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吉林省长春市外国语学校2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．在中，点在线段上，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，为坐标原点，点满足，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．3
8．已知是的重心，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．与共线的单位向量的坐标为或
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为或
D．若向量与向量垂直，则
10．在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为等腰直角三角形
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ）

A．
B．点第一次到达最高点需要的时间为
C．在转动的一个周期内，点在水中的时间是
D．若在上的值域为，则的取值范围是
三、填空题
12．复数在复平面内对应的点的坐标为 ．
13．在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 .
14．如图，在中，已知，是线段与的交点，若，则的值为 .
四、解答题
15．已知向量与的夹角为，且.
（1）；
（2）求向量与向量的夹角.
16．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的单调增区间.
17．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围.
18．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.

（1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
（2）求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？
19．如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量，求实数x，y的值；
（3）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，得，所以.
故选A
2．【答案】C
【详解】由正弦定理得，即，
所以，又因为，
所以角，所以，故或，
当时，，当时，，
故选C
3．【答案】C
【详解】在中，由，得，
所以.
故选C
4．【答案】A
【详解】因为向量，为坐标原点，所以，
设，则，
因为，所以，所以，
故选A
5．【答案】D
【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到的函数图象对应的解析式为，
由于的图象关于轴对称，即为偶函数，
故，即，
由于，故，
故选D
6．【答案】C
【详解】因为 ， ，所以 .
又 与 的夹角为锐角，所以 ，且 与 不共线，
则 ，解得 ，且 .
即x的取值范围为 .
故选C
7．【答案】C
【详解】因，，且，
所以，化为.
所以，解得.
所以.
故选C.
8．【答案】D
【详解】
如图，根据三角形重心定义可知：为各边中点，重心为各中线的三等分点，
所以有，，
由余弦定理得：，
，
则，-------①
再由余弦定理得：，
，
则，-------②
由①②得：，
所以，
又因为，所以，
故选 D.
9．【答案】BD
【详解】由向量，，得，
对于A，与共线的单位向量的坐标为或，A错误；
对于B，在方向上的投影向量为，B正确；
对于C，设与垂直的向量，则与垂直的单位向量的坐标为或，C错误；
对于D，，解得，D正确.
故选BD
10．【答案】BC
【详解】设的外接圆的半径为，
对于A，因为，所以，故，
所以的外接圆的面积为，A错误；
对于B，因为，所以，
所以，由大边对大角可得，B正确；
对于C，由，
所以，故，
由余弦定理可得，又，
所以为钝角，故为钝角三角形，C正确；
对于D，由可得，，
所以，又，，
所以，由条件无法确定是否为直角，
例如：若，则，此时满足条件，
但不是等腰直角三角形，D错误.
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
则依题意，满足，所以，
因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，
则，由可得，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为，
所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确；
对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动，
则所需要的时间是，故C错误；
对于D，若在上的值域为，
则在上的值域为，
因为，所以，
作出函数的图象，依题意需使
即，解得，故D正确.

故选ABD
12．【答案】
【详解】依题意，，所以点的坐标为.
13．【答案】
【详解】令，，，
由余弦定理可得.
14．【答案】
【详解】设， ，
故
，
又，
故,
由于三点共线，故，则，
又，故，
所以.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）由，向量与的夹角为可知；
所以，
即；
（2）记向量与向量的夹角为，
结合（1）可得，
又，因此可得.
即向量与向量的夹角为.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），由图象可知，
设的最小正周期为，由图象可知，，解得，
又，故，解得，
则，
将代入解析式，，故，
所以，又，所以，
所以.
（2）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，
纵坐标伸长到原来的倍，得到，
再向右平移个单位长度得到，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为.
17．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得：，
即，所以，
由于，所以，又，
所以.
（2）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以
，
因为，所以，
故，所以.
故的周长的取值范围为：.
18．【答案】（1）120海里
（2），能在3小时内赶到救援，理由见解析
【详解】（1）在中，因为，，
所以，，
又，所以由正弦定理可得，即，解得，
所以A船距离雷达站C距离为120海里；
（2）在中，根据正弦定理可得，
即，解得，
在中，由余弦定理可得，
解得，
因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，
所以能在3小时内赶到救援.
19．【答案】（1）；
（2）
（3）.
【详解】（1）易得，且为正三角形，所以，
以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系，
所以
所以，
所以，
（2），
又因为三点共线，所以，解得.
因为，
所以，所以，
（3）设，且如（1）所建平面直角坐标系，则，
所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.

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