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高58级高一学期6月份月考
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本答题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量与的夹角为，，，则（ ）.
A． B． C．或 D．以上都不对
3．在空间中，已知 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（ ）
A． B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5 D．评分的平均数估值为76
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．为钝角三角形
6．已知，，则（ ）.
A． B．
C． D．或
7．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
多项选择题(本答题共3小题，每小题6分，共18分。在小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C．若，则的虚部为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
10．某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
11．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面与平面所成角的余弦值为
C．若，则点轨迹的长度为
D．若点在直线上，则的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题
12．已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则 (结果用数值表示)
13．函数，其中，若，使得，则的取值范围为 ．
14．在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点，.
(1)求证：BC平面AEF；
(2)求点P到平面AEF的距离.
16．中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且．
(1)证明：为等边三角形；
(2)如图，若边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将沿着线段EF对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积．
17．已知函数．
(1)如图，在中，角的对边分别为，点为的中点．当时，分别等于的最小值、最大值，且，求的长．

当时，关于的方程有三个不同的解，求实数的取值范围．
18．如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．
(1)若，求的长；
(2)求异面直线与所成角余弦值的最小值．
19．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
(1)设，，为虚数单位，求复向量、的模；
(2)设、是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C D C B D BD ABD
题号 11
答案 ABC
1．B
【分析】先对复数化简，然后求其轭复数即可.
【详解】若，则，
则.
故选：B.
2．B
【分析】由向量模的坐标运算及数量积的运算律可得，再由数量积的定义求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以，
因为向量与的夹角为，所以，
所以.
故选：B
3．C
【分析】借助长方体模型，根据位置关系分类，易得出A B D错误.
【详解】A. 若 ，则 或 ，故 错误;
B. 由长方体可知两个平面可相交，故错;
C. 若 则直线对应向量分别是平面的法向量，由知向量夹角为，所以 ，即C 正确;
D. 若 ，由墙角可知 不一定平行，故 D 错误.
4．C
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得.
【详解】由题意：，
解得，A错误，
所以平均数为，故D错误；
众数为，故B错误；
因为，第百分位数估计为，故C正确；
故选：C
5．D
【分析】根据正弦定理求解或，再分类讨论逐个判断即可.
【详解】由正弦定理得，所以，
因为，所以或，故三角形有两种解，故ABC均错误，
当时，，为钝角三角形，
当时，为钝角三角形，故D正确.
故选：D
6．C
【分析】先将用两角差的正弦公式化简得到，两边平方即可求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角差的正弦公式计算可得到.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，
即，即，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
所以，所以，
所以
.
故选：C
7．B
【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得.
【详解】在中，，由余弦定理可得，
所以，所以，
又面积为，所以，所以，
所以，所以，
因为CD是的角平分线，，所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以，所以.
故选：B.
8．D
【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面面积.
【详解】延长，与直线相交于，
连接与分别交于点，连接，
则五边形即为截面，
正方体的棱长为2，点分别是的中点，
由≌≌得，
，，
故，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
由勾股定理得，
取的中点，连接，则⊥，且，
由勾股定理，
其中，
由相似关系可知，，
故.
故选：D
9．BD
【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D.
【详解】A中，令，则，故A错误；
B中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，故B正确；
C中，易知的虚部为，故C错误；
D中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为，
所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.
故选：BD
10．ABD
【分析】根据题意举例判断即可.
【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，故平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C错误；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故D正确．
故选：ABD
11．ABC
【分析】通过线面垂直可判断线线垂直，判断A的真假；利用投影面积法求二面角的余弦，判断B的真假；弄清点的轨迹，再求其长度，可判断C的真假；利用表面展开，转化为两点之间，直线段最短求的最小值，判断D的真假.
【详解】如图1，连接，由菱形可得．
再由直棱柱，可得底面．
又因为底面，所以，
而平面，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
，，，所以为直角三角形，且，
其在底面投影的三角形的面积为，
由投影面积法可得平面和平面所成角的余弦值为，故B正确；
如图2，动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，
由直棱柱，
所以平面平面，平面平面，平面，
且，所以平面.
而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得，
再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，
以为半径的圆弧（如图3中），则由侧面正方形，
可知，，可得，所以点轨迹的长度为，故C正确；
由为直角三角形，且为等腰直角三角形，
将与展开成一个平面图，如图4，则；
由余弦定理得：，
即，故的最小值为，故D错误．
故选：ABC
12．
【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解.
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，
即，故，
故答案为：
13．
【分析】由已知得在的图象至少有2个最大值，根据正弦函数的性质即可求解．
【详解】由题可知，在的图象至少有2个最大值，
当时，，解得，
当时，，
当时，，
综上，当时，，使得，
故答案为：．
14．
【分析】画出立体图形和截面图形，结合题意分别确定的位置，再由几何关系求出正弦值.
【详解】
设三棱锥的内切球分别与面、面相切于两点，
易知平分，平分，易知，
取中点为，则在的平分线上，
同理三棱锥的内切球球心在的角平分线上，
易知面，故，同理，
于是为平面与平面的夹角的平面角，
设正四面体棱长为，则，，
所以.
故答案为：.
15．(1)证明见解析;
(2)
【分析】（1）利用中位线，得到线线平行，即可证明.
（2）利用等体积法，即可求点面距离.
【详解】（1）证明：因为E，F分别是线段PB，PC的中点，所以,
又平面AEF，又平面AEF，所以BC平面AEF
（2）因为PA垂直于O所在的平面，所以,
因为C是圆周上不同于A，B的一点, 所以,
又平面PAC, 所以平面PAC,
又，所以平面PAC, 所以,
，所以，，
,,
又因为， F是线段PC的中点，所以,
所以,
设点P到平面AEF的距离为.
所以,
，
又，所以点P到平面AEF的距离为.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式得出，根据正弦定理边化角得出，再根据同角三角函数的平方关系即可求解，代入得出即可证明；
（2）由余弦定理得出，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：由，得，
展开得．①
由可得．②
①－②得，
因为，所以，
解得或（舍去）．
又，所以．
把代入，得，则．
所以，故是等边三角形．
（2）由及，得，设，则．
在中，由余弦定理可得，
即，解得．
同理，在中，由余弦定理可得．
又，
所以．
17．(1)或
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据三角函数的性质求出，进而由求得，利用向量的数量积运算计算，即可得出答案；
（2）由题意或，作出函数的图象，由图可知，有一解，从而有两解，即函数与有两个不同的交点，数形结合即可得出结果.
【详解】（1）由题意得，
，
当时，，
的值域是，则，
，
，，
或，或，
，
，
当时，；
当时，．
（2）由得，或．
函数的图象如下：

由图可知，有一解，即，
有两解，即函数与有两个不同的交点，
18．(1)5
(2)
【分析】（1）由翻折后的位置关系和可得平面，进而得，进而可得；
（2）先在平面中找到，进而转化为求余弦的最小值，先利用求其正切的最大值，进而可得.
【详解】（1）连接，平面平面，交线为，
由，有平面，又平面，所以,
当，，所以平面，
又平面，所以，
此时与相似，故，
设，由，解得，所以.
（2）过作的平行线交于点，连接，
由，且，
得四边形是平行四边形，故，
所以即为异面直线与所成的角，
设，
，
所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值，
所以异面直线与所成角余弦值的最小值为.
19．(1)，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；
（2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立；
②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值．
【详解】（1）因为，所以，
可得的模为；
因为，所以，
所以的模为；
（2）因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，
②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，
若复向量与平行，则，
根据中等号成立的条件，应有，
则，
结合，得，解得；
所以，所以．

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