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乌鸦嘴模型—浙教版版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．某同学在研究传统文化 “抖空竹” 时有一个发现， 他把它抽象成数学问题： 如图， 已知 ， 则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示， 已知 ， 则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
3．如图， 已知 ， 则 的度数为 　 　
4．（2024七上·金牛期中）如图，，，，那么　 　度．
5．（2024九下·涪城模拟）如图，已知，，，则的度数为　 　°．
6．（2024七下·温州期中）如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点F，则与的数量关系　 　．
7．（2025八上·成都期末）如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线，根据点在与之内和之外的不同位置，，，三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中，，三个角之间的数量关系：①　 　．②　 　．③　 　．④　 　．
三、解答题
8．（2024七下·杭州期中）如图，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠C＝y°，∠F＝z°．若＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100）
(1) 求∠A、∠C的度数（用含m的代数式表示）
(2) 求证：AB∥CD
(3) 若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直线AM与直线FM交于点M，直接写出∠AMF的度数
9．（2024七下·湖北期中）已知，点为直线上方一点.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，平分，过点作的平行线交的角平分线于点，探索与之间的关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若经过点，，点是直线上一点，请直接写出和、∠APC的数量关系.
10．（2024七下·沿河期中）已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，，，求的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数，不用写出计算过程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MEC=∠ECD=120°，∠AEM=∠BAE=82°，
∴∠AEC=∠MEC-∠AEM=120°-82°=38°，
故选：A.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析往目标角靠拢逐一求解度数即可得出结果.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：如图，过点G作GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴MG∥AB，
∴∠MGE=∠BEG=58°，∠HFG=∠MGF，
又∵∠MGF=∠MGE-∠EGF=58°-30°=28°，
∴∠HFG=∠MGF=28°，
故选：A.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析往目标角靠拢逐一求解度数即可得出结果.
3．【答案】
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】如图，过点E作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠BEN=∠ABE=75°，∠DEN=∠D=60°，
∴∠BED=∠BEN-∠DEN=15°，
故填：15°.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.
4．【答案】100
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：如下图，
过点作，
根据题意，，，
∴可设，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴．
故答案为：100．
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，过点作，设，，证得，根据“两直线平行，内错角相等”，得到，，结合求得的值，进而得到的值，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可得到答案．
5．【答案】40
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点C作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：40.
【分析】过点C作，由二直线平行，同旁内角互补可算出∠DCF的度数，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得到，从而根据二直线平行，内错角相等，得，进而根据角的和差即可解答．
6．【答案】
【知识点】角平分线的概念；乌鸦嘴模型；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
7．【答案】；；；
【知识点】三角形的外角性质；猪蹄模型；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：①过点作的平行线
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
②过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
③延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴．
④设直线和直线的交点为点，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；；；．
【分析】①过点C作AB的平行线FG，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥FG∥ED，根据两直线平行，内错角相等，进行解答，即可；
②过点C作CF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CF∥ED，根据两直线平行，同旁内角互补，进行解答，即可；
③延长BC交ED于点F，根据两直线平行，同位角相等得∠ABC=∠EFC，再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答；
④设直线BC和直线DE的交点为点F，根据两直线平行，同位角相等得∠B=∠EFC，再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答即可.
8．【答案】(1) ∵＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100），∴x-m-20=0，y-80-m=0，z-40=0，
∴∠A＝x°=m＋20°，∠C＝y°=m＋80°，z=40°，
(2) 过点F作FG∥AB，过点E作EH∥AB，
∴EH∥FG，
∴∠BAE＝∠AEH＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，
∴∠EFG＝∠AEF－∠AEH＝80°－(m＋20°)＝60°－m，
∵∠CFG＋∠FCD＝y＋z＋80°－x＝80°＋m＋40°＋80°－m－20°＝180°，
∴AB∥CD，
(3) 50°；70°；30°；10°.
【知识点】平行线的判定；乌鸦嘴模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：(3) 当∠A＝40°时，∠C＝100°，
如图，分为四种情况：
延长FE交AM于N，
∵∠BAE=40°，∠BAM=20°，
∴∠MAE=20°，
∵∠AEF=80°，
∴∠ANE=80°-20°=60°，
∴∠AMF=60°-10°=50°，
∵∠AGF=∠MFE+∠AEF=10°+80°=90°，
∴∠AMF=90°-∠MAE=70°，
∵∠BAM=20°，∠BAE=40，°
∴∠EAM=60°，
∵∠AHF=∠MFE+∠AEF=90°，
∴∠AMF=90°-∠EAM=30°，
延长AE交FM于O，
∵∠AEF=∠EFO+∠AOF=80°，
∴∠AOF=80°-10°=70°，
∴∠AMF=∠AOF-∠MAF=70°-60°=10°，
综上所述：∠AMF的度数分别为：50°；70°；30°；10°.
【分析】（1）利用二次根式和绝对值的非负性解题即可；
（2）过点F作FG∥AB，点E作EH∥AB，则有EH∥FG，即可得到∠BAE＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，求出∠EFG＝60°－m，再根据∠CFG＋∠FCD＝180°，得到结论；
（3）分四种情况画图，利用角的和差得到∠MAE=20°，然后求出∠ANE和∠ANF的度数，利用三角形的内角和定理和外角性质解题即可
9．【答案】（1）解：过点作，如图所示：
，
，
，，
∴，
又∵，
，
即；
（2）解：；理由如下，
过点作，过点作，如图：
平分，
∴，
∵平分，
，
，
，
①，
②，
③，
，
∵PQ//CE，PE//CD，
∴∠2=∠ECD=∠PCE.
∴∠3+2∠2+∠APC=180°④.
由①②得，
代入③得⑤，
由④⑤得.
（3）解：或∠AMC+∠BAM－2∠APC=150°或.
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；角平分线的概念；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（2）反向延长AB交CP于点H.
∵AB//CD，平分，
∴∠MHA=∠MCD=2∠1.
∵，
∴2∠1=105°×2－2∠APC=210°－2∠APC.
①当点M在线段CH的延长线上时，如图：
由（1）得：.
∴
即
②当点M在线段CH上时，如图：
∵∠AMC+∠BAM+∠MCD=∠AMC+∠BAM+2∠1=360°.
∴∠AMC+∠BAM+210°－2∠APC=360°.
即∠AMC+∠BAM－2∠APC=150°.
③当点M在线段HC的延长线上时，如图：
∠MCD=∠MHA=∠BAM-∠AMC.
∠BAM－∠AMC=∠MCD=180°－2∠1.
∴∠BAM－∠AMC=180°－（210°－2∠APC）.
即.
综上所述：或∠AMC+∠BAM－2∠APC=150°或.
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，，利用等量代换得以及即可得到结论.
（2）过点作，过点作，利用角平分线的定义和平行线的判定和性质可得：①，②，③，∠3+2∠2+∠APC=180°④.计算即可得到.
（3）求得2∠1=210°－2∠APC，分点点M在线段CH的延长线上，点M在线段CH上以及点M在线段HC的延长线上三种情况分别讨论，和的数量关系即可.
10．【答案】解：（1）如图1，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（2），理由如下：
如图2，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型；铅笔头模型；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点P作，由平行公理的推论得，由平行线的性质得，，从而得，进而得到答案；
（2）过点P作，根据平行公理推论得，然后根据平行线的性质得出，，接下来根据，即可得出；
（3）根据三角形外角的性质得，然后根据平行线的性质得出，接下来设，则，，根据角平分线定义得出，最后根据，代入数据即可得出结果．
1 / 1乌鸦嘴模型—浙教版版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．某同学在研究传统文化 “抖空竹” 时有一个发现， 他把它抽象成数学问题： 如图， 已知 ， 则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MEC=∠ECD=120°，∠AEM=∠BAE=82°，
∴∠AEC=∠MEC-∠AEM=120°-82°=38°，
故选：A.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析往目标角靠拢逐一求解度数即可得出结果.
2．如图所示， 已知 ， 则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：如图，过点G作GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴MG∥AB，
∴∠MGE=∠BEG=58°，∠HFG=∠MGF，
又∵∠MGF=∠MGE-∠EGF=58°-30°=28°，
∴∠HFG=∠MGF=28°，
故选：A.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析往目标角靠拢逐一求解度数即可得出结果.
二、填空题
3．如图， 已知 ， 则 的度数为 　 　
【答案】
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】如图，过点E作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠BEN=∠ABE=75°，∠DEN=∠D=60°，
∴∠BED=∠BEN-∠DEN=15°，
故填：15°.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.
4．（2024七上·金牛期中）如图，，，，那么　 　度．
【答案】100
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：如下图，
过点作，
根据题意，，，
∴可设，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴．
故答案为：100．
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，过点作，设，，证得，根据“两直线平行，内错角相等”，得到，，结合求得的值，进而得到的值，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可得到答案．
5．（2024九下·涪城模拟）如图，已知，，，则的度数为　 　°．
【答案】40
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点C作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：40.
【分析】过点C作，由二直线平行，同旁内角互补可算出∠DCF的度数，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得到，从而根据二直线平行，内错角相等，得，进而根据角的和差即可解答．
6．（2024七下·温州期中）如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点F，则与的数量关系　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的概念；乌鸦嘴模型；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
7．（2025八上·成都期末）如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线，根据点在与之内和之外的不同位置，，，三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中，，三个角之间的数量关系：①　 　．②　 　．③　 　．④　 　．
【答案】；；；
【知识点】三角形的外角性质；猪蹄模型；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：①过点作的平行线
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
②过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
③延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴．
④设直线和直线的交点为点，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；；；．
【分析】①过点C作AB的平行线FG，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥FG∥ED，根据两直线平行，内错角相等，进行解答，即可；
②过点C作CF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CF∥ED，根据两直线平行，同旁内角互补，进行解答，即可；
③延长BC交ED于点F，根据两直线平行，同位角相等得∠ABC=∠EFC，再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答；
④设直线BC和直线DE的交点为点F，根据两直线平行，同位角相等得∠B=∠EFC，再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答即可.
三、解答题
8．（2024七下·杭州期中）如图，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠C＝y°，∠F＝z°．若＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100）
(1) 求∠A、∠C的度数（用含m的代数式表示）
(2) 求证：AB∥CD
(3) 若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直线AM与直线FM交于点M，直接写出∠AMF的度数
【答案】(1) ∵＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100），∴x-m-20=0，y-80-m=0，z-40=0，
∴∠A＝x°=m＋20°，∠C＝y°=m＋80°，z=40°，
(2) 过点F作FG∥AB，过点E作EH∥AB，
∴EH∥FG，
∴∠BAE＝∠AEH＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，
∴∠EFG＝∠AEF－∠AEH＝80°－(m＋20°)＝60°－m，
∵∠CFG＋∠FCD＝y＋z＋80°－x＝80°＋m＋40°＋80°－m－20°＝180°，
∴AB∥CD，
(3) 50°；70°；30°；10°.
【知识点】平行线的判定；乌鸦嘴模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：(3) 当∠A＝40°时，∠C＝100°，
如图，分为四种情况：
延长FE交AM于N，
∵∠BAE=40°，∠BAM=20°，
∴∠MAE=20°，
∵∠AEF=80°，
∴∠ANE=80°-20°=60°，
∴∠AMF=60°-10°=50°，
∵∠AGF=∠MFE+∠AEF=10°+80°=90°，
∴∠AMF=90°-∠MAE=70°，
∵∠BAM=20°，∠BAE=40，°
∴∠EAM=60°，
∵∠AHF=∠MFE+∠AEF=90°，
∴∠AMF=90°-∠EAM=30°，
延长AE交FM于O，
∵∠AEF=∠EFO+∠AOF=80°，
∴∠AOF=80°-10°=70°，
∴∠AMF=∠AOF-∠MAF=70°-60°=10°，
综上所述：∠AMF的度数分别为：50°；70°；30°；10°.
【分析】（1）利用二次根式和绝对值的非负性解题即可；
（2）过点F作FG∥AB，点E作EH∥AB，则有EH∥FG，即可得到∠BAE＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，求出∠EFG＝60°－m，再根据∠CFG＋∠FCD＝180°，得到结论；
（3）分四种情况画图，利用角的和差得到∠MAE=20°，然后求出∠ANE和∠ANF的度数，利用三角形的内角和定理和外角性质解题即可
9．（2024七下·湖北期中）已知，点为直线上方一点.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，平分，过点作的平行线交的角平分线于点，探索与之间的关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若经过点，，点是直线上一点，请直接写出和、∠APC的数量关系.
【答案】（1）解：过点作，如图所示：
，
，
，，
∴，
又∵，
，
即；
（2）解：；理由如下，
过点作，过点作，如图：
平分，
∴，
∵平分，
，
，
，
①，
②，
③，
，
∵PQ//CE，PE//CD，
∴∠2=∠ECD=∠PCE.
∴∠3+2∠2+∠APC=180°④.
由①②得，
代入③得⑤，
由④⑤得.
（3）解：或∠AMC+∠BAM－2∠APC=150°或.
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；角平分线的概念；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（2）反向延长AB交CP于点H.
∵AB//CD，平分，
∴∠MHA=∠MCD=2∠1.
∵，
∴2∠1=105°×2－2∠APC=210°－2∠APC.
①当点M在线段CH的延长线上时，如图：
由（1）得：.
∴
即
②当点M在线段CH上时，如图：
∵∠AMC+∠BAM+∠MCD=∠AMC+∠BAM+2∠1=360°.
∴∠AMC+∠BAM+210°－2∠APC=360°.
即∠AMC+∠BAM－2∠APC=150°.
③当点M在线段HC的延长线上时，如图：
∠MCD=∠MHA=∠BAM-∠AMC.
∠BAM－∠AMC=∠MCD=180°－2∠1.
∴∠BAM－∠AMC=180°－（210°－2∠APC）.
即.
综上所述：或∠AMC+∠BAM－2∠APC=150°或.
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，，利用等量代换得以及即可得到结论.
（2）过点作，过点作，利用角平分线的定义和平行线的判定和性质可得：①，②，③，∠3+2∠2+∠APC=180°④.计算即可得到.
（3）求得2∠1=210°－2∠APC，分点点M在线段CH的延长线上，点M在线段CH上以及点M在线段HC的延长线上三种情况分别讨论，和的数量关系即可.
10．（2024七下·沿河期中）已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，，，求的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数，不用写出计算过程．
【答案】解：（1）如图1，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（2），理由如下：
如图2，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型；铅笔头模型；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点P作，由平行公理的推论得，由平行线的性质得，，从而得，进而得到答案；
（2）过点P作，根据平行公理推论得，然后根据平行线的性质得出，，接下来根据，即可得出；
（3）根据三角形外角的性质得，然后根据平行线的性质得出，接下来设，则，，根据角平分线定义得出，最后根据，代入数据即可得出结果．
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