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吕梁市2025年高三年级第三次模拟考试
数学试题
2025.5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数z满足，，则（ ）
A. B. 10 C. 8 D.
3. 已知等差数列公差，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知向量，则的最小值是（ ）
A. B. C. 5 D. 25
5. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. 11 B. 15 C. 20 D. 25
6. 已知点分别为双曲线左顶点和右焦点，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线交于M，N两点，以线段为直径的圆过点A，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
7. 已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
8. 已知函数有三个零点，则三个零点之和为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知变量x和变量y，根据最小二乘法估计得到成对数据组的经验回归方程，成对数据组的经验回归方程，记，则（ ）
（参考公式，对于一组成对数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：）
A. 直线经过点 B. 直线不经过点 C. D.
10. 已知在正四面体中，M，N分别是的中点，平面与直线都平行，则（ ）
A
B.
C. 直线与平面所成角为
D. 平面与平面的夹角的余弦值为
11. 已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（ ）
A. B. 偶函数
C. 的解集为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知抛物线上点P到其焦点的距离为4，则点P的坐标为__________．
13. 已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是__________．
14. 设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，其中．
（1）求B；
（2）若的面积，求b的值．
16. 某企业为了提高生产效率，采用智能监测器对企业的生产设备进行监测．已知该企业的生产设备正常的概率，在生产设备异常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为；在生产设备正常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为．
（1）如果用2台智能监测器进行监测，且每台智能监测器相互独立，已知，在生产设备异常的情况下，求智能监测器出现预警信号的台数X的分布列及数学期望；
（2）如果用1台智能监测器进行监测，要使在智能监测器出现预警信号的条件下，生产设备异常的概率超过95%，求的范围．
17. 如图，在多面体中，四边形是边长为4的正方形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，当平面与平面的夹角为时，求该多面体的体积．
18. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，分别为其左、右焦点，P是椭圆E上与A，B不重合的任意一点，点P到原点O的距离的最小值为1，直线与直线的斜率之积为．已知，以为直径的圆与以为直径的圆在x轴上方的交点为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）（i）证明：直线为椭圆E的切线；
（ii）设切线与椭圆E的切点的横坐标为，证明：．
19. 存在非零常数W，使，都有，我们称具有上述性质的函数为稳定函数．
（1）判断一次函数能否为稳定函数，并说明理由；
（2）如果指数函数（，且）是稳定函数，求底数a的范围；
（3）若是稳定函数，求的值．
吕梁市2025年高三年级第三次模拟考试
数学试题
2025.5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】或
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（i）证明过程见解析（ii）证明过程见解析
【19题答案】
【答案】（1）不能 （2）
（3）

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