∶ ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
同理可证∶△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，
∴，
四边形是菱形，
，
又，
在同一直线上
又
，
则
四边形 是正方形，
在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上；
设DG=CF=BH=AE=x，
则 ，
，
解得∶ (负值已舍去)
．
故选：B.
【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质．先证明△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，可得，从而得到四边形是菱形，再求，可证四边形 是正方形，进而得到 在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上，设DG=CF=BH=AE=x，用x表示出S1和S2，再由，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作与，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
过点作，并使，连接，
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】先利用ASA证明，再利用全等三角形的性质得到，然后证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质得到，从而可得当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出EM，，然后求出BP+EF的最小值．
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图：作于N，连接，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当三角形的周长已知时可求得正方形的边长，进而求得正方形的面积，即D选项符合题意；
由于折叠无法得到E、F的确定位置，从而无法确定G、H的位置，即无法确定三角形的周长、三角形的周长、三角形的面积，即A、B、C选项不符合题意．
故选D．
【分析】
如图：作于N，连接，根据折叠的性质、正方形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质可证明与全等，则可得，同理可得，进而得到的周长等于，即可判定D选项正确；再根据折叠无法确定G、H的具体位置可判定A、B、C选项的正误．
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
∵在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：B．
【分析】先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理可用a表示出，再用a表示出的长，根据，列出关于a的方程求出的值，从而求出的长．
9．【答案】4或16
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当D'落在线段BC上时，连接ED、ED'、DD'，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D'E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D'F＝CD CF＝10，
∴CD'＝＝6，
∴BD'＝BC CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋122，
∴182＋x2＝（18 x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D'落在线段BC延长线上时，连接ED、ED'、DD'，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D'E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D'F＝CD CF＝10，CD'＝＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋242，
∴182＋x2＝（18 x）2＋242，
解得：x＝16，即AE＝16；
综上所述，线段AE的长为4或16；
故答案为4或16．
【分析】分为①D'落在线段BC上，②D'落在线段BC延长线上两种情况，连接ED、ED'、DD'，根据折叠和勾股定理求CD'的值，即可得到BD'的值，然后在Rt△AED和Rt△BED'中根据勾股定理列方程求出AE擦灰姑娘即可解题．
10．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：当不与重合时，
∵正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABE和△DAF中，
∴，
∴，
∵四边形DFGE是平行四边形
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
如图，
当点，分别与A，B重合时，是等腰直角三角形，
当点，分别与B，C重合时，是等腰直角三角形，
∵点E在边上运动，
∴点G在上运动，
∴当时，取最小值，
∵，，
∴，，
∴是直角边为1的等腰直角三角形，
∴G1G2==，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，再利用平行四边形的性质易得是等腰直角三角形，再根据临界情况判断出点G在上运动，由此得出时，取最小值，接着证明是直角边为1的等腰直角三角形，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理进行计算即可．
11．【答案】或或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；异侧一线三垂直全等模型；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点H在点A、P间时，如图， 过点H作HM⊥BC于M，则∠HME=90°，
∵点中的其中一点到其余两点距离相等，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在点A、H间时，如图，过点H作HN⊥BC的延长线于点N，此时AP=PH，
同理可得，，
∴，
∴；
③当点A在点H、P间时，如图，过点H作HT⊥CB的延长线于点T，此时HA=PA，
同理可得，，
∴，
∴；
综上，的长为或或．
【分析】 分三种情况：①点H在点A、P间， 过点H作HM⊥BC于M，则∠HME=90°，由题意得AH=PH，由正方形性质得∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD，由同位角相等两直线平行及平行于同一直线的两条直线互相平行得PC∥HM∥AB，由平行线等分线段定理得CM=BM=3，根据线段和差可算出CE=4，EM=1，由正方形性质得EH=EF，∠HEF=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠KEM=∠EFC，从而用AAS判断出△HEM≌△EFC，由全等三角形的对应边相等得EM=CF=1，进而利用勾股定理算出EF； ②当点P在点A、H间时，如图，过点H作HN⊥BC的延长线于点N，此时AP=PH，同理得BC=CN=6及△FCE≌△ENH，由全等三角形的对应边相等得CF=NE=10，从而利用勾股定理算出EF；③当点A在点H、P间时，如图，过点H作HT⊥CB的延长线于点T，此时HA=PA，同理得BT=BC=6△FCE≌△ETH，由全等三角形的对应边相等得CF=ET=2，再用勾股定理算出EF，综上可得答案.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E，H是正方形边的中点，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，
∴四边形是正方形，
∵四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形，
∴，
如图所示，过点K作，延长分别交于L、S，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由对称性可知，
∴；
∵K、L分别为正方形边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图所示，过点M作于W，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H，M之间的距离是，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理得到，进而证明四边形是正方形，过点K作，延长分别交于L、S，利用勾股定理得到；根据矩形的判定定理证明四边形是矩形，由对称性可知，由线段的和差运算可得；同理四边形是矩形，得到，；过点M作于W，则四边形是矩形，可得，得到，在△HWM中，根据勾股定理可得，即可得到答案.
13．【答案】①②
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故②正确；
∴，故①正确；
∵
∴垂直平分，
∴
若，
则
又∵
∴垂直平分
∴；
又∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
在中，
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴当且仅当时，，故③不一定正确；
④若，则，
设，
∵在上，垂直平分，
则
在中，
∴
解得：
∴，
∴
∴的面积为．故④不正确
故答案为：①②．
【分析】在上截取，连接，即可得到，根据全等三角形的性质判断①②，假设，即可得到，判断知③；在中，利用勾股定理求出CG的长，进而求出三角形的面积判断④解答即可．
14．【答案】2；2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，在上截取一点，使，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵翻折的性质，
∴垂直平分，
设，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到直线的距离为，
∵为正方形对角线的中点，
∴，
∵，
∴是中位线，
∴，
故答案为：2，2．
【分析】在上截取一点，使，过点作交的延长线于点，连接，由正方形的性质、翻折的性质得，，垂直平分，然后设，则，，从而推出，进而结合垂直平分线的性质得，于是利用勾股定理逆定理证出，得是等腰直角三角形，继而得，利用勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理得出的长．
15．【答案】（1）解：，
证明：设∠ADE=2α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠CDA=90°，AB∥CD，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=90°-2α，
∵DE=DA
∴DE=DA=DC，
∴∠DEA===90°-α，∠DEC===45+α，
∴∠CEF=180°-∠DEA-∠DEC=180°-（90°-α）-（45+α）=45°.
（2）解：连接AC，如图所示：
由（1）可知：∠CEF=45°，
∵AE⊥CF，
∴△CEF是等腰三角形，
∴CF=EF，
∵AE=2EF=4，
∴CF=2，AF=AE+EF=6，
在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2=62+22，
在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2AD2，
∴2AD2=62+22，
∴AD=.
答： 正方形的边长是.
（3）解：过点D作DM⊥AF，延长AF与DC的延长线交于点N，
如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠N=∠3，
∵点G是BC的中点，
∴CG=BG=，
在△NCG和△ABG中，
，
∴△NCG≌△ABG（AAS），
∴CN=AB=AD=a，NG=AG，
在△ABG中，由勾股定理得：AG==，
∴NG=AG=，
同理由三角形的面积公式得：CF=，
∵DE=DA，DM⊥AE，
∴AM=ME，∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠2=∠DAC=90°，
∴∠1=∠3=∠N，
∵DM⊥AF，CF⊥AF，
∴∠CFN=∠AMD=90°，
在△NCF和△DAM中，
，
∴△NCF≌△DAM（AAS），
∴AM=CF=EF=，
∴AM=ME=EF，
∴点E为MF的中点，
∵EH⊥AF，
∴EH为梯形MFCD的中位线，
∴EH=（CF+DM），
在△ADM中，AM=，AD=a，
由勾股定理得：DM=，
∴EH=.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；梯形中位线定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）设，则∠CDE=90°-2α，再由DE=DA=DC可得∠DEA=90°-α，∠DEC=45+α，根据平角定义即可求出∠CEF；
（2）由（1）得∠CEF=45°，易得是等腰直角三角形，得到CF=2，AF=6，由勾股定理AC2=AF2+CF2=62+22，
AC2=AD2+CD2=2AD2，即2AD2=62+22，即可求出AD的长；
（3）过点D作DM⊥AF，延长AF与DC的延长线交于点N，证明△NCG≌△ABG，得到CN=AB=AD=a，NG=AG，进而求得NG=AG=，同理得CF=，然后证明△NCF≌△DAM，得出AM=CF=EF=，进而求出EH为梯形MFCD的中位线，则EH=（CF+DM），勾股定理求出DM的长，即可求得EH.
（1），证明如下：
在正方形中，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1）知，，
∵
∴是等腰直角三角形．
∴，
连接．
∵，，
由勾股定理可知．，
∴正方形的边长为．
（3）作．
∵，，
∴，
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵，
∴．
16．【答案】（1）证明：如图，作于，于，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形；
（2）解：四边形是正方形，，
，，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
；
（3）解：当与的夹角为时，
如图，
，，
，
，
；
当与的夹角为时，
如图
，
点，点，点，点四点共圆，
，
综上所述：或．
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)作EP、EQ分别垂直于CD、BC，可证明≌，即可证明EDEG为正方形；
(2)结合正方形的性质得AE的长，由≌，可得CG的长；
(3)讨论DE和AD，DE和DC所成夹角为30°时，求出EFC的度数.
17．【答案】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵BE⊥CP，DF⊥CP，
∴∠BEC＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∵∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（AAS）；
（2）解：①∵△CBE≌△DCF，
∴CE＝DF，BE＝CF，
∴BE＝CF＝EG，
∵GF＝EG+EF＝CF+EF＝CE＝DF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∵CG＝CE+EG＝GF+EG＝，
∴；
②过点B作BH⊥BG交CG于H，过点A作AQ⊥GD交GD于点Q，
∴∠GBH＝∠PBC＝90°，GB＝BH，
∴∠GBA＝∠HBC，
∵AB＝BC，
∴△ABG≌△CBH（SAS），
∴∠GAB＝∠HCB＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝45°，
∴∠GAB+∠ADG＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∵AG＝，
∴AQ＝GQ＝1，
∴DQ＝，
∴DG＝GQ+DQ＝1+2．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
18．【答案】（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
，，
，
，则；
（2）解：过点作，如图所示：
正方形的边长为4，
，且，
由（1）知，
在中，，，
点为的中点，
，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
，
，，
，
的周长为；
（3）解：连接，过作，如图所示：
，，
是线段的垂直平分线，则，
，即是等腰三角形，
，则由勾股定理可得，
过点作，延长，过作于，如图：
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
；，
．

【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
19．【答案】（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
当时，
∴，，，
∴；
当时，
∴，，，
∴；
填表如下：
的度数
的度数
（2）解：如图所示，过点B作的垂线交延长线于点E，
由（1）得．
∵，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，，
∴；
（3）解：连接，
由（1）得．
∴，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得CB=CD，∠BCD=90°，结合已知推出CP=CD，从而利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可；
（2）过B作AP的垂线交AP延长线于E，构造等腰直角△BPE，由同角的余角相等得∠BAE=∠ADP，通过AAS证明ADP≌△BAE，由全等三角形的对应边相等得PD=AE=AP+PE=2y，即可求的值；
（3）连接DB、DM，由等腰三角形的三线合一证得CM是线段PD的垂直平分线，推出△MPD是等腰直角三角形，再由两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似判断出△PDB∽△MDA，由相似三角形对应边成比例得到，据此求解即可．
20．【答案】（1）解：∵在正方形中，，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点作交的延长线于点，如图：
在正方形中，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
化简得：，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先利用矩形的面积可得出，再得出，则可得答案；
（2）先证明，再根据全等三角形的性质得出，然后证明，根据全等三角形的性质得出，再证出，则可得出结论.
21．【答案】（1）证明：四边形ABCD为证方形，
∴DC=DA，∠DAB=∠DCB=∠B= 90°.
∴∠DCF=∠DAB=90°.
在△DCF和△DAE中，
∴△CDF≌△ADE(SAS)
∴DF=DE，
∴△DEF是等腰三角形，
∵ 于
∴点 是线段 的中点.
（2）解：过点H作HK⊥BC于K，如图：
∵△CDF≌△ADE，AB=3，正方形ABCD，
∴AE=CF=1，AB=BC=3
∴BE=BA－AE=2，BF=BC+CF=4.
∵点H为线段EF的中点，
∴HK为△EBF的中位线，
∴，，
∴CK=BC－BK=1.
∴△HKC是等腰直角三角形
∴CH=
（3）证明：连接AH，过点H作HK⊥BC于K，HT⊥AB于点T，如图所示：
则四边形BKHT为矩形，
∴BK=HT，HK=BT，HK//AB，∠KHT=∠BTH=90°，
设CF=a，HK=b，则AE=CF=a，BT=HK=b，
∵点H是线段EF的中点，HK//AB，
∴HK是△BEF的中位线，
∴BE=2HK=2b，
∴BC=AB=AE+BE=a+2b，
∴BF=BC+CF=a+2b+a=2a+2b，
∴.
∴CK=BC－BK=b=HK
∴△CHK为等腰直角三角形，
∴∠BCH=45°=∠DCH.
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴
∴A，H，C三点共线，即点H始终在正方形ABCD的对角线AC上.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先依据“SAS"判定△DCF和△DAE全等，得DF= DE，再根据DH⊥EF可得出结论；
（2）过点H作HK⊥BC于点K，依题意得BC=AB=3，AE=CF=1，则可求BE，BF的长，证明HK是△EbF的中位线，可得HK和BK的长，则CK=FK-CF=1，再由勾股定理即可求出CH的长；
（3）连接AH，过点H作HK⊥BC于K，HT⊥AB于点T，可得矩形BKHT，从而有BK=HT，HK=BT，HK//AB，∠KHT=∠BTH=90°. 设CF=a，HK=b，则AE=CF=a，BT=HK=b，证明HK是△BEF的中位线得BE和BK长，从而可求BC，BF和BK长，通过计算的KC的长，可得△CHK为等腰直角三角形，进而得∠BCH=45°=∠DCH.再根据正方形对角线的性质可得，于是有A，H，C三点共线，即可得到结论.
22．【答案】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形．
∴，
∴．
在△AEB和△AGD中，
∴．
（2）①证明：由（1）可知，∴，
∵∠AGD+∠AGF=180°，
∴点F，G，D共线．
过点D作交延长线于点K，如图所示：
∵EG是正方形AGGE的对角线，
∴∠AGF=∠AEF=90°，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②，．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】（2）②解：∵，为等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如图，设交于点P，作于点Q，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，于是得∠EAB=∠GAD，再根据SAS即可证明全等；
（2）①由（1）可知，证出点F，G，D共线．如图，过点D作交延长线于点K，得出是等腰直角三角形，可证明，即可证明．
（2）②根据，为等腰直角三角形，得出．由勾股定理得，，于是可得．再由全等三角形的性质即可得OE的长．设交于点P，作于点Q，设，则，，得出，，即可求解．
（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形．
∴，
∴，
即．
∴．
（2）①证明：由（1）可知，
∴，
∴点F，G，D共线．
如图，过点D作交延长线于点K，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
②解：∵，为等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如图，设交于点P，作于点Q，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）①证明：∵是正方形，∴，，
又∵，
∴，
∴；
②解：如图，当点与点重合时，则；
当点F在或上时，由（1）可得长相等，
过点作交，于点G，H，
则为矩形，
∴，
又∵，
∴
设，则则，
则有，即，
解得：或（舍去），
又∵
∴，
∴；
当点F在或上时，可得长相等，即长相等，
则，
∴；
综上所述，长为，或；
（2）解：在上截取，连接，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，E，Q共线时，最小，即长，
这时，，
∴．

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质，利用证明全等即可得到结论；
②当点与点重合时，则；当点F在或上或点F在或上两种情况画图，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理解答即可．
（2）在上截取，连接，即可得到，进而得到，得到当点D，E，Q共线时，最小为长，再根据勾股定理计算解题．
（1）①证明：∵是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②如图，当点与点重合时，则；
当点F在或上时，由（1）可得长相等，
过点作交，于点G，H，
则为矩形，
∴，
又∵，
∴
设，则则，
则有，即，
解得：或（舍去），
又∵
∴，
∴；
当点F在或上时，可得长相等，即长相等，
则，
∴；
综上所述，长为，或；
（2）解：在上截取，连接，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，E，Q共线时，最小，即长，
这时，，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得，，利用余角的性质可推出∠ABE=∠DAF，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得，由此可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AE=DF，设，，，在中，，，得到，然后解方程求出x的值，可得答案.
（3）分两种情况讨论，证明，推出，且，得到线段所围成图形面积是，要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，取的中点，连接和，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或；
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为．
25．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①，理由如下：
∵，
，
，
∵，
∴，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
，
；
②过点作交于，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质，并利用证明；
（2）①先证明和是等腰直角三角形，再线段的和求出CG与DG、BG的关系式，变形后可得；
②先利用SAS证明，再利用全等三角形的性质，结合，求出，然后利用勾股定理求出的长．
26．【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，HE∥GF，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）设BF=a，则BG=a+1，由全等三角形的对应边相等得AF=BG=a+1，在Rt△ABF中，利用勾股定理建立方程求出a的值，从而得到BF、AF的长，进而根据三角形面积计算公式列式计算即可；
（2）由b与a的关系及全等三角形的对应边相等得AE=EF，由正方形四边相等得HG=HE=EF=GF=BF，用SAS证△HGB≌△BFA，由全等三角形的对应角相等得到∠GBH=∠BAF，由二直线平行，内错角相等，得∠BHE=∠HBG，由等量代换可得∠BAE=∠BHE；
（3）用代数法思路证：设DH=CG=BF=AE=a，正方形HEFG的边长为b，AI=AB=AD=c，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N，先将表示出来；利用AAS判断出△BEF≌△BEM，由全等三角形的对应边相等得BM=BF=a，则NE=AM=c-a，从而得出和的关系．
（1）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑