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山东省菏泽市单县第一中学西校区2024 2025学年高一下学期第一次调研测试数学试卷
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
2．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是平行四边形 B．四边形是矩形
C．四边形是菱形 D．四边形是正方形
3．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．已知复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
5．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A． B． C． D．
6．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若的解的个数有一个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
二、多选题
9．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）
A．若，且与同向，则 B．
C． D．
10．下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
11．是锐角三角形，内角，，所对的边分别为，，，，若存在最大值，则实数的取值可能是（ ）
A．1 B． C． D．2
三、填空题
12．若向量，则与平行的单位向量是 ．
13．是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则最大边c的取值范围是____________．
14．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
四、解答题
15．计算：
（1）；
（2）.
16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求边c和的面积.
17．如图，已知为平面直角坐标系的原点，，．
（1）求两点与的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量．
18．如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19．已知，，分别为三个内角，，的对边，.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由复数虚部定义知的虚部为.
故选B
2．【答案】A
【详解】因为，故，即，
故且，故四边形一定是平行四边形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.
故选A.
3．【答案】B
【详解】∵，，
∴.
∵，
∴，
∴.
即，则.
故选B
4．【答案】B
【详解】因为，
所以，
故选B.
5．【答案】D
【详解】试题分析：由已知得，
而所以，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
6．【答案】B
【详解】对于A，与共线，A不是；
对于B，由知，与不共线，B是；
对于C，由知，，共线，C不是；
对于D，由知，，共线，D不是.
故选B
7．【答案】C
【详解】由正弦定理知，，即，解得，
易知，可得函数的图象如下：
由题意可得或，解得或.
故选C.
8．【答案】B
【详解】由题意不妨设，则可得，设每条边增加，
则新的三角形的三边分别为，
因为，所以，
即为新的三角形的最大边，
所以新的三角形的最大角的余弦值为
因为，所以，
所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形.
故选B
9．【答案】BD
【详解】对于A，由于向量不能比较大小，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，可能小于0，C错误；
对于D，因为，所以，D正确．
故选BD
10．【答案】AD
【详解】A选项，设，，则，故，
则，故A为真命题；
B选项，复数满足，但，故命题B为假命题；
C选项，若复数，满足，但，故命题C为假命题；
D选项，若复数，则，故D为真命题.
故选AD
11．【答案】ABC
【详解】由余弦定理得，则，
由正弦定理得
，
由为锐角三角形，得，，则，
而函数在上单调递增，于是，即，
且，解得，因此
，由，得，
由存在最大值，得，则，
所以实数的取值可能是.
故选ABC
12．【答案】或
【详解】因为，所以，
则与平行的单位向量的坐标是：
或.
13．【答案】
【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，
在中，由余弦定理可得：
，可得，
又因为，所以，
所以最大边的取值范围是：.
14．【答案】；
【详解】
解法一：，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
又∵,则，设，则（其中），
，，
，
∴当时，取得最小值；
解法二：依题意得，，
由，
得，∴，
取的中点，连接，
则，
注意到线段在线段上运动时，的最小值等于点到直线的距离，
即，∴的最小值为，即的最小值为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
；
（2）因，，
则
.
16．【答案】（1）；（2），的面积为.
【详解】（1）因为，，且，
所以，由正弦定理可得，
因为A，B为的内角，所以，
因此可化为，即，所以；
（2）因为，，，
由余弦定理可得，即，即，
解得或（舍），
所以的面积为.
17．【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）过作轴，垂足为；过作轴，垂足为；过作，垂足为，如图所示.
依题意可知，
，，，则，
，所以.
（2），
所以向量在向量上的投影向量为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）以为基底，设，
则
，
所以，
同理，
，
则；
（2）因为三点共线，不妨设，
同理有三点共线，不妨设，
则有.
19．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）由正弦定理知，而，
∴，
即，又，
∴，即，又，
∴，则.
（2）由正弦定理知，
所以，
因为，从而，所以，
从而的取值范围为.

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