资源简介

第3节　函数的奇偶性、周期性与对称性
[课程标准要求]
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
第一课时　函数的奇偶性、周期性与对称性
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有－x∈D,且f(－x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴 对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有－x∈D,且f(－x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点 对称
函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.
2.函数的周期性
(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有 x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数 f(x) 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(－x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.周期性的常用结论
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x－a),则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x+a)=－f(x),则函数的一个周期为2a.
(3)若f(x+a)=,则函数的一个周期为2a.
(4)若f(x+a)=－,则函数的一个周期为2a.
3.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即f(a+x)=f(a－x)或f(x)=f(2a－x).
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,即f(b+x)+f(b－x)=0或f(x)+f(2b－x)=0.
(3)若函数y=f(x)满足f(m)=f(n),且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于直线x=对称.
(4)若函数y=f(x)满足f(m)+f(n)=q,且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于点(,)对称.特别地,当q=0时,y=f(x)的图象关于点(,0)对称.
1.(人教A版必修第一册P84例6改编)(多选题)给出下列函数,其中是奇函数的为(　　)
[A] f(x)=x4 [B] f(x)=x5
[C] f(x)=x+ [D] f(x)=
2.(苏教版必修第一册P127习题5.4 T5改编)已知函数f(x)=(2x－)cos x是偶函数,则实数a等于(　　)
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
3.(人教A版必修第一册P87习题3.2 T13改编)已知函数y=f(x+1)为奇函数,则函数y=f(x)+1的图象(　　)
[A] 关于点(1,1)对称
[B] 关于点(1,－1)对称
[C] 关于点(－1,1)对称
[D] 关于点(－1,－1)对称
4.(人教A版必修第一册P214习题5.4 T15改编)已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,若f(－1)=1,则f(2 025)=　　　　.
5.(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=e－x+2x－1,则当x≥0时,f(x)=　　　　　　　.
考点一　函数奇偶性的判断
1.(多选题)下列函数是偶函数的是(　　)
[A]f(x)=2x－2－x [B] f(x)=ln|x|
[C] f(x)=+1 [D] f(x)=x4+2x2
2.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
[A] f(x－1)－1 [B] f(x－1)+1
[C] f(x+1)－1 [D] f(x+1)+1
3.(2025·河北唐山模拟)函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,在公共定义域内,下列结论一定正确的是(　　)
[A] f(x)+g(x)为奇函数
[B] f(x)+g(x)为偶函数
[C] f(x)g(x)为奇函数
[D] f(x)g(x)为偶函数
4.(2025·山西太原模拟)已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上不恒为零的函数,若f(xy)=+,则(　　)
[A] f(1)=1 [B] f(－1)=1
[C] f(x)为偶函数 [D] f(x)为奇函数
判断函数奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则即非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)+f(－x)=0(奇函数)或f(x)－f(－x)=0(偶函数))是否成立.
考点二　函数奇偶性的应用
角度1　利用奇偶性求值(求参)
[例1] (2023·新课标 Ⅱ 卷)若f(x)=(x+a)ln 为偶函数,则a等于(　　)
[A] －1 [B] 0 [C] [D] 1
根据函数的奇偶性求解析式中参数的方法
根据 f(x)±f(－x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值.
角度2　利用奇偶性求解析式
[例2] (2025·江西景德镇模拟)已知函数f(x)=是奇函数,则x>0时,g(x)的解析式为(　　)
[A] g(x)=－()x [B] g(x)=()x
[C] g(x)=－2x [D] g(x)=2x
根据函数奇偶性求解析式的步骤
(1)设:要求哪个区间的解析式,x就设在哪个区间.
(2)代:利用已知区间的解析式代入进行推导.
(3)转:根据f(x)的奇偶性,把f(－x)写成－f(x)或f(x),从而解出f(x).
[针对训练]
1.(角度1)已知f(x)=为奇函数,则a等于(　　)
[A] －2 [B] 2 [C] 1 [D] －1
2.(角度2)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(　　)
[A] f(－)=0 [B] f(－1)=0
[C] f(2)=0 [D] f(4)=0
考点三　函数周期性及其应用
[例3] (1)(2025·河南安阳模拟)已知函数f(4x+3)的周期为1,则(　　)
[A] f(x+2)－f(x－2)=0
[B] f(x+1)－f(x)=0
[C] f(x+2)+f(x－2)=0
[D] f(x+1)+f(1－x)=0
(2)(2025·河北沧州模拟)设f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,f(2)=0,则f(x)在[0,10]内的零点个数最少是(　　)
[A] 4 [B] 6 [C] 7 [D] 8
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
[针对训练] (1)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=－f(x),当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为(　　)
[A] f(x)=2x+1
[B] f(x)=－2－x+4－1
[C] f(x)=2－x+4+1
[D] f(x)=2－x+1
(2)(2025·陕西西安模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=－,且当0考点四　函数对称性
[例4] (1)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)=2－f(x).若f(x)的图象关于直线x=3对称,则下列选项一定成立的是(　　)
[A] f(－3)=1 [B] f(0)=0
[C] f(3)=2 [D] f(5)=－1
(2)(多选题)(2025·吉林白山模拟)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称,
若=2－x,则(　　)
[A] f(2－3x)+f(3x)=4
[B] f(x)=f(x－4)
[C] f(2 025)=－4 046
[D] f(i)=－340
(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 f(x)=f(2a－x) f(a－x)=f(a+x).
(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a+x)+f(a－x)=2b 2b－f(x)=f(2a－x).
(3)函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b－x)的图象关于直线x=对称.
[针对训练] (1)(2025·四川南充模拟)已知函数f(x)=ex－e－x,则函数y=f(x－1)+1的图象(　　)
[A] 关于点(1,1)对称
[B] 关于点(－1,1)对称
[C] 关于点(－1,0)对称
[D] 关于点(1,0)对称
(2)若函数y=g(x)的图象与y=ln x的图象关于直线x=2对称,则g(x)=　　　　.
微点培优2　利用奇函数的性质求值
[典例] (1)已知函数f(x)=ax7+bx3+x2+cx+3,且f(10)=6,则f(－10)=　　　　.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足 x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)－2 024,若函数g(x)=+f(x)的最大值和最小值分别为M,m,则M+m=　　　　.
若函数f(x)为奇函数,且函数g(x)=f(x)+m,
(1)若已知g(a)=M,则g(－a)=2m－M.
(2)若函数g(x)=f(x)+m在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M,N,设区间[a,b]的中点为x0,则M+N=2g(x0)(其中[a,b]关于原点对称).
[拓展演练](1)(2025·福建泉州模拟)已知y=f(x+1)+1为奇函数,则f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)等于(　　)
[A] 6 [B] 5
[C] －6 [D] －5
(2)(2025·安徽淮北模拟)函数f(x)=(x2－6x)sin(x－3)+x+a(x∈[0,6])的最大值为M,最小值为m,若M+m=8,则a=　　　　.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
奇偶性及应用 1,3,6,7,8,10,12,16
周期性及应用 4,9,13,14
对称性及应用 2,5,11,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　)
[A] y= [B] y=
[C] y= [D] y=
2.函数y=f(x)与函数y=2x+1－1的图象关于直线x=2对称,则f(4)的值为(　　)
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
3.(2025·山东济南模拟)设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x－1,则使f(x)>0的x的取值范围是(　　)
[A] {x|x>1}
[B] {x|－1[C] {x|x<－1或x>1}
[D] {x|11}
4.(2025·河南鹤壁模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+1)=f(1－x),当0[A] 0 [B] ln 3 [C] 1 [D] ln 2
5.已知函数y=f(1－x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m等于(　　)
[A] 3 [B] [C] －1 [D] －
6.(多选题)(2025·云南昆明模拟)函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
且f(x)－g(x)=x3+x2－1,则(　　)
[A] f(－1)=－1 [B] g(－1)=－2
[C] f(1)+g(1)=1 [D] f(1)+g(1)=2
7.(5分)(2025·浙江舟山模拟)若函数f(x)=是R上的偶函数,则a+b=　　　.
8.(13分)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=－f(x).
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求使f(x)=－在[0,2 025]上的所有x的个数.
9.(2025·广西玉林模拟)已知函数f(2x+5)的周期是3,则f(x)的周期为(　　)
[A] [B] 3 [C] 6 [D] 9
10.(2025·江苏靖江模拟)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y=f(x)－3ex是奇函数,则f(x)的最小值为(　　)
[A] e [B] 2 [C] 2 [D] 2e
11.(2025·安徽淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)·(x2+ax+b)满足:对 x∈R,都有f(1+x)=f(1－x),则a+b为(　　)
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
12.(5分)已知函数f(x)=(x∈[－8π,0)∪(0,8π],0<ω<8)的最大值为M,最小值为m,
则M+m的值为　　　　.
13.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当－3≤x<－1时,f(x)=－(x+2)2,当－1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=　　　　.
14.(15分)已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求a的值,并解关于x的不等式f(x)>;
(2)求函数g(x)=图象的对称中心.
15.已知f(x)的定义域为R,函数f(x)满足f(x)+f(4－x)=6,g(x)=,f(x),g(x)图象的交点分别是(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),…,(xn,yn),则y1+y2+…+yn可能的值为(　　)
[A] 2 [B] 14 [C] 18 [D] 25
16.(多选题)(2025·河南郑州模拟)已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常数函数,F(x)=f(1－x)－1,g(x)=f(x+1)－1,若g(x)是奇函数,则(　　)
[A] y=f(x)的图象关于点(1,1)对称
[B] f(x)=f(x+4)
[C] F(x)是奇函数
[D] F(x)与g(x)的图象关于原点对称
第3节　函数的奇偶性、周期性与对称性（解析版）
[课程标准要求]
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
第一课时　函数的奇偶性、周期性与对称性
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有－x∈D,且f(－x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴 对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有－x∈D,且f(－x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点 对称
函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.
2.函数的周期性
(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有 x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数 f(x) 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(－x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.周期性的常用结论
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x－a),则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x+a)=－f(x),则函数的一个周期为2a.
(3)若f(x+a)=,则函数的一个周期为2a.
(4)若f(x+a)=－,则函数的一个周期为2a.
3.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即f(a+x)=f(a－x)或f(x)=f(2a－x).
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,即f(b+x)+f(b－x)=0或f(x)+f(2b－x)=0.
(3)若函数y=f(x)满足f(m)=f(n),且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于直线x=对称.
(4)若函数y=f(x)满足f(m)+f(n)=q,且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于点(,)对称.特别地,当q=0时,y=f(x)的图象关于点(,0)对称.
1.(人教A版必修第一册P84例6改编)(多选题)给出下列函数,其中是奇函数的为(　　)
[A] f(x)=x4 [B] f(x)=x5
[C] f(x)=x+ [D] f(x)=
【答案】 BC
【解析】 对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,由f(－x)=(－x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,同理可知f(x)=x5,f(x)=x+是奇函数,f(x)=是偶函数.故选BC.
2.(苏教版必修第一册P127习题5.4 T5改编)已知函数f(x)=(2x－)cos x是偶函数,则实数a等于(　　)
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
【答案】 B
【解析】 因为f(－x)=(2－x－)cos(－x)=(－a·2x+)cos x,f(x)为偶函数,
所以f(－x)=f(x),则－a=1,解得a=－1.故选B.
3.(人教A版必修第一册P87习题3.2 T13改编)已知函数y=f(x+1)为奇函数,则函数y=f(x)+1的图象(　　)
[A] 关于点(1,1)对称
[B] 关于点(1,－1)对称
[C] 关于点(－1,1)对称
[D] 关于点(－1,－1)对称
【答案】 A
【解析】 函数y=f(x+1)为奇函数,图象关于点(0,0)对称,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)+1的图象关于点(1,1)对称.故选A.
4.(人教A版必修第一册P214习题5.4 T15改编)已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,若f(－1)=1,则f(2 025)=　　　　.
【答案】 －1
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,
所以f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=－f(－1)=－1.
5.(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=e－x+2x－1,则当x≥0时,f(x)=　　　　　　　.
【答案】 －ex+2x+1
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,
则当x=0时,f(0)=0.
当x>0时,－x<0,f(x)=－f(－x)=－(ex－2x－1)=－ex+2x+1,
又f(0)=－e0+2×0+1=0,
则当x≥0时,f(x)=－ex+2x+1.
考点一　函数奇偶性的判断
1.(多选题)下列函数是偶函数的是(　　)
[A]f(x)=2x－2－x [B] f(x)=ln|x|
[C] f(x)=+1 [D] f(x)=x4+2x2
【答案】 BD
【解析】 选项A,定义域为R,关于原点对称,f(－x)=2－x－2x=－f(x),所以f(x)是奇函数;
选项B,由|x|>0得x>0或x<0,所以f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
f(－x)=ln |－x|=ln |x|=f(x),所以f(x)是偶函数;
选项C,由x≥0得定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
选项D,定义域为R,f(－x)=(－x)4+2(－x)2=x4+2x2=f(x),所以f(x)是偶函数.
故选BD.
2.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
[A] f(x－1)－1 [B] f(x－1)+1
[C] f(x+1)－1 [D] f(x+1)+1
【答案】 B
【解析】 f(x)===－1,为保证函数变换之后为奇函数,需将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的图象对应的函数为y=f(x－1)+1.故选B.
3.(2025·河北唐山模拟)函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,在公共定义域内,下列结论一定正确的是(　　)
[A] f(x)+g(x)为奇函数
[B] f(x)+g(x)为偶函数
[C] f(x)g(x)为奇函数
[D] f(x)g(x)为偶函数
【答案】 C
【解析】 令F1(x)=f(x)+g(x),则F1(－x)=f(－x)+g(－x)=－f(x)+g(x)≠－F1(x),且F1(－x)≠F1(x),所以F1(x)既不是奇函数,也不是偶函数,故A,B错误;
令F2(x)=f(x)g(x),则F2(－x)=f(－x)g(－x)=－f(x)g(x)=－F2(x),且F2(－x)≠F2(x),所以F2(x)是奇函数,不是偶函数,故C正确,D错误.故选C.
4.(2025·山西太原模拟)已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上不恒为零的函数,若f(xy)=+,则(　　)
[A] f(1)=1 [B] f(－1)=1
[C] f(x)为偶函数 [D] f(x)为奇函数
【答案】 C
【解析】 令x=y=1,则f(1)=2f(1),故f(1)=0,A选项错误;
令x=y=－1,则f(1)=2f(－1),故f(－1)=0,B选项错误;
令y=－1,则f(－x)=f(x)+=f(x),故f(x)为偶函数,C选项正确;
因为f(x)为偶函数,又函数f(x)是定义在{x|x≠0}上不恒为零的函数,所以f(x)不可能是奇函数,D选项错误.故选C.
判断函数奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则即非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)+f(－x)=0(奇函数)或f(x)－f(－x)=0(偶函数))是否成立.
考点二　函数奇偶性的应用
角度1　利用奇偶性求值(求参)
[例1] (2023·新课标 Ⅱ 卷)若f(x)=(x+a)ln 为偶函数,则a等于(　　)
[A] －1 [B] 0 [C] [D] 1
[溯源探本]本例题源于北师大版必修第一册P73复习题二B组T7.
【答案】 B
【解析】 因为f(x)为偶函数,则f(1)=f(－1),所以(1+a)ln =(－1+a)ln 3,解得a=0,当a=0时,f(x)=xln ,由(2x－1)(2x+1)>0,解得x>或x<－,则其定义域为或,关于原点对称.
f(－x)=(－x)ln =(－x)ln =(－x)ln()－1=xln =f(x),
故此时f(x)为偶函数.
故选B.
根据函数的奇偶性求解析式中参数的方法
根据 f(x)±f(－x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值.
角度2　利用奇偶性求解析式
[例2] (2025·江西景德镇模拟)已知函数f(x)=是奇函数,则x>0时,g(x)的解析式为(　　)
[A] g(x)=－()x [B] g(x)=()x
[C] g(x)=－2x [D] g(x)=2x
【答案】 C
【解析】 设x>0,则－x<0,所以f(－x)=()－x=2x,又函数f(x)是奇函数,所以f(－x)=－f(x),
即－f(x)=2x f(x)=－2x,x>0.即g(x)=－2x.故选C.
根据函数奇偶性求解析式的步骤
(1)设:要求哪个区间的解析式,x就设在哪个区间.
(2)代:利用已知区间的解析式代入进行推导.
(3)转:根据f(x)的奇偶性,把f(－x)写成－f(x)或f(x),从而解出f(x).
[针对训练]
1.(角度1)已知f(x)=为奇函数,则a等于(　　)
[A] －2 [B] 2 [C] 1 [D] －1
【答案】 A
【解析】 当x<0时,－x>0,所以f(x)=－f(－x)=－[(－x)3+2(－x)2]=x3－2x2,
通过对比系数得a=－2.故选A.
2.(角度2)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(　　)
[A] f(－)=0 [B] f(－1)=0
[C] f(2)=0 [D] f(4)=0
【答案】 B
【解析】 因为f(x+2)是偶函数,所以f(－x+2)=f(x+2).又因为f(2x+1)是奇函数,
所以f(－2x+1)=－f(2x+1).所以f(1)=－f(1),即f(1)=0.所以f(－1)=－f(3)=－f(1)=0.故选B.
考点三　函数周期性及其应用
[例3] (1)(2025·河南安阳模拟)已知函数f(4x+3)的周期为1,则(　　)
[A] f(x+2)－f(x－2)=0
[B] f(x+1)－f(x)=0
[C] f(x+2)+f(x－2)=0
[D] f(x+1)+f(1－x)=0
(2)(2025·河北沧州模拟)设f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,f(2)=0,则f(x)在[0,10]内的零点个数最少是(　　)
[A] 4 [B] 6 [C] 7 [D] 8
【答案】 (1)A　(2)D
【解析】 (1)因为函数f(4x+3)的周期为1,
则f(4x+3)=f(4(x+1)+3)=f((4x+3)+4).令4x+3=t,
则f(t)=f(t+4),得f(x)的周期为4,则f(x+4)=f(x).所以f(x+2)=f(x－2) f(x+2)－f(x－2)=0,故A正确,C错误.
又由f(x+4)=f(x),可得f(x+1)=f(x－3)=f(x+5),故B,D错误.故选A.
(2)因为f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,所以f(x)=－f(－x),f(x)=f(x+6),即f(－x)+
f(x+6)=0,所以f(x)的图象关于(3,0)对称,且f(3)=0,则f(9)=0.又f(0)=0,所以f(6)=0,又f(2)=0,所以f(8)=0,f(－2)=0,f(4)=0,f(10)=0,故零点至少有0,2,3,4,6,8,9,10,则f(x)在[0,10]内的零点个数最少是8.故选D.
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
[针对训练] (1)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=－f(x),当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为(　　)
[A] f(x)=2x+1
[B] f(x)=－2－x+4－1
[C] f(x)=2－x+4+1
[D] f(x)=2－x+1
(2)(2025·陕西西安模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=－,且当0【答案】 (1)B　(2)3
【解析】 (1)当x∈[－2,0)时,－x∈(0,2],所以－x+4∈(4,6],因为当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,所以f(－x+4)=2－x+4+1,又因为f(x+2)=－f(x),所以函数f(x)的周期为T=4,所以f(－x+4)=f(－x),又因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(－x)=－f(x),所以－f(x)=2－x+4+1,所以当x∈[－2,0)时,f(x)=－2－x+4－1.故选B.
(2)由已知可得f(x+4)=－,所以f(x+4)=f(x),
即T=4是函数f(x)的一个周期,
所以f(2 025)=f(1)=31－ln 1=3.
考点四　函数对称性
[例4] (1)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)=2－f(x).若f(x)的图象关于直线x=3对称,则下列选项一定成立的是(　　)
[A] f(－3)=1 [B] f(0)=0
[C] f(3)=2 [D] f(5)=－1
(2)(多选题)(2025·吉林白山模拟)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称,
若=2－x,则(　　)
[A] f(2－3x)+f(3x)=4
[B] f(x)=f(x－4)
[C] f(2 025)=－4 046
[D] f(i)=－340
【答案】 (1)A　(2)ACD
【解析】 (1)函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则必有f(3－x)=f(x+3),
所以f(0)=f(6),f(1)=f(5),f(2)=f(4).
又因为f(x)满足f(2－x)=2－f(x),取x=1,所以f(1)=2－f(1),f(1)=1,则f(1)=f(5)=1,取x=5,
则f(－3)=2－f(5)=1,A正确,D错误;
对于B,C项,条件不足,无法求出f(0)和f(3),故B,C不一定正确.故选A.
(2)因为f(x)的图象关于(1,2)中心对称,则f(2－x)+f(x)=4,故A正确;
由=2－x,
可得f(x)－f(4－x)=8－4x,
则f(2－x)－f(2+x)=4x,取x=1得f(1)－f(3)=4,
在f(2－x)+f(x)=4中取x=1可得f(1)=2,则f(3)=－2,
由f(－1)+f(3)=4,得f(－1)=6≠f(3),故B错误;
由f(2－x)－f(2+x)=4x,得4－f(x)－f(2+x)=4x,
所以f(x)+f(x+2)=4－4x,①
所以f(x+2)+f(x+4)=－4－4x,②
②－①得f(x+4)－f(x)=－8,
又因为2 025=1+4×506,
所以f(2 025)=f(1)－8×506=2－8×506=－4 046,故C正确;
又由①f(2)+f(4)=－4,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=－4,
所以f(i)=－4×5+×(－32)=－340,故D正确.故选ACD.
(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 f(x)=f(2a－x) f(a－x)=f(a+x).
(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a+x)+f(a－x)=2b 2b－f(x)=f(2a－x).
(3)函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b－x)的图象关于直线x=对称.
[针对训练] (1)(2025·四川南充模拟)已知函数f(x)=ex－e－x,则函数y=f(x－1)+1的图象(　　)
[A] 关于点(1,1)对称
[B] 关于点(－1,1)对称
[C] 关于点(－1,0)对称
[D] 关于点(1,0)对称
(2)若函数y=g(x)的图象与y=ln x的图象关于直线x=2对称,则g(x)=　　　　.
【答案】 (1)A　(2)ln(4－x)
【解析】 (1)因为f(x)=ex－e－x,所以f(－x)=e－x－ex=－f(x),即f(x)的图象关于原点对称,函数y=f(x－1)+1的图象可由f(x)的图象先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,所以函数y=f(x－1)+1的图象关于点(1,1)对称.故选A.
(2)在函数y=g(x)的图象上任取一点(x,y),则点(x,y)关于直线x=2对称的点为(4－x,y),且点
(4－x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(4－x),即g(x)=ln(4－x).
微点培优2　利用奇函数的性质求值
[典例] (1)已知函数f(x)=ax7+bx3+x2+cx+3,且f(10)=6,则f(－10)=　　　　.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足 x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)－2 024,若函数g(x)=+f(x)的最大值和最小值分别为M,m,则M+m=　　　　.
【答案】 (1)200　(2)4 048
【解析】 (1)由f(x)=ax7+bx3+x2+cx+3,得ax7+bx3+cx=f(x)－x2－3,
构建函数h(x)=ax7+bx3+cx=f(x)－x2－3,定义域为R,
则h(－x)=a(－x)7+b(－x)3+c(－x)=－(ax7+bx3+cx)=－h(x),
即h(x)是奇函数,
于是h(－10)=－h(10),
所以f(－10)－(－10)2－3=－[f(10)－102－3],
可得f(－10)=－f(10)+200+6,又f(10)=6,因此f(－10)=200.
(2)令x=y=0,得f(0)=2 024,令y=－x,则f(0)=f(x)+f(－x)－2 024,
所以f(－x)－2 024=－[f(x)－2 024],令h(x)=f(x)－2 024,
所以h(－x)=－h(x),h(x)为奇函数,f(x)=h(x)+2 024.
令G(x)=+h(x),则G(－x)=－+h(－x)=－[+h(x)]=－G(x),
即G(x)为奇函数,所以G(x)max+G(x)min=0.
而g(x)=+h(x)+2 024=G(x)+2 024,
所以M+m=G(x)max+2 024+G(x)min+2 024=4 048.
若函数f(x)为奇函数,且函数g(x)=f(x)+m,
(1)若已知g(a)=M,则g(－a)=2m－M.
(2)若函数g(x)=f(x)+m在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M,N,设区间[a,b]的中点为x0,则M+N=2g(x0)(其中[a,b]关于原点对称).
[拓展演练](1)(2025·福建泉州模拟)已知y=f(x+1)+1为奇函数,则f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)等于(　　)
[A] 6 [B] 5
[C] －6 [D] －5
(2)(2025·安徽淮北模拟)函数f(x)=(x2－6x)sin(x－3)+x+a(x∈[0,6])的最大值为M,最小值为m,若M+m=8,则a=　　　　.
【答案】 (1)D　(2)1
【解析】 (1)由题意知y=f(x+1)+1为奇函数,则f(－x+1)+1=－f(x+1)－1,
所以f(－x+1)+f(x+1)=－2 f(2－x)+f(x)=－2,
所以f(x)的图象关于(1,－1)对称,
所以f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=[f(－1)+f(3)]+f(1)+[f(0)+f(2)]=－2－1－2=－5.故选D.
(2)f(x)=(x2－6x)sin(x－3)+x+a=[(x－3)2－9]sin(x－3)+(x－3)+a+3,
设x－3=t∈[－3,3],
则y=(t2－9)sin t+t+a+3,
记g(t)=y－(a+3)=(t2－9)sin t+t,因为g(－t)=－(t2－9)sin t－t=－g(t),
所以g(t)是在[－3,3]上的奇函数,最大值为M－(a+3),最小值为m－(a+3),
所以M－(3+a)+m－(3+a)=0,又因为M+m=8,所以a=1.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
奇偶性及应用 1,3,6,7,8,10,12,16
周期性及应用 4,9,13,14
对称性及应用 2,5,11,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　)
[A] y= [B] y=
[C] y= [D] y=
【答案】 B
【解析】 对A,设f(x)=,函数定义域为R,但f(－1)=,f(1)=,则f(－1)≠f(1),故A错误;
对B,设g(x)=,函数定义域为R,
且g(－x)===g(x),则g(x)为偶函数,故B正确;
对C,设h(x)=,函数定义域为{x|x≠－1},不关于原点对称,则h(x)不是偶函数,故C错误;
对D,设(x)=,函数定义域为R,因为(1)=,(－1)=,则(1)≠(－1),则(x)不是偶函数,故D错误.故选B.
2.函数y=f(x)与函数y=2x+1－1的图象关于直线x=2对称,则f(4)的值为(　　)
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
【答案】 A
【解析】 设g(x)=2x+1－1,因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(4)=g(0)=2－1=1.故选A.
3.(2025·山东济南模拟)设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x－1,则使f(x)>0的x的取值范围是(　　)
[A] {x|x>1}
[B] {x|－1[C] {x|x<－1或x>1}
[D] {x|11}
【答案】 C
【解析】 因为当x∈(0,+∞)时,f(x)=x－1单调递增,
又因为f(x)为偶函数,
故可以作出f(x)的图象如图所示.
由图象可知,若f(x)>0,则x<－1或x>1.故选C.
4.(2025·河南鹤壁模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+1)=f(1－x),当0[A] 0 [B] ln 3 [C] 1 [D] ln 2
【答案】 A
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+1)=f(1－x),所以f(－x)=－f(x),
f(x)=f(2－x),则f(2－x)=－f(－x),即f(2+x)=－f(x),则f(4+x)=－f(2+x)=－[－f(x)]=f(x),
即f(x)是以4为周期的周期函数,又因为2 025=4×506+1,当0所以f(2 025)=f(1)=ln 1=0.故选A.
5.已知函数y=f(1－x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m等于(　　)
[A] 3 [B] [C] －1 [D] －
【答案】 D
【解析】 设点P(x,y)在函数y=f(1－x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点Q(x′,y′),
则则
则y′=f(1－2m+x′),
即y=f(1－2m+x)与y=f(1－x)的图象关于直线x=m对称,
则1－2m=2,得m=－.故选D.
6.(多选题)(2025·云南昆明模拟)函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
且f(x)－g(x)=x3+x2－1,则(　　)
[A] f(－1)=－1 [B] g(－1)=－2
[C] f(1)+g(1)=1 [D] f(1)+g(1)=2
【答案】 AC
【解析】 法一　由f(x)－g(x)=x3+x2－1,
得f(－x)－g(－x)=－x3+x2－1,
又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以－f(x)－g(x)=－x3+x2－1.
由
得f(x)=x3,g(x)=－x2+1.
对于A,f(－1)=(－1)3=－1,故A正确;
对于B,g(－1)=－(－1)2+1=0,故B错误;
对于C和D,f(1)+g(1)=1－1+1=1,C正确,D错误.
故选AC.
法二　因为f(x)－g(x)=x3+x2－1,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
将x=－1代入得f(－1)－g(－1)=－1,
所以－f(1)－g(1)=－1,即f(1)+g(1)=1,故C正确,D错误;
将x=1代入得f(1)－g(1)=1,
又f(1)+g(1)=1,所以f(1)=1,g(1)=0,
所以f(－1)=－1,g(－1)=0,故A正确,B错误.故选AC.
7.(5分)(2025·浙江舟山模拟)若函数f(x)=是R上的偶函数,则a+b=　　　.
【答案】 1
【解析】 若函数f(x)是R上的偶函数,
则有即解得
当时,f(x)=f(0)=0,
当x>0时,－x<0,f(－x)=x3+2x=f(x),
当x<0时,－x>0,f(－x)=－x3－2x=f(x),
所以函数f(x)是R上的偶函数,符合题意,
则a+b=2－1=1.
8.(13分)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=－f(x).
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求使f(x)=－在[0,2 025]上的所有x的个数.
(1)【证明】 因为f(x+2)=－f(x),所以f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x),所以f(x)是周期函数,4为函数f(x)的一个周期.
(2)【解】 当0≤x≤1时,f(x)=x,设－1≤x<0,则0<－x≤1,所以f(－x)=(－x)=－x.因为f(x)是奇函数,所以f(－x)=－f(x),所以－f(x)=－x,即f(x)=x,故f(x)=x(－1≤x≤1).又设1则－1所以f(x－2)=f(x+2)=－f(x),所以－f(x)=(x－2),
所以f(x)=－(x－2)(1所以f(x)=
令f(x)=－,当－1≤x≤1时,可得x=－,所以x=－1;当1因为f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(x)=－的解集为{x|x=4n－1,n∈Z}.
令0≤4n－1≤2 025,则≤n≤.又因为n∈Z,所以1≤n≤506(n∈Z),所以在[0,2 025]上共有506个x使f(x)=－.
9.(2025·广西玉林模拟)已知函数f(2x+5)的周期是3,则f(x)的周期为(　　)
[A] [B] 3 [C] 6 [D] 9
【答案】 C
【解析】 因为f(2x+5)的周期是3,所以f(2x+5)=f[2(x+3)+5]=f(2x+11),令2x=y,
则f(y+5)=f(y+11),所以f(x)的周期为6.故选C.
10.(2025·江苏靖江模拟)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y=f(x)－3ex是奇函数,则f(x)的最小值为(　　)
[A] e [B] 2 [C] 2 [D] 2e
【答案】 B
【解析】 因为函数y=f(x)+ex为偶函数,
则f(－x)+e－x=f(x)+ex,
即f(x)－f(－x)=e－x－ex,①
又因为函数y=f(x)－3ex为奇函数,
则f(－x)－3e－x=－f(x)+3ex,
即f(x)+f(－x)=3ex+3e－x,②
联立①②可得f(x)=ex+2e－x,
由基本不等式可得
f(x)=ex+2e－x≥2=2,
当且仅当ex=2e－x时,即当x=ln 2时,等号成立,故函数f(x)的最小值为2.故选B.
11.(2025·安徽淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)·(x2+ax+b)满足:对 x∈R,都有f(1+x)=f(1－x),则a+b为(　　)
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)满足:对 x∈R,都有f(1+x)=f(1－x),
所以即
解得
经检验满足题意,所以a+b=2.故选C.
12.(5分)已知函数f(x)=(x∈[－8π,0)∪(0,8π],0<ω<8)的最大值为M,最小值为m,
则M+m的值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题意知f(x)==1－,令g(x)=,x∈[－8π,0)∪(0,8π],
则g(x)+g(－x)==0,即g(x)为奇函数,设g(x)的最大值为N,最小值为n,则N+n=0,故M=1－n,m=1－N,则M+m=2.
13.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当－3≤x<－1时,f(x)=－(x+2)2,当－1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=　　　　.
【答案】 340
【解析】 因为f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期T=6,于是f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(－3)=－(－3+2)2=－1,f(4)=f(－2)=－(－2+2)2=0,f(5)=f(－1)=－1,f(6)=f(0)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,而2 024=6×337+2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=337×1+1+2=340.
14.(15分)已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求a的值,并解关于x的不等式f(x)>;
(2)求函数g(x)=图象的对称中心.
【解】 (1)对任意的x∈R,2x+2－x>0,
故函数f(x)的定义域为R,
又因为函数f(x)=为奇函数,
则f(0)==0,解得a=1,
所以f(x)=,
下面验证函数f(x)=为奇函数,
f(－x)==－f(x),
故函数f(x)=为奇函数,
由f(x)===>,得2·4x>4,即22x+1>22,
所以2x+1>2,解得x>,
因此不等式f(x)>的解集为(,+∞).
(2)g(x)==,
则g(－x)=,
所以g(x)+g(－x)==2,
因此函数g(x)=图象的对称中心为(0,1).
15.已知f(x)的定义域为R,函数f(x)满足f(x)+f(4－x)=6,g(x)=,f(x),g(x)图象的交点分别是(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),…,(xn,yn),则y1+y2+…+yn可能的值为(　　)
[A] 2 [B] 14 [C] 18 [D] 25
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)满足f(x)+f(4－x)=6,所以f(x)的图象的对称中心为(2,3),注意到g(2+x)+g(2－x)=+=－=6,
所以g(x)=的图象的对称中心也是(2,3),
故两个函数的图象交点关于(2,3)对称,故y1+y2+…+yn应为6的倍数,对比选项可知C选项符合题意.
故选C.
16.(多选题)(2025·河南郑州模拟)已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常数函数,F(x)=f(1－x)－1,g(x)=f(x+1)－1,若g(x)是奇函数,则(　　)
[A] y=f(x)的图象关于点(1,1)对称
[B] f(x)=f(x+4)
[C] F(x)是奇函数
[D] F(x)与g(x)的图象关于原点对称
【答案】 ABC
【解析】 因为g(x)是奇函数,所以g(x)+g(－x)=0,即f(x+1)－1+f(－x+1)－1=0,整理得f(x+1)+f(－x+1)=2,所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称,故A正确;因为f(x)为偶函数,所以f(x)+f(x－2)=f(x)+f(2－x)=2,所以f(x－2)+f(x－4)=2,f(x)=f(x－4),所以f(x)=f(x+4),故B正确;F(x)+F(－x)=f(1－x)－1+f(1+x)－1=0,故C正确;因为F(－x)=g(x),所以F(x)与g(x)的图象关于y轴对称,不关于原点对称,故D错误.故选ABC.
(
第
18
页
)(共87张PPT)
第3节　函数的奇偶性、
周期性与对称性
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
[课程标准要求]
第一课时　函数的奇偶性、
周期性与对称性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有－x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有－x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称
知识梳理
1.函数的奇偶性
f(－x)=f(x)
y轴
f(－x)=－f(x)
原点
释疑
函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.
知识梳理
2.函数的周期性
(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有 x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数 f(x) 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 正周期.
最小
重要结论
1.奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(－x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
重要结论
2.周期性的常用结论
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x－a),则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x+a)=－f(x),则函数的一个周期为2a.
重要结论
3.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,
即f(a+x)=f(a－x)或f(x)=f(2a－x).
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,
即f(b+x)+f(b－x)=0或f(x)+f(2b－x)=0.
重要结论
对点自测
1.(人教A版必修第一册P84例6改编)(多选题)给出下列函数,其中是奇函数的为(　　 )
BC
对点自测
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
B
3.(人教A版必修第一册P87习题3.2 T13改编)已知函数y=f(x+1)为奇函数,则函数y=f(x)+1的图象(　　)
[A] 关于点(1,1)对称
[B] 关于点(1,－1)对称
[C] 关于点(－1,1)对称
[D] 关于点(－1,－1)对称
对点自测
A
【解析】 函数y=f(x+1)为奇函数,图象关于点(0,0)对称,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)+1的图象关于点(1,1)对称.故选A.
对点自测
4.(人教A版必修第一册P214习题5.4 T15改编)已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,若f(－1)=1,则f(2 025)=　　　　.
对点自测
－1
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,
所以f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=－f(－1)=－1.
5.(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=e－x+2x－1,则当x≥0时,f(x)=　　　　　　 　.
对点自测
－ex+2x+1
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,
则当x=0时,f(0)=0.
当x>0时,－x<0,f(x)=－f(－x)=－(ex－2x－1)=－ex+2x+1,
又f(0)=－e0+2×0+1=0,
则当x≥0时,f(x)=－ex+2x+1.
考点一　函数奇偶性的判断
1.(多选题)下列函数是偶函数的是(　 　)
BD
【解析】 选项A,定义域为R,关于原点对称,f(－x)=2－x－2x=－f(x),所以f(x)是奇函数;
选项B,由|x|>0得x>0或x<0,所以f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(－x)=ln |－x|=ln |x|=f(x),所以f(x)是偶函数;
选项C,由x≥0得定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,
也不是偶函数;
选项D,定义域为R,f(－x)=(－x)4+2(－x)2=x4+2x2=f(x),所以f(x)是偶函数.
故选BD.
[A] f(x－1)－1 [B] f(x－1)+1
[C] f(x+1)－1 [D] f(x+1)+1
B
3.(2025·河北唐山模拟)函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,在公共定义域内,下列结论一定正确的是(　　)
[A] f(x)+g(x)为奇函数
[B] f(x)+g(x)为偶函数
[C] f(x)g(x)为奇函数
[D] f(x)g(x)为偶函数
C
【解析】 令F1(x)=f(x)+g(x),则F1(－x)=f(－x)+g(－x)=－f(x)+g(x)≠－F1(x),
且F1(－x)≠F1(x),所以F1(x)既不是奇函数,也不是偶函数,故A,B错误;
令F2(x)=f(x)g(x),则F2(－x)=f(－x)g(－x)=－f(x)g(x)=－F2(x),且F2(－x)≠F2(x),
所以F2(x)是奇函数,不是偶函数,故C正确,D错误.故选C.
[A] f(1)=1 [B] f(－1)=1
[C] f(x)为偶函数 [D] f(x)为奇函数
C
判断函数奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则即非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)+f(－x)=0(奇函数)或f(x)－f(－x)=0(偶函数))是否成立.
题后悟通
考点二　函数奇偶性的应用
角度1　利用奇偶性求值(求参)
B
根据函数的奇偶性求解析式中参数的方法
根据 f(x)±f(－x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值.
解题策略
角度2　利用奇偶性求解析式
C
根据函数奇偶性求解析式的步骤
(1)设:要求哪个区间的解析式,x就设在哪个区间.
(2)代:利用已知区间的解析式代入进行推导.
(3)转:根据f(x)的奇偶性,把f(－x)写成－f(x)或f(x),从而解出f(x).
解题策略
[针对训练]
A
[A] －2 [B] 2 [C] 1 [D] －1
【解析】 当x<0时,－x>0,所以f(x)=－f(－x)=－[(－x)3+2(－x)2]=x3－2x2,
通过对比系数得a=－2.故选A.
2.(角度2)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则
(　　)
B
【解析】 因为f(x+2)是偶函数,所以f(－x+2)=f(x+2).又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(－2x+1)=－f(2x+1).所以f(1)=－f(1),即f(1)=0.
所以f(－1)=－f(3)=－f(1)=0.故选B.
考点三　函数周期性及其应用
[例3] (1)(2025·河南安阳模拟)已知函数f(4x+3)的周期为1,则(　　)
[A] f(x+2)－f(x－2)=0
[B] f(x+1)－f(x)=0
[C] f(x+2)+f(x－2)=0
[D] f(x+1)+f(1－x)=0
A
【解析】 (1)因为函数f(4x+3)的周期为1,
则f(4x+3)=f(4(x+1)+3)=f((4x+3)+4).令4x+3=t,
则f(t)=f(t+4),得f(x)的周期为4,则f(x+4)=f(x).
所以f(x+2)=f(x－2) f(x+2)－f(x－2)=0,故A正确,C错误.
又由f(x+4)=f(x),可得f(x+1)=f(x－3)=f(x+5),故B,D错误.故选A.
(2)(2025·河北沧州模拟)设f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,f(2)=0,则f(x)在[0,10]内的零点个数最少是(　　)
[A] 4 [B] 6 [C] 7 [D] 8
D
【解析】 (2)因为f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,所以f(x)=－f(－x),
f(x)=f(x+6),即f(－x)+f(x+6)=0,所以f(x)的图象关于(3,0)对称,且f(3)=0,
则f(9)=0.又f(0)=0,所以f(6)=0,又f(2)=0,所以f(8)=0,f(－2)=0,f(4)=0,f(10)=0,
故零点至少有0,2,3,4,6,8,9,10,则f(x)在[0,10]内的零点个数最少是8.故选D.
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
解题策略
[针对训练] (1)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=－f(x),当x∈(4,6]时,
f(x)=2x+1,则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为(　　)
[A] f(x)=2x+1
[B] f(x)=－2－x+4－1
[C] f(x)=2－x+4+1
[D] f(x)=2－x+1
B
【解析】 (1)当x∈[－2,0)时,－x∈(0,2],所以－x+4∈(4,6],因为当x∈(4,6]时,
f(x)=2x+1,所以f(－x+4)=2－x+4+1,又因为f(x+2)=－f(x),所以函数f(x)的周期为T=4,所以f(－x+4)=f(－x),又因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(－x)=－f(x),所以－f(x)=2－x+4+1,所以当x∈[－2,0)时,f(x)=－2－x+4－1.故选B.
3
考点四　函数对称性
[例4] (1)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)=2－f(x).若f(x)的图象关于直线x=3对称,则下列选项一定成立的是(　　)
[A] f(－3)=1 [B] f(0)=0
[C] f(3)=2 [D] f(5)=－1
A
【解析】 (1)函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则必有f(3－x)=f(x+3),
所以f(0)=f(6),f(1)=f(5),f(2)=f(4).
又因为f(x)满足f(2－x)=2－f(x),取x=1,所以f(1)=2－f(1),f(1)=1,则f(1)=f(5)=1,取x=5,则f(－3)=2－f(5)=1,A正确,D错误;
对于B,C项,条件不足,无法求出f(0)和f(3),故B,C不一定正确.故选A.
ACD
(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 f(x)=f(2a－x) f(a－x)=f(a+x).
(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a+x)+f(a－x)=2b 2b－f(x)=f(2a－x).
解题策略
[针对训练] (1)(2025·四川南充模拟)已知函数f(x)=ex－e－x,则函数
y=f(x－1)+1的图象(　　)
[A] 关于点(1,1)对称
[B] 关于点(－1,1)对称
[C] 关于点(－1,0)对称
[D] 关于点(1,0)对称
A
【解析】 (1)因为f(x)=ex－e－x,所以f(－x)=e－x－ex=－f(x),即f(x)的图象关于原点对称,函数y=f(x－1)+1的图象可由f(x)的图象先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,所以函数y=f(x－1)+1的图象关于点(1,1)对称.故选A.
(2)若函数y=g(x)的图象与y=ln x的图象关于直线x=2对称,则g(x)=　　 　　.
【解析】 (2)在函数y=g(x)的图象上任取一点(x,y),则点(x,y)关于直线x=2对称的点为(4－x,y),且点(4－x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(4－x),
即g(x)=ln(4－x).
ln(4－x)
微点培优2　利用奇函数的性质求值
题型演绎
[典例] (1)已知函数f(x)=ax7+bx3+x2+cx+3,且f(10)=6,则f(－10)=　　　　.
【解析】 (1)由f(x)=ax7+bx3+x2+cx+3,得ax7+bx3+cx=f(x)－x2－3,
构建函数h(x)=ax7+bx3+cx=f(x)－x2－3,定义域为R,
则h(－x)=a(－x)7+b(－x)3+c(－x)=－(ax7+bx3+cx)=－h(x),
即h(x)是奇函数,
于是h(－10)=－h(10),
所以f(－10)－(－10)2－3=－[f(10)－102－3],
可得f(－10)=－f(10)+200+6,又f(10)=6,因此f(－10)=200.
200
4 048
【解析】 (2)令x=y=0,得f(0)=2 024,令y=－x,则f(0)=f(x)+f(－x)－2 024,
所以f(－x)－2 024=－[f(x)－2 024],令h(x)=f(x)－2 024,
所以h(－x)=－h(x),h(x)为奇函数,f(x)=h(x)+2 024.
若函数f(x)为奇函数,且函数g(x)=f(x)+m,
(1)若已知g(a)=M,则g(－a)=2m－M.
(2)若函数g(x)=f(x)+m在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M,N,设区间[a,b]的中点为x0,则M+N=2g(x0)(其中[a,b]关于原点对称).
反思归纳
[拓展演练](1)(2025·福建泉州模拟)已知y=f(x+1)+1为奇函数,则f(－1)+
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)等于(　　)
[A] 6 [B] 5
[C] －6 [D] －5
【解析】 (1)由题意知y=f(x+1)+1为奇函数,则f(－x+1)+1=－f(x+1)－1,
所以f(－x+1)+f(x+1)=－2 f(2－x)+f(x)=－2,
所以f(x)的图象关于(1,－1)对称,所以f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=[f(－1)+f(3)]+
f(1)+[f(0)+f(2)]=－2－1－2=－5.故选D.
D
(2)(2025·安徽淮北模拟)函数f(x)=(x2－6x)sin(x－3)+x+a(x∈[0,6])的最大值为M,最小值为m,若M+m=8,则a=　　　　.
【解析】 (2)f(x)=(x2－6x)sin(x－3)+x+a=[(x－3)2－9]sin(x－3)+(x－3)+a+3,
设x－3=t∈[－3,3],
则y=(t2－9)sin t+t+a+3,
记g(t)=y－(a+3)=(t2－9)sin t+t,因为g(－t)=－(t2－9)sin t－t=－g(t),
所以g(t)是在[－3,3]上的奇函数,最大值为M－(a+3),最小值为m－(a+3),
所以M－(3+a)+m－(3+a)=0,又因为M+m=8,所以a=1.
1
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
奇偶性及应用 1,3,6,7,8,10,12,16
周期性及应用 4,9,13,14
对称性及应用 2,5,11,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　)
基础巩固练
B
2.函数y=f(x)与函数y=2x+1－1的图象关于直线x=2对称,则f(4)的值为(　　)
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
A
【解析】 设g(x)=2x+1－1,因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(4)=g(0)=2－1=1.故选A.
3.(2025·山东济南模拟)设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x－1,则使f(x)>0的x的取值范围是(　　)
[A] {x|x>1}
[B] {x|－1[C] {x|x<－1或x>1}
[D] {x|11}
C
【解析】 因为当x∈(0,+∞)时,f(x)=x－1单调递增,
又因为f(x)为偶函数,
故可以作出f(x)的图象如图所示.
由图象可知,若f(x)>0,则x<－1或x>1.故选C.
4.(2025·河南鹤壁模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+1)=
f(1－x),当0[A] 0 [B] ln 3 [C] 1 [D] ln 2
A
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+1)=f(1－x),
所以f(－x)=－f(x),f(x)=f(2－x),则f(2－x)=－f(－x),即f(2+x)=－f(x),
则f(4+x)=－f(2+x)=－[－f(x)]=f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数,
又因为2 025=4×506+1,当0故选A.
5.已知函数y=f(1－x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m等于(　　)
D
6.(多选题)(2025·云南昆明模拟)函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)－g(x)=x3+x2－1,则(　 　)
[A] f(－1)=－1 [B] g(－1)=－2
[C] f(1)+g(1)=1 [D] f(1)+g(1)=2
AC
【解析】 法一　由f(x)－g(x)=x3+x2－1,
得f(－x)－g(－x)=－x3+x2－1,
又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以－f(x)－g(x)=－x3+x2－1.
法二　因为f(x)－g(x)=x3+x2－1,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
将x=－1代入得f(－1)－g(－1)=－1,
所以－f(1)－g(1)=－1,即f(1)+g(1)=1,故C正确,D错误;
将x=1代入得f(1)－g(1)=1,
又f(1)+g(1)=1,所以f(1)=1,g(1)=0,
所以f(－1)=－1,g(－1)=0,故A正确,B错误.故选AC.
1
当x>0时,－x<0,f(－x)=x3+2x=f(x),
当x<0时,－x>0,f(－x)=－x3－2x=f(x),
所以函数f(x)是R上的偶函数,符合题意,
则a+b=2－1=1.
8.(13分)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=－f(x).
(1)求证:f(x)是周期函数;
(1)【证明】 因为f(x+2)=－f(x),所以f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x),所以f(x)是周期函数,4为函数f(x)的一个周期.
8.(13分)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=－f(x).
综合运用练
9.(2025·广西玉林模拟)已知函数f(2x+5)的周期是3,则f(x)的周期为(　　)
C
【解析】 因为f(2x+5)的周期是3,所以f(2x+5)=f[2(x+3)+5]=f(2x+11),
令2x=y,则f(y+5)=f(y+11),所以f(x)的周期为6.故选C.
B
10.(2025·江苏靖江模拟)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,
y=f(x)－3ex是奇函数,则f(x)的最小值为(　　)
【解析】 因为函数y=f(x)+ex为偶函数,
则f(－x)+e－x=f(x)+ex,
即f(x)－f(－x)=e－x－ex,①
11.(2025·安徽淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)·(x2+ax+b)满足:对 x∈R,都有f(1+x)=f(1－x),则a+b为(　　)
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
C
2
13.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当－3≤x<－1时,f(x)=－(x+2)2,当－1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=　　　　.
【解析】 因为f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期T=6,于是f(1)=1,f(2)=2,
f(3)=f(－3)=－(－3+2)2=－1,f(4)=f(－2)=－(－2+2)2=0,f(5)=f(－1)=－1,
f(6)=f(0)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,而2 024=6×337+2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=337×1+1+2=340.
340
[A] 2 [B] 14 [C] 18 [D] 25
应用创新练
C
16.(多选题)(2025·河南郑州模拟)已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常数函数,F(x)=f(1－x)－1,g(x)=f(x+1)－1,若g(x)是奇函数,则(　 　)
[A] y=f(x)的图象关于点(1,1)对称
[B] f(x)=f(x+4)
[C] F(x)是奇函数
[D] F(x)与g(x)的图象关于原点对称
ABC
【解析】 因为g(x)是奇函数,所以g(x)+g(－x)=0,即f(x+1)－1+f(－x+1)－1=0,整理得f(x+1)+f(－x+1)=2,所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称,故A正确;
因为f(x)为偶函数,所以f(x)+f(x－2)=f(x)+f(2－x)=2,所以f(x－2)+f(x－4)=2,
f(x)=f(x－4),所以f(x)=f(x+4),故B正确;F(x)+F(－x)=f(1－x)－1+f(1+x)－1=0,故C正确;因为F(－x)=g(x),所以F(x)与g(x)的图象关于y轴对称,不关于原点对称,故D错误.故选ABC.

展开更多......

收起↑