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甘肃省武威第二十中学教研联考2024-2025学年九年级下学期5月期中数学试题
一、单选题
1.实数的相反数是( )
A. B. C. D.
2.年6月6日,嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”,完成月球轨道的交会对接.数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体,如图所示.该浮漂的俯视图是图,那么它的主视图是( )
A. B.
C. D.
4.用一个平面截正方体,可以得到以下截面图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.六月份,在“阳光大课间”活动中,某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目,且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目,则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是( )
A. B. C. D.
6.在“五·四”文艺晚会节目评选中,某班选送的节目得分如下:91,96,95,92,94,95,95,分析这组数据,下列说法错误的是( )
A.中位数是95 B.方差是3 C.众数是95 D.平均数是94
7.函数的大致图像是( )
A. B. C. D.
8.如图在中,,,,是边上的动点,将沿翻折得,射线与射线交于点.下列说法不正确的是( )
A.当时,
B.当点落在上时,四边形是菱形
C.在点运动的过程中,线段的最小值为2
D.连接,则四边形的面积始终等于
9.下列说法正确的是( )
A.如果,那么
B.如果一个数的平方根等于它本身,那么这个数是0或1
C.点P在直线m上,如果,那么直线m是线段AB的垂直平分线
D.如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个多边形是位似多边形.
10.如图,矩形中,,,动点E,F分别从点A,C同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿,向终点B,D运动,过点E,F作直线l,过点A作直线l的垂线,垂足为G,则的最大值为( )
A. B. C.2 D.1
二、填空题
11.化简: .
12.已知,,则 .
13.古希腊著名数学家阿基米德墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形,就是圆柱容器内放了一个球,四周紧贴容器内壁(如图),此时,球的直径与圆柱的高和底面直径相等.在这个模型中,球的体积与圆柱的体积比为2∶3,球的表面积与圆柱的表面积比也为2∶3,这是阿基米德最为满意的一个科学发现.小明经过测量发现“圆柱容球”模型中圆柱的高为6厘米,请你结合所学的知识,从上面的材料中找到灵感,球体的体积是 .(结果保留)
14.已知直线(、是常数)经过点,且随的增大而减小,则的值可以是 .(写出一个即可)
15.不等式组的所有整数解的和是 .
16.如图,等腰中,,以A为圆心,以AB为半径作﹔以BC为直径作.则图中阴影部分的面积是 .(结果保留)
17.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两上数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形:
序号 ① ② ③ ④
周长 6 10 16 26
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个
正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示:
若按此规律继续作矩形,则序号为⑩的矩形周长是_______.
18.抛物线(a,b,c是常数,)经过两点,且.下列四个结论:①;②若,则;③若,则关于x的一元二次方程有实数根;④点在抛物线上,若,,总有,则.其中正确的是 (填写序号).
三、解答题
19.计算:
20.先化简:,再从,,0,1,2之中选择一个合适的数作为的值代入求值.
21.为了让学生崇尚劳动,尊重劳动,在劳动中提升综合素质,某校定期开展劳动实践活动.甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中,甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同.已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆,问乙班平均每小时挖多少千克土豆?
22.如图,海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达B点,测得小岛C位于北偏西方向上,再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛C位于北偏西方向上.已知A,C相距30n mile.求C,D间的距离(计算过程中的数据不取近似值).
23.中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下,瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线,加大研发投入形成了领先的技术优势,2023年,中国新能源汽车产销量均突破900万辆,连续9年位居全球第一.在某次汽车展览会上,工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型),并将数据整理后,绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图
类型 人数 百分比
纯电 m
混动 n
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查活动随机抽取了_____人;表中______,______;
(2)请补全条形统计图;
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数;
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人,请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人?
24.如图1,将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起,得到四边形.(两张纸条不完全重合).
(1)试判断四边形的形状,并说明理由;
(2)若矩形纸条宽度为,将矩形纸条旋转至如图2位置时,四边形的面积为,求此时直线、所夹锐角的度数.
(3)若矩形的两边长分别是8和4,设四边形的面积为S,则S的取值范围为_______.
25.已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点,点是线段上(不与点A重合)的一点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)如图1,过点作轴的垂线与的图象交于点,当线段时,求点的坐标;
(3)如图2,将点A绕点顺时针旋转得到点,当点恰好落在的图象上时,求点的坐标.
26.加强劳动教育,落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y(单位;元/)与其种植面积x(单位:)的函数关系如图所示,其中;乙种蔬菜的种植成本为50元/.
(1)当___________时,元/;
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W最小?
(3)学校计划今后每年在这土地上,均按(2)中方案种植蔬菜,因技术改进,预计种植成本逐年下降,若甲种蔬菜种植成本平均每年下降,乙种蔬菜种植成本平均每年下降,当a为何值时,2025年的总种植成本为元?
27.已知:的内接等腰三角形,.在边上任取一点(不与点,重合),连接,然后将绕点逆时针旋转得到.如图①
(1)求证:与相切.
(2)如图②,连接,与相交于点.求证:点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等.
(3)如图②,连接,与相交于点.当确定时,线段的长存在最大值.当,时,请直接写出长的最大值为_______.
28.已知二次函数(a为常数).
(1)求证:不论a为何值,该二次函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)当时,该二次函数的最大值与最小值之差为9,求此时函数的解析式;
(3)若二次函数图象对称轴为直线,该函数图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.点C关于对称轴的对称点为D,点M为的中点,过点M的直线l(直线l不过C,D两点)与二次函数图象交于E,F两点,直线与直线相交于点P.
①通过证明可以得出结论:点P在一条定直线上.请直接写出这条定直线的解析式_______.(不用写证明过程)
②若,请直接写出满足条件的直线l的解析式,不必说明理由.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D C B A C A D
11.
12.
13.立方厘米/
14.2(答案不唯一)
15.7
16.
17.466
18.①②④
19.解:原式
.
20.解:
,
∵分式要有意义,
∴,
∴且且,
∴当时,原式.
21.设乙班每小时挖x千克的土豆,则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆,
根据题意有:,
解得:x=400,
经检验,x=400是原方程的根,
故乙班每小时挖400千克的土豆.
22.解:作于点,
由题意得,,,
∴是等腰直角三角形,
∵,
∴,
在中,,
在中,,,
在中,,
答:C,D间的距离为.
23.(1)解:本次调查活动随机抽取人数为(人),
,则,
,则,
故答案为:50;30,6;
(2)解:∵,
∴补全条形统计图如图所示:
(3)解:扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为;
(4)解:(人).
答:估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有3600人.
24.(1)解:四边形是菱形,理由如下:
如图,过点作于点,过点作于点,
两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起,得到四边形,
,,,
四边形是平行四边形,
在和中,
,
,
,
四边形是菱形;
(2)解:如图,过点作于点,
矩形纸条宽度为,
,
由(1)可知,四边形是菱形;
四边形的面积为,
,
,
在中,,
,
,
;
(3)解:矩形的两边长分别是8和4,设四边形的面积为S,
如图,当两个矩形的重叠部分为一个以矩形短边为边长的正方形时,四边形的面积最小,
此时;
如图,当、与矩形对角的两个顶点重合时,四边形的面积最大,
,
设菱形的边长为,则,
,
在中,,
,
解得:,即,
此时,
S的取值范围为.
故答案为:.
25.(1)解:将代入得,
,
将代入得,解得,
反比例函数表达式为,
(2)解:如图,设点,那么点,
由可得,
所以,
解得(舍),
;
(3)解:如图,过点作轴,过点作于点,过点作于点,
,
点绕点顺时针旋转,
,
,
,
,
设点,
点,
,
解得,
点或(舍),此时点.
26.(1)解:当时,设甲种蔬菜种植成本y(单位;元/)与其种植面积x(单位:)的函数关系式为,把点代入得,
,
解得,
∴当时,,
当时,,
∴当时,,解得,
即当时,元/;
故答案为:;
(2)解:当时,,
∵,
∴抛物线开口向上,
∴当时,有最小值,最小值为,
当时,,
∵,
∴随着x的增大而减小,
∴当时,有最小值,最小值为,
综上可知,当甲种蔬菜的种植面积为,乙种蔬菜的种植面积为时,W最小;
(3)由题意可得,
解得(不合题意,舍去),
∴当a为时,2025年的总种植成本为元.
27.(1)解:连接并延长交于点,连接,
是直径,
,
由旋转的性质得,
,
,
,
是的半径,
与相切;
(2)证明:过点作交于点,
,
由旋转的性质知:,
,
,
,
,
由旋转的性质得:,
,
,
,
,
,
,
.
(3)由旋转的性质得:,,
即,
,
,
,
,
,
,
,
,
设,
则,
,
当时,有最大值为;
故答案为:.
28.(1)证明:令,则,
∵,
∴不论a为何值,方程总有两个不相等的实数根,
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点.
(2)解:由二次函数的解析式得,
函数图象对称轴为直线,最大值为4.
,
,
∴当时,y取得最小值,最小值为,
,解得或(舍去),
二次函数的解析式为.
(3)解:①依题意,对称轴为直线,
∴
∴二次函数解析式为.
令,则,解得或,
则,
令,则,则
∴.
设,由题意知,且均不为0,2.
设直线的解析式为,
,解得,
∴直线的解析式为.(记为①式)
又直线过点,
,即.
同理设直线的解析式为,
把代入得
解得,
直线的解析式为.(记为②式)
同理得直线的解析式为.(记为③式)
由②③式联立得,
解得
.
若点P在一条定直线上,设点P所在直线解析式为,代入点P的坐标得
,将①式代入化简得,
由对应系数相等得,
∴点P所在直线解析式为,即点P在一条定直线上.
故答案为:
②解:直线l的解析式为或
理由:,
∴,
,
,
,
∴,
由①知,
∴,
∴
当时,,整理得.
又,
∴
整理得,
解得(不符合题意,舍去),
,
,
直线l的解析式为;
当时,,整理得.
又,
整理得,
解得(不符合题意,舍去),
,
∴直线l的解析式为.
综上所述,当时,直线l的解析式为或.
答案第1页,共2页
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