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陕西省西安市临潼区2023 2024学年高一下学期期末质量监测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了14人，则男运动员被抽取的人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
4．复数（，i为虚数单位），是z的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知随机事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ）
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．非互斥事件 D．以上都不对
8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，则（ ）
A．复数z的虚部为3 B．
C．复数z的实部为 D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，且四点构成平行四边形
B．若为非零实数，且，则非零向量与共线
C．在中，若，则点一定在的平分线上
D．若向量，则与的方向相同或相反
11．如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱上，则下列结论正确的是（ ）
A．若，C，E，F四点共面，则
B．存在点E，使得平面
C．若，C，E，F四点共面，则四棱锥的体积为定值
D．存在点E，F，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：91，89，90，92，93，87，91，94，则这组数据的分位数为 ．
13．已知球的表面积为，球与一圆柱的两个底面和侧面均相切，则该圆柱的侧面积为 ．
14．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设向量，，．
(1)求向量；
(2)若，求实数k的值．
16．在一个盒子中有6个红球和2个黑球，这8个球除颜色外没有其他差异.现从中依次随机地取出2个球.
(1)若采用放回方式抽取，求两次取到的球颜色不同的概率；
(2)若采用不放回方式抽取，求两次取到的球颜色相同的概率.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．
18．某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.

求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
(3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
19．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正切值.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据分层抽样的抽样原则，按比例计算即可.
【详解】由题意得，男运动员被抽取的人数为；
故选D.
2．【答案】B
【分析】根据给定条件，复数的乘方及除法运算求出即可得解.
【详解】依题意，复数，
所以复数对应的点位于第二象限.
故选B.
3．【答案】A
【分析】利用平面的基本性质求解.
【详解】由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
故选A.
4．【答案】B
【分析】由共轭复数的概念以及复数的乘法运算可得结果.
【详解】因为，所以，
，
解得，
故选B.
5．【答案】A
【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，，，则且，
反之，当且时，若，则或与相交，
所以“”是“且”的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】D
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得.
【详解】依题意，.
故选D.
7．【答案】A
【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断.
【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，
所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件；
故选A.
8．【答案】C
【分析】根据给定条件，取为平面的一个基底，再利用向量的线性运算计算即得.
【详解】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则，
于是，而，
所以.
故选C.
9．【答案】ACD
【分析】利用复数乘法求出，再结合复数的概念、模及乘方运算逐项判断.
【详解】对于AC，复数，复数的虚部为3，实部为，AC正确；
对于B，，B错误；
对于D，，D正确.
故选ACD.
10．【答案】BC
【分析】利用相等向量的定义、共线向量的概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C.
【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但四点不能构成平行四边形，故A错误；
对于B，设为非零实数，且，则非零向量 与共线，故B正确；
对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，
又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在的平分线上，故C正确；
对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BCD
【分析】证明判断A；利用线面平行的判定判断B；利用棱锥体积公式判断C；由点为棱的中点时的关系判断D.
【详解】在长方体中，若四点共面，平面平面，
平面平面，平面平面，则，同理，
对于A，由四点共面，得四边形是平行四边形，则，≌，
于是，若不是棱的中点，则有，A错误；
对于B，当是棱的中点时，由选项A知，为的中点，四边形是平行四边形，
则，而平面平面，因此平面，B正确；
对于C，由长方体性质知，且平面，平面，
则平面，同理可得平面，即点，到平面的距离为定值，
又的面积为定值，因此三棱锥和三棱锥的体积都为定值，
四棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，当是棱的中点时，由选项B知，，由正方形，得，
而平面，平面，则，又，
平面，于是平面，而平面，
所以，，D正确.
故选BCD.
【方法总结】所给几何体的体积可以直接利用公式求出，还可用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
12．【答案】93
【分析】把给定8个得分由小到大排列，再利用分位数的定义求解即得.
【详解】将8个班的比赛得分由小到大排列为：87，89，90，91，91，92，93，94，
由，得这组数据的分位数为93.
故答案为：93.
13．【答案】
【分析】由题意可得圆柱的高和底面直径都等于球的直径，所以先由球的表面积求出球的半径，再根据圆柱侧面积公式计算即可．
【详解】设球的半径为，则，解得，
由题意得，圆柱的底面半径为1，高为2，
所以圆柱的侧面积为.
故答案为：．
14．【答案】/
【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意可知，共有4根算筹，
当十位1根，个位3根，共有2个两位数13，17；
当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；
当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；
当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；
其中质数有13，17，31，71，所以取到的数字为质数的概率为.
故答案为：/.
15．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由向量的线性运算求解即可；
（2）由向量垂直的条件即可求解.
【详解】（1）因为，，
则；
（2）因为，
若，
则，
解得．
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】根据古典概型概率公式，独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求解即可．
【详解】（1）采用放回方式抽取，两次取到的球颜色不同的概率为：；
（2）采用不放回方式抽取，两次取到的球颜色相同的概率为：.
17．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得.
（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
而，则，
由，得，，于是，又，
所以.
（2）由，且的面积为，得，即，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为.
18．【答案】(1)0.12，17万元；
(2)；
(3)平均数，方差.
【分析】（1）根据频率之和为1求得所求区间的频率，由题意求得的推销员不能完成月销售额目标得销售额即可求解；
（2）利用列举法列出所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解；
（3）将数据代入平均数公式和总体方差公式求解即可.
【详解】（1）月销售额在小组内的频率为，
若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标，
根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为，
和及三组的频率之和为，
故估计月销售目标应定为万元；
（2）第一组3人记为，第七组2人，
则选取2位推销员有
共10种情形，
“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，
则事件M包含有共6种情形，
所以；
（3）第一组3人，第七组2人，
则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为，
方差.
19．【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】（1）为中点，，即，
又为中点，；
，，，四边形为矩形，
，即，，
，平面，平面，
，平面，又平面，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）由（1）知：平面，又平面，，
，，平面，平面；
取中点，过作，垂足为，连接，

分别为中点，，平面，
平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
即为二面角的平面角，
，，
又，，
即二面角的正切值为.
【方法总结】二面角的求法
方法一(几何法)：找→作(定义法、三垂线法、垂面法)→证(定义)→指→求(解三角形)．
方法二(向量法)：首先求出两个平面的法向量m，n，再代入公式cos α＝± (其中m，n分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角)求解(注意通过观察二面角的大小选择“±”)．

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