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苏教版高一下册数学必修第二册-13.2.4 第2课时 两平面垂直－同步练习
[A　基础达标]
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　(　　)
A．0个　　　　　　　　 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
2．从空间一点P向二面角α l β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α l β的平面角的大小是(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
4.如图，在正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则(　　)
A．存在点G，使PG⊥EF成立
B．存在点G，使FG⊥EP成立
C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
5．(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于点A，B的任一点，则下列结论中正确的是(　　)
A．PC⊥BC
B．AC⊥平面PBC
C．平面PAB⊥平面PBC
D．平面PAC⊥平面PBC
6．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A BD C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为________．
7.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．
8.如图，直二面角α l β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为______．
9.如图，三棱台DEF ABC中， AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点O是BD的中点.
(1)求证：平面BDD1B1⊥平面C1OC；
(2)求二面角C1 BD C的正切值．
[B　能力提升]
11．(多选)如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论正确的是(　　)
A．AE⊥CE B．BE⊥DE
C．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE
12．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则在翻折过程中，可能成立的结论为(　　)
A．DF⊥BC
B．BD⊥FC
C．平面BDF⊥平面BCF
D．平面CDF⊥平面BCF
13．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，在这个四棱锥的所有表面及平面PAC，平面PBD中，一定互相垂直的平面有________对．
14．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为________．
[C　拓展探究]
15．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC．
(1)从三棱锥P ABC中选择合适的两条棱填空：______⊥________，则三棱锥P ABC为“鳖臑”；
(2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC＝90°
.
①证明：平面ADE⊥平面PAC；
②设平面ADE与平面ABC的交线为l，若PA＝2，AC＝2，求二面角E l C的大小．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选D．当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．
2．解析：选C．若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
3．
解析：选D．由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.
4.解析：选B．对于A，因为四面体ABCD为正四面体，则BD⊥EF，若PG⊥EF，则EF⊥平面ABD，显然不可能，所以PG不与EF垂直，A错误；对于B，连接BF，则BF∥PE，因为G是直线BD上的动点，所以存在点G，使FG⊥BF成立，所以存在点G，使FG⊥EP成立，B正确；对于C，取AC的中点N，设点B在平面ACD内的投影为点O，则BO⊥平面ACD，过点N作NG∥BO交BD于点G，则NG⊥平面ACD，则此时平面EFG⊥平面ACD，C错误；对于D，易得当点G为BD的中点时，平面EFG⊥平面ABD，D错误，综上所述，故选B．
5．解析：选AD．因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC.又直径所对的圆周角为直角，所以BC⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC，所以A正确；因为BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.所以D正确．易验证B，C均不成立，故选AD．
6．解析：如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD的中点F，连接AF，CF，则AF⊥BD，CF⊥BD，所以∠AFC是二面角A BD C的平面角，由题意知∠AFC＝90°，即AF⊥FC，由题意可得AF＝CF＝a.在Rt△AFC 中，易得AC＝a.所以△ACD为正三角形．又因为E是CD的中点，所以AE⊥CD，即∠AED＝90°.
答案：90°
7.解析：因为DA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
答案：5
8.解析：如图，连接BC，
因为二面角α l β为直二面角，AC α，且AC⊥l，
所以AC⊥β.
又BC β，所以AC⊥BC，
所以BC2＝AB2－AC2＝3.
又BD⊥CD，
所以CD＝＝.
答案：
9.证明：(1)如图所示，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.
在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，
所以AC＝2DF.
因为G是AC的中点，
所以DF∥GC且DF＝GC.
所以四边形CFDG是平行四边形．所以DM＝MC.因为BH＝HC，所以MH∥BD.
又BD 平面FGH，MH 平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
(2)因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.
因为AB⊥BC，所以GH⊥BC.
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC.
所以四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE.
因为CF⊥BC.所以HE⊥BC.
又HE，GH 平面EGH，HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH.又BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH.
10.解：(1)证明：因为在正方体ABCD A1B1C1D1中， 点O是BD的中点，
又BC1＝DC1, BC＝DC，所以 C1O⊥BD，CO⊥BD.
因为C1O∩CO＝O，C1O 平面C1OC，CO 平面C1OC，
所以BD⊥平面C1OC, 又因为BD 平面BDD1B1，所以平面BDD1B1⊥平面C1OC.
(2)由(1)知平面C1BD∩平面CBD＝BD，
C1O⊥BD，C1O 半平面C1BD；CO⊥BD，CO 半平面CBD；
所以∠C1OC是二面角C1 BD C的平面角．
则在正方体ABCD A1B1C1D1中C1C＝1，OC＝.
所以在Rt△C1OC中，tan ∠C1OC＝＝.
故二面角C1 BD C的正切值为.
[B　能力提升]
11．解析：选ABD．由AB是底面圆的直径，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB.因为圆柱的轴截面是四边形ABCD，所以AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.所以BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，所以BE⊥平面ADE，所以BE⊥DE.同理可得，AE⊥CE，易得平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确．
因为AD∥BC，所以∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角，显然∠ADE≠90°，所以DE⊥平面CEB不正确，即C错误．故选ABD．
12．解析：选BC．对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交且不垂直，所以BC与DF不垂直，故A错误；对于B，设点D在平面BCF上的射影为点P，若BP⊥CF，则BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使BP⊥CF，故B正确；对于C，当点P落在BF上时，DP⊥平面BCF，DP 平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCF，故C正确；对于D，因为点D的射影不可能在FC上，所以平面CDF⊥平面BCF不成立，即D错误．故选BC．
13．解析：由PD⊥平面ABCD，则平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD；由AD⊥CD，AD⊥PD，PD∩CD＝D，则AD⊥平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC；同理可证AB⊥平面PDA，BC⊥平面PDC，AC⊥平面PDB，从而有平面PAB⊥平面PDA，平面PBC⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，综上，互相垂直的平面有7对．所以本题答案为7.
答案：7
14．解析：设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.
则BD⊥CE，BD⊥A1E.
于是∠A1EC为二面角A1 BD C的平面角．
故∠A1EC＝60°.
因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．
所以A1E＝CE＝A1C＝a.
答案：a
[C　拓展探究]
15．解：(1)因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；即△PAB，△PAC为直角三角形；
若BC⊥AB，由AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，可得BC⊥平面PAB；
所以BC⊥PB，即△ABC，△PBC为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填：BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.
(2)①证明：因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
又AD 平面PAB，所以BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
所以AD⊥平面PBC，又PC 平面PBC，所以PC⊥AD，
又AE⊥PC，AE∩AD＝A，AD，AE 平面ADE，
所以PC⊥平面ADE，又PC 平面PAC，所以平面ADE⊥平面PAC.
②由题意知，在平面PBC中，直线DE与直线BC相交．
如图所示，设DE∩BC＝F，连接AF，则AF即为l.
因为PC⊥平面AED，l 平面AED，所以PC⊥l，
因为PA⊥平面ABC，l 平面ABC，
所以PA⊥l，又PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，所以l⊥平面PAC，
又AE，AC 平面PAC，所以AE⊥l，AC⊥l.
所以∠EAC即为二面角E l C的一个平面角．
在△PAC中，PA⊥AC，PA＝2，AC＝2，所以PC＝4，又AE⊥PC，
所以AE＝＝＝，
所以cos ∠EAC＝＝，
所以∠EAC＝30°，所以二面角E l C的大小为30°.

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