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2024-2025学年湖北省宜昌二十五中教联体八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次根式有意义的条件是( )
A. B. C. D.
2.如图，在 中，如果，则的度数是( )
A. B. C. D.
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.如图，水中涟漪圈不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为在等式中自变量是( )
A. S B. C. r D.
5.在中，、，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A. B. ：：：2：1
C. ，， D. ，，
6.如图，在 ABCD中，已知，，AE平分交BC边于点E，则EC等于( )
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为( )
A. 36
B. 18
C. 24
D. 64
8.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程单位：与时间单位：之间的关系的大致图象是( )
A. B.
C. D.
9.若是整数，则正整数n的最小值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则b的值是( )
A. 1
B.
C. 2
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：______.
12.如图，DE为的中位线，，则______
13.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是1，，若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点点E位于点A右侧，则点E表示的数为______.
14.如图1，将长为，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”如图得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为49，则a的值为______.
15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，，垂足为F，则EF的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算：
四、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且
求证：四边形AECF是平行四边形.
18.本小题7分
已知：如图，四边形ABCD中，，，，，求四边形ABCD的面积．
19.本小题7分
人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数.设，，求下面的值：
直接写出和ab的值：______，______；
求的值.
20.本小题8分
问题：现有一块长为、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由.
21.本小题8分
如图1，在中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点F是BO的中点，点G是CO的中点.
求证：四边形DEFG是平行四边形；
如图2，当时，求证：四边形DEFG是矩形.
22.本小题10分
如图，在矩形ABCD中，，，E是AD的中点．动点P从A点出发，沿路线以秒的速度运动，运动的时间为t秒．将以EP为折痕折叠，点A的对应点记为
如图，当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；
如图，当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；
直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值______.
23.本小题11分
如图，在正方形ABCD的边长为2m，E是BC的中点，F是CD上一点，
当时，求AE的长；
用含m的代数式表示CF的长；
求证：AE平分
24.本小题12分
如图，平面直角坐标系中，，，，且a，b满足
求A、B的坐标；
现有一动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动到点C停止，设P的运动时间为t，连接AP，过点C作AP的垂线交射线AP于点M，交y轴于点N，请用含t的式子表示线段ON的长度；
在的条件下，连接BM，当：：4时，求P点的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意得：，
解得，
故选：
根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
故选：
四边形ABCD是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：半径r为自变量，
故选：
可得圆的面积是半径的函数，圆的面积随着半径的变化而变化，则圆的面积是因变量，半径为自变量，据此即可求解．
本题考查了变量的定义，理解定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、，，
，能判定为直角三角形，不符合题意；
B、：：：2：1，，
，能判定为直角三角形，不符合题意；
C、，，，
，不能判定为直角三角形，符合题意；
D、，，，
，符合勾股定理的逆定理，能判定为直角三角形，不符合题意；
故选：
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：，
平分
故选：
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得，所以根据AD、AB的值，求出EC的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
7.【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形ABCD的面积
故选：
由中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
本题主要考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】【解答】
解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程单位：与时间单位：之间关系的大致图象是
故选：
【分析】
此题考查了用图象反映变量之间的关系，由图象理解对应变量间的关系及其实际意义是解本题的关键．
根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．
9.【答案】D
【解析】解：是整数，
正整数n的最小值是：
故选：
直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出n的最小值．
此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点D作轴于点
四边形ABCD是正方形，
，，
又为，，，
在和中，
，
≌
，，
，
，
，
，
，
，即
在第二象限，
，
故选：
通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等来求解b的值．
本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】3
【解析】解：，
故答案为：
先算出的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把化为的形式是解答此题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：在中，DE是中位线，，
，
度答案为：
根据三角形中位线定理直接得到答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点点E位于点A右侧，
，
点E表示的数为，
故答案为：
由勾股定理可推出AD的长，再根据作图得出AE的长，即可推出结果．
本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：由图1可知，图2中直角三角形中较长直角边长为，较短直角边长为a，
图2中阴影小正方形的面积为49，
，
负值舍去，
故答案为：
由图1可知，图2中直角三角形中较长直角边长为，较短直角边长为a，根据图2中小正方形的面积等于两直角边差的平方得出方程求出a即可．
本题考查了勾股定理的证明，正确表示出小正方形的面积是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：在正方形ABCD中，，
，
，
在中，，
，
，
正方形的边长为4，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
故答案为：
根据正方形的对角线平分一组对角可得，再求出的度数，根据三角形的内角和定理求，从而得到，再根据等角对等边的性质得到，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出是解题的关键，也是本题的难点．
16.【答案】解：原式

【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
17.【答案】解：在 ABCD中，
，
，
，
，
，
又，
四边形AECF是平行四边形．
【解析】首先得到，证明出，然后结合得到，进而证明即可．
此题考查了平行四边形的性质和判定，掌握其性质是解题的关键．
18.【答案】解：连接AC，
在中，由勾股定理得：，
，，，
，
，
四边形ABCD的面积：

【解析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．
19.【答案】 1
【解析】因为，，
所以，
故答案为：
由题知，
根据a，b的值，求出和ab即可．
利用整体思想即可解决问题．
本题考查黄金分割及分式的加减法，整体思想的巧妙运用是解题的关键．
20.【答案】解：，
由于，可知，，
答：能够在这块木板上截出两个分别是和的正方形木板．
【解析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与的大小即可．
本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．
21.【答案】 证明见解析．
【解析】证明：，CE分别是边AC，AB上的中线，
、E分别是AC和AB的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
四边形DEFG是平行四边形；
如图2，
，CE分别是边AC，AB上的中线，
，，
，
，，
，
≌，
，
，CE分别是边AC，AB上的中线，
是的重心，
，，
，
，
分别是OB和OC的中点，
，，
，
，
，
由知四边形DEFG是平行四边形，
四边形DEFG是矩形．
由三角形中位线定理推出，，，，得到，，即可证明四边形DEFG是平行四边形；
判定≌，推出，由三角形重心的性质得到，，因此，，由线段的中点定义得到，因此，而四边形DEFG是平行四边形，即可证明四边形DEFG是矩形．
本题考查三角形的重心，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形．
22.【答案】如图1，作于F，
，则，，，
，
∽，
，
，
在中，，
，
解得：；
由题意可知，
，，
，
，
四边形APME为菱形，
，
在中，，
即，
解得：不合题意，；

【解析】解：见答案；
见答案；
如图2，当点M在线段BE上时，BM最小，
，，
由勾股定理，，
【分析】
作于F，证明∽，求出，根据勾股定理求出t；
证明四边形APME为菱形，得到，由勾股定理求出t；
根据题意得到当点M在线段BE上时，BM最小，根据勾股定理求出BM的最小值．
本题考查的是矩形的性质和图形折叠问题，正确运用相似三角形的性质，用t表示出有关的线段，根据勾股定理列出算式是解题的关键，要求学生学会用运动的观点分析问题．
23.【答案】；
；
证明见解析．
【解析】解：时，，，
四边形ABCD为正方形，
，
；
解：在正方形ABCD中，
，，
，
设，则，
根据勾股定理得：
，
，
，
在中，
，
解得：，
证明：延长AE交DC的延长线于点
在正方形ABCD中，，，
，，
是CB的中点，
，
≌，
，
，
垂直平分AG，
，
，
，
，
平分
由勾股定理可得出答案；
由正方形的性质及勾股定理可得出答案；
延长AE交DC的延长线于点证明≌，得出，证出，则可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】10；
ON的长度为或；

【解析】，
，，
，，
，，
，，
线段AB的长度为；
由知，，，
，，
，
，
，
①当点P在x轴负半轴时，即时，
如图1，由运动知，，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
②当点P在x轴正半轴时，即，
如图2，由运动知，，
，
同①的方法得，≌，
，
综上所述，ON的长度为或；
如图3，过点B作于H，
则，，
：：4，
：：4，
，
，，
：：4，
，，
：：4，
：：5，
，，
，
，
，
根据非负数的性质可得a和b的值，确定点A和B的坐标，利用待定系数法即可得出结论；
分两种情况：判断出≌，即可得出结论；
先判断出BH：：4，进而判断出：：4，得出BP：：4，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，利用待定系数法求一次函数的表达式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，第三问题判断出：：4是解本题的关键．

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