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苏教版高一下册数学必修第二册-13.3.1 空间图形的表面积
同步练习
[A　基础达标]
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　　　 B．1∶
C．1∶ D．∶2
2．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4π2 B．3π2
C．2π2 D．π2
3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为(　　)
A．81π B．100π
C．14π D．169π
4．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为(　　)
A．8　　　 B．12
C．16　　　 D．20
5．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
6．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________．
7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
8．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．
9．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．
10．设正三棱锥S ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[B　能力提升]
11．如图所示， △ABC的三条边长分别为AB＝4，AC＝3，BC＝5，现将此三角形以BC边所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
12．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为(　　)
A． B．3
C．12 D．36
13．已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(　　)
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
14．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是多少？
[C　拓展探究]
15．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积与全面积．
参考答案
[A　基础达标]
1.解析：选C．设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2.故选C．
2．解析：选A．由题意侧面展开图的边长为2π×1＝2π，面积为(2π)2＝4π2.故选A．
3．解析：选B．设圆台上底半径为r，则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r＝2.然后由圆台侧面积公式得，s＝π(r1＋r2)l＝π(2＋8)×10＝100π.
4．解析：选B．由题得侧面三角形的斜高为＝2，所以该四棱锥的全面积为22＋4··2·2＝12.故选B．
5．解析：选C．如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a，所以DE＝OD－O1D1＝a.
在Rt△DED1中，D1E＝a，
则D1D＝＝＝a.所以S侧＝3×(a＋2a)a＝a2.故选C．
6．解析：解方程x2－9x＋18＝0得x＝3或x＝6，所以棱台的上下底面边长分别为3，6.
设棱台的斜高为h，则4××(3＋6)h＝32＋62＝45，所以h＝.即答案为.
答案：
7．解析：因为圆柱的轴截面是边长为a的正方形，故圆柱的底面半径r＝a，母线长l＝a，
故圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)＝a2π，因为圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，
故圆锥的底面半径r＝a，母线长l＝a，故圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝a2π，
故它们的表面积之比为2∶1，故答案为2∶1.
答案：2∶1
8．解析：原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.
答案：18a2
9．解：如图，
在四棱台ABCD A1B1C1D1中，
过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，
B1B＝8，
故B1F＝＝2，
所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，
故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，
所以四棱台的表面积S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
10．解：如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE，则SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以3×ah′＝a2×2，所以a＝h′.
因为SO⊥OE，且OE＝×a＝×h′，
所以由SO2＋OE2＝SE2，得32＋＝h′2，
所以h′＝2，a＝h′＝6，
所以S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18，
所以S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
[B　能力提升]
11．解析：选C．A点到BC的距离d＝＝，得到的立体几何体为两个圆锥，该圆锥底面周长为l＝2π·d＝，所以表面积为S＝l·AB＋l·AC＝π，故选C．
12．解析：选B．根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，设圆锥的母线长为L，截得小圆锥的母线长为l，因为圆台的上、下底面互相平行，所以＝＝，可得L＝4l.因为圆台的母线长9，可得L－l＝9，所以L＝9，解得L＝12，所以截去的圆锥的母线长为12－9＝3；故选B．
13．解析：选B．棱锥 B′ ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，
则 B′C＝，S△B′AC＝.
三棱锥的表面积 S锥＝4×＝2，
又正方体的表面积 S正＝6.
因此 S锥∶S正＝2∶6＝1∶；故选B．
14．解：如图①是棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.
　　　　
[C　拓展探究]
15．解：(1)设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，
所以S大棱锥侧＝6××2a×2h＝12ah，S小棱锥侧＝6×ah＝3ah，
所以棱台的侧面积为12ah－3ah＝9ah，
因此，大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为4∶1∶3.
(2)因为小棱锥底面边长为4 cm，所以大棱锥底面边长为8 cm，
又因为大棱锥的侧棱长为12 cm，所以斜高为＝8(cm)，
所以S大棱锥侧＝6××8×8
＝192(cm2)，
所以棱台的侧面积为×192
＝144(cm2)，
S棱台上底面＝6××42＝24(cm2)，
S棱台下底面＝6××82＝96(cm2)，
所以S棱台全＝144＋120(cm2)，
故棱台的侧面积为144 cm2，全面积为 cm2.

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