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第二课时　函数性质的综合应用
考点一　函数的单调性与奇偶性
[例1] (1)(2025·山西朔州模拟)设函数f(x)=log2|x|－x－2,则不等式f(x－2)≥f(2x+2)的解集为(　　)
[A] [－4,0]
[B] [－4,0)
[C] [－4,－1)∪(－1,0]
[D] [－4,－1)∪(－1,0)
(2)(2025·广东珠海模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0,记a=f(1),b=,c=,则(　　)
[A] c[C] c(1)解抽象函数不等式,一般利用奇偶性先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),然后利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
[针对训练](1)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(－∞,0)时,f(x)单调递增,则f(－π),f(2),f(3)的大小关系是(　　)
[A] f(－π)>f(2)>f(3)
[B] f(－π)>f(3)>f(2)
[C] f(－π)[D] f(－π)(2)(2025·河南许昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为(　　)
[A] (0,)
[B] (2,+∞)
[C] (,1)∪(2,+∞)
[D] (0,)∪(2,+∞)
考点二　函数的奇偶性与周期性
[例2] (1)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)=－f(x+),f(0)=－2,且f(x－)为奇函数,则(　　)
[A] f(x)为奇函数
[B] f(x)为偶函数
[C] f(x)是一个周期为3的周期函数
[D] f(2 025)=－2
(2)(2025·浙江湖州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)+f(x－1)=2,f(x+2)为偶函数,若f(0)=0,f(k)=111,则n的值为(　　)
[A] 107 [B] 118 [C] 109 [D] 110
函数图象的对称与周期关系常见结论
(1)若函数y=f(x)图象的两条对称轴方程分别为 x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a－b|.
(2)若函数y=f(x)图象的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a－b|.
(3)若函数y=f(x)图象的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a－b|.
(4)若f(ax+b)为偶函数,则函数图象关于直线x=b对称,若f(ax+b)为奇函数,则函数图象关于点(b,0)对称.
[针对训练](1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)=－f(x),且当1≤x≤2时,f(x)=x－1,则f()的值等于(　　)
[A] [B] [C] [D] －
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+)为偶函数且f(1)=2,则f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)等于(　　)
[A] －2 [B] 0 [C] 2 [D] 4
考点三　函数的奇偶性、周期性与对称性
[例3] (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且满足f(x+3)=f(1－x),则下列结论正确的是(　　)
[A] 函数f(x+1)是奇函数
[B] 函数f(x)的图象关于y轴对称
[C] 函数f(x)是周期为2的周期函数
[D] 若函数g(x)满足g(x)+f(x+3)=2,则g(k)=4 048
解决此类问题的难点在于推出函数的周期并能应用,事实上,对于函数的对称轴、对称中心和周期,知道其中两个即可推得第三个.
[针对训练](多选题)(2025·广东东莞模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x－)=f(x+)恒成立.当x∈[2,3]时,f(x)=x.则下列四个命题中正确的是(　　)
[A] f(x)的周期是2k(k≠0,k∈Z)
[B] f(x)的图象关于点(1,0)对称
[C] 当x∈[－3,－2]时,f(x)=－x
[D] 当x∈[－2,0]时,f(x)=3－|x+1|
微点培优3　抽象函数
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x) 具有的性质 特殊函数模型
f(x+y)=f(x)+f(y) 正比例函数 f(x)=kx(k≠0)
f(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=x2
f(x+y)=f(x)f(y) f(x－y)=f(x)÷f(y) 指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y) f()=f(x)－f(y) 对数函数 f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y) 正弦函数f(x)=sin x
f(x±y)=f(x)f(y) g(x)g(y) 余弦函数f(x)=cos x
f(x±y)= 正切函数f(x)=tan x
类型一　抽象函数求值
[典例1](多选题)(2025·湖南长沙模拟)已知不恒为0的函数f(x),满足 x,y∈R都有f(x)+f(y)=2f()·f(),则(　　)
[A] f(0)=0 [B] f(0)=1
[C] f(x)为奇函数 [D] f(x)为偶函数
抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=…,－2,－1,0,1,2…等特殊值求抽象函数的函数值.
[拓展演练1](2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R, a,b∈R,均满足f(a+b)=
f(a)+f(b)－ab.若f(－1)=3,则f(3)等于(　　)
[A] 0 [B] －9 [C] －12 [D] －15
类型二　抽象函数的性质
[典例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足条件:①f(x)的周期为2,②f(x－2)为奇函数,③当x∈[0,1)时,>0(x1≠x2)恒成立.则f(－),f(4),f()的大小关系为(　　)
[A] f()>f(4)>f(－)
[B] f(4)>f()>f(－)
[C] f(－)>f(4)>f()
[D] f(－)>f()>f(4)
(2)(多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(－1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1－x),且图象关于点(2,0)对称,则下列结论正确的是(　　)
[A] f(0)=f(2)
[B] f(x)的周期T=2
[C] f(x)在(1,2]上单调递减
[D] f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)
抽象函数中的小技巧
(1)很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的,在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质.
(2)解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用,通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.
(3)抽象函数性质的证明是一种代数推理,和几何推理一样,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可漏掉一些条件,更不要造条件,推理过程要层次分明,书写规范.
[拓展演练2](1)(多选题)(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=
f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3,则(　　)
[A] f(1)=1
[B] 函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
[C] 函数f(x)是奇函数
[D] 函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x－1
(2)已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(x+6)+f(3),若y=f(x+2)的图象关于直线x=－2对称,且对于 x1,x2∈[0,3],当x1≠x2时,(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,则(　　)
[A] f(2)=0
[B] f(x)是奇函数
[C] f(x)是周期为4的周期函数
[D] f(2 023)>f(2 024)
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
单调性与奇偶性 1,4,7,10,12
奇偶性与周期性 3,5,16
奇偶性、周期性、对称性 2,11,13,15
抽象函数的性质 6,8,9,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·北京模拟)下列函数中,是奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　)
[A] f(x)= [B] f(x)=－x3
[C] f(x)=tan x [D] f(x)=lo|x|
2.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2－x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则函数f(x)(　　)
[A] 在区间[0,1]上单调递增,在区间[－2,－1]上单调递减
[B] 在区间[0,1]上单调递增,在区间[－2,－1]上单调递增
[C] 在区间[0,1]上单调递减,在区间[－2,－1]上单调递减
[D] 在区间[0,1]上单调递减,在区间[－2,－1]上单调递增
3.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(4－x)=f(x),f(－3)=－1,则f(15)等于(　　)
[A] 0 [B] －1 [C] 2 [D] 1
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x,则不等式x[|f(x)|－3]>0的解集是(　　)
[A] (－∞,－1)∪(0,1)
[B] (－∞,－1)∪(1,+∞)
[C] (－1,0)∪(1,+∞)
[D] (－1,0)∪(0,1)
5.(2025·广东汕头模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=－f(x),g(x)=f(x)－2为奇函数,则f(198)等于(　　)
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
6.(2025·福建泉州调研)已知函数y=f(x)对任意实数x都有f(x+6)+f(x)=2f(3)且f(1－x)+
f(x－1)=0,则f(2 025)等于(　　)
[A] －3 [B] 0 [C] 3 [D] 6
7.(5分)(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2－x),且f(x)在(－∞,2]上单调递减,则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为　　　　.
8.(14分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x－1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
9.(2025·浙江温州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且满足[f(x)]2－[f(y)]2=f(x+y)f(x－y),
f(1)=1,f(3)=－1,则下列结论错误的是(　　)
[A] f(2)=0 [B] f(4)=2
[C] f(x)是奇函数 [D] f(x+4)=f(x)
10.(多选题)(2025·安徽安庆模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(－∞,0]上单调递减,则(　　)
[A] f(f(1))[B] f(g(1))[C] g(f(1))[D] g(g(1))11.(2025·四川遂宁模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x)的图象是连续不断的且y=f(x+2)为偶函数.若 x1,x2∈[2,4]有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,则下面结论正确的是(　　)
[A] f(65.5)[B] f(－24.5)[C] f(65.5)[D] f(－24.5)12.(5分)(2025·浙江杭州模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R,恒有f(x+1)=f(x－1),当x∈[0,1]时,f(x)=2x－1,且a=f(),b=f(0.5－3),c=f(0.76),则a,b,c的大小关系为　　　　　　　　.(用“<”连接)
13.(5分)(2025·宁夏银川模拟)已知偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,f(2)=2,且对任意x1,x2∈[0,1],均有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立,f(7)+f()+f()+…+f()14.(15分)已知函数f(x)定义在(－1,1)上且满足下列两个条件:①对任意x,y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f();②当x,y∈(－1,1)时,有>0.
(1)证明函数f(x)是奇函数;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若f()=1,试求函数G(x)=f(x)+的零点.
15.(2025·福建三明模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),当1≤x<2时,f(x)=x－2.若y=x－与f(x)的图象交于点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n∈N*),则(xi+yi)等于(　　)
[A] 6 [B] 8 [C] 10 [D] 14
16.(2025·云南昆明模拟)定义“函数y=f(x)是D上的a级类周期函数”如下:函数y=f(x),x∈D,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域D内的任意实数x都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的周期.若y=f(x)是[1,+∞)上的a级类周期函数,且T=1,当x∈[1,2)时,
f(x)=2x+1,且y=f(x)是[1,+∞)上的增函数,则实数a的取值范围为(　　)
[A] [,+∞) [B] [2,+∞)
[C] [,+∞) [D] [10,+∞)
第二课时　函数性质的综合应用（解析版）
考点一　函数的单调性与奇偶性
[例1] (1)(2025·山西朔州模拟)设函数f(x)=log2|x|－x－2,则不等式f(x－2)≥f(2x+2)的解集为(　　)
[A] [－4,0]
[B] [－4,0)
[C] [－4,－1)∪(－1,0]
[D] [－4,－1)∪(－1,0)
(2)(2025·广东珠海模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0,记a=f(1),b=,c=,则(　　)
[A] c[C] c【答案】 (1)C　(2)B
【解析】 (1)函数f(x)=log2|x|－x－2的定义域为{x|x≠0},
且f(－x)=log2|－x|－(－x)－2=log2|x|－x－2=f(x),所以f(x)=log2|x|－x－2为偶函数,
当x>0时,f(x)=log2x－x－2,因为y=log2x与y=－x－2在(0,+∞)上都单调递增,
所以f(x)=log2x－x－2在(0,+∞)上单调递增,
不等式f(x－2)≥f(2x+2),即f(|x－2|)≥f(|2x+2|),等价于
解得－4≤x<－1或－1(2)对任意两个不相等的正数x1,x2,不妨设x1>x2,因为>0,则x2f(x1)－x1f(x2)>0,所以=>0,即>,令g(x)=,则函数g(x)=在(0,+∞)上单调递增,则g(1)故选B.
(1)解抽象函数不等式,一般利用奇偶性先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),然后利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
[针对训练](1)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(－∞,0)时,f(x)单调递增,则f(－π),f(2),f(3)的大小关系是(　　)
[A] f(－π)>f(2)>f(3)
[B] f(－π)>f(3)>f(2)
[C] f(－π)[D] f(－π)(2)(2025·河南许昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为(　　)
[A] (0,)
[B] (2,+∞)
[C] (,1)∪(2,+∞)
[D] (0,)∪(2,+∞)
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)因为函数f(x)是偶函数且图象在(－∞,0)上单调递增,故函数f(x)的图象在(0,+∞)上单调递减,
所以f(－π)=f(π)(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(log2x)>0 f(|log2x|)>f(1),即有|log2x|>1,所以log2x>1或log2x<－1,解得x>2或0考点二　函数的奇偶性与周期性
[例2] (1)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)=－f(x+),f(0)=－2,且f(x－)为奇函数,则(　　)
[A] f(x)为奇函数
[B] f(x)为偶函数
[C] f(x)是一个周期为3的周期函数
[D] f(2 025)=－2
(2)(2025·浙江湖州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)+f(x－1)=2,f(x+2)为偶函数,若f(0)=0,f(k)=111,则n的值为(　　)
[A] 107 [B] 118 [C] 109 [D] 110
【答案】 (1)BCD　(2)D
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为R,且f(0)=－2,则f(x)不可能是奇函数,故A错误;
定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)=－f(x+),变形可得f(x)=－f(x－),而f(x－)为奇函数,则f(－x－)=－f(x－),则f(－x)=－f(x－),则有f(－x)=f(x),即函数f(x)为偶函数,故B正确;
已知函数f(x)满足f(x－1)=－f(x+),即f(x)=－f(x+),则有f(x+3)=－f(x+)=f(x),即函数f(x)是一个周期为3的周期函数,故C正确;
f(x)是偶函数且周期为3,则f(2 025)=f(0)=－2,故D正确.故选BCD.
(2)对任意的x∈R,由f(x+1)+f(x－1)=2可得f(x+3)+f(x+1)=2,所以f(x+3)=f(x－1),则f(x)=f(x+4),所以函数f(x)为周期函数,且周期为4,因为f(x+2)为偶函数,所以f(2－x)=f(2+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(1)=f(3),因为f(1)+f(3)=2,则f(1)=f(3)=1,因为f(0)+f(2)=2且f(0)=0,则f(2)=2,所以f(1)+f(2)=3,因为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,且111=4×27+3,所以f(k)=27×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=111,故n=4×27+2=110.故选D.
函数图象的对称与周期关系常见结论
(1)若函数y=f(x)图象的两条对称轴方程分别为 x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a－b|.
(2)若函数y=f(x)图象的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a－b|.
(3)若函数y=f(x)图象的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a－b|.
(4)若f(ax+b)为偶函数,则函数图象关于直线x=b对称,若f(ax+b)为奇函数,则函数图象关于点(b,0)对称.
[针对训练](1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)=－f(x),且当1≤x≤2时,f(x)=x－1,则f()的值等于(　　)
[A] [B] [C] [D] －
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+)为偶函数且f(1)=2,则f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)等于(　　)
[A] －2 [B] 0 [C] 2 [D] 4
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)因为函数f(x)是偶函数,所以f(－x)=f(x),又因为f(2－x)=－f(x),所以f(2－x)=－f(－x),所以f(x+2)=－f(x),所以f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x),所以函数f(x)的周期为4.当x∈[0,1]时,2－x∈[1,2],f(2－x)=2－x－1=－x+1=－f(x),故当x∈[0,1]时,f(x)=x－1,所以f()=f(－)=f()=－1=－.故选D.
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(－x)=－f(x),且f(0)=0.又f(x+)为偶函数,
则f(－x+)=f(x+),则f(x+3)=f(－x),故f(x+3)=－f(x),则有f(x+6)=－f(x+3)=f(x),所以f(x)是以6为周期的周期函数.对于f(－x+)=f(x+),令x=－,得f(2)=f(1)=2,f(2 022)=f(6×337)=f(0)=0,
f(2 023)=f(6×337+1)=f(1)=2,f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=2,所以f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)=4.故选D.
考点三　函数的奇偶性、周期性与对称性
[例3] (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且满足f(x+3)=f(1－x),则下列结论正确的是(　　)
[A] 函数f(x+1)是奇函数
[B] 函数f(x)的图象关于y轴对称
[C] 函数f(x)是周期为2的周期函数
[D] 若函数g(x)满足g(x)+f(x+3)=2,则g(k)=4 048
【答案】 ABD
【解析】 因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x+1)=－f(1－x),所以函数f(x+1)是奇函数,故A正确;因为f(x+1)=－f(1－x),所以f(x+2)=－f(－x),又f(x+3)=f(1－x),所以f(x+3)=－f(x+1),所以f(x+2)=－f(x),所以f(－x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故B正确;因为f(x+4)=－f(x+2)=f(x),故C错误;因为f(x+2)=－f(x),所以f(1)+f(3)=0,f(0)+f(2)=0,因为g(x)+f(x+3)=2,所以g(0)+g(1)+g(2)+g(3)=2－f(3)+2－f(4)+2－f(5)+2－f(6)=8－[f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]=8－[f(3)+f(0)+f(1)+f(2)]=8,所以g(k)=506×[g(0)+g(1)+g(2)+g(3)]=4 048,故D正确.故选ABD.
解决此类问题的难点在于推出函数的周期并能应用,事实上,对于函数的对称轴、对称中心和周期,知道其中两个即可推得第三个.
[针对训练](多选题)(2025·广东东莞模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x－)=f(x+)恒成立.当x∈[2,3]时,f(x)=x.则下列四个命题中正确的是(　　)
[A] f(x)的周期是2k(k≠0,k∈Z)
[B] f(x)的图象关于点(1,0)对称
[C] 当x∈[－3,－2]时,f(x)=－x
[D] 当x∈[－2,0]时,f(x)=3－|x+1|
【答案】 ACD
【解析】 由f(x－)=f(x+)得f(x)=f(x+2),即f(x)是周期为2的周期函数,则f(x)的周期是2k(k≠0,k∈Z),故A正确;因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(x+2)=f(－x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故B错误;当x∈[－3,－2]时,－x∈[2,3],则f(－x)=－x=f(x),即此时f(x)=
－x,x∈[－3,－2],故C正确;当x∈[0,1]时,x+2∈[2,3],f(x)=f(x+2)=x+2,x∈[0,1],因为函数
f(x)是偶函数,所以当x∈[－1,0]时,f(x)=f(－x)=－x+2,当x∈[－2,－1]时,x+2∈[0,1],此时f(x)=f(x+2)=x+2+2=x+4,当x∈[－2,0]时,f(x)=当x∈[－2,－1)时,
f(x)=3－|x+1|=3+x+1=x+4,当x∈[－1,0]时,f(x)=3－|x+1|=3－x－1=2－x,故D正确.
故选ACD.
微点培优3　抽象函数
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x) 具有的性质 特殊函数模型
f(x+y)=f(x)+f(y) 正比例函数 f(x)=kx(k≠0)
f(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=x2
f(x+y)=f(x)f(y) f(x－y)=f(x)÷f(y) 指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y) f()=f(x)－f(y) 对数函数 f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y) 正弦函数f(x)=sin x
f(x±y)=f(x)f(y) g(x)g(y) 余弦函数f(x)=cos x
f(x±y)= 正切函数f(x)=tan x
类型一　抽象函数求值
[典例1](多选题)(2025·湖南长沙模拟)已知不恒为0的函数f(x),满足 x,y∈R都有f(x)+f(y)=2f()·f(),则(　　)
[A] f(0)=0 [B] f(0)=1
[C] f(x)为奇函数 [D] f(x)为偶函数
【答案】 BD
【解析】 令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),所以f(0)=0或1,令y=x,则f(x)+f(x)=2f(x)·f(0),
若f(0)=0,则f(x)=0,与f(x)不恒为0矛盾,所以f(0)=1,所以B正确,A错误;令y=－x,则f(x)+
f(－x)=2f(0)·f(x)=2f(x),所以f(x)=f(－x),所以f(x)为偶函数,所以D正确,C错误.故选BD.
抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=…,－2,－1,0,1,2…等特殊值求抽象函数的函数值.
[拓展演练1](2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R, a,b∈R,均满足f(a+b)=
f(a)+f(b)－ab.若f(－1)=3,则f(3)等于(　　)
[A] 0 [B] －9 [C] －12 [D] －15
【答案】 D
【解析】 令a=b=0,得f(0)=2f(0),所以f(0)=0;令a=1,b=－1,得f(0)=f(1)+f(－1)+1=0,
又f(－1)=3,所以f(1)=－4;令a=b=1,得f(2)=f(1)+f(1)－1=－9;令a=1,b=2,
得f(3)=f(1)+f(2)－2=－15.故选D.
类型二　抽象函数的性质
[典例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足条件:①f(x)的周期为2,②f(x－2)为奇函数,③当x∈[0,1)时,>0(x1≠x2)恒成立.则f(－),f(4),f()的大小关系为(　　)
[A] f()>f(4)>f(－)
[B] f(4)>f()>f(－)
[C] f(－)>f(4)>f()
[D] f(－)>f()>f(4)
(2)(多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(－1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1－x),且图象关于点(2,0)对称,则下列结论正确的是(　　)
[A] f(0)=f(2)
[B] f(x)的周期T=2
[C] f(x)在(1,2]上单调递减
[D] f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)
【答案】 (1)C　(2)AC
【解析】 (1)因为f(x－2)为奇函数,f(x)的周期为2,所以f(x)为奇函数,因为当x∈[0,1)时,
>0,所以f(x)在[0,1)上单调递增,因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(－1,0)上单调递增,所以f(x)在(－1,1)上单调递增,因为f(－)=f(－+2×4)=f(),f(4)=f(4－2×2)=f(0),
f()=f(－2×3)=f(－),所以f()>f(0)>f(－),即f(－)>f(4)>f().故选C.
(2)由f(1+x)=f(1－x)知,f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(0)=f(2),故A正确;
由f(1+x)=f(1－x)知,f(2+x)=f(－x),又图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=－f(2－x),故f(4+x)=
－f(－x),所以－f(2+x)=f(4+x),即－f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),f(x)的周期为4,故B错误;
因为f(x)在(－1,0]上单调递增,且T=4,所以f(x)在(3,4]上单调递增,又图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增,因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,故C正确;
根据f(x)的周期为4,可得f(2 021)=f(1),f(2 022)=f(2),f(2 023)=f(－1),因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0),由C选项的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(－1,0]上单调递增,确定的单调区间内均不包含x=±1,若f(－1)=f(1)=0,则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立,故D错误.故选AC.
抽象函数中的小技巧
(1)很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的,在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质.
(2)解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用,通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.
(3)抽象函数性质的证明是一种代数推理,和几何推理一样,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可漏掉一些条件,更不要造条件,推理过程要层次分明,书写规范.
[拓展演练2](1)(多选题)(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=
f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3,则(　　)
[A] f(1)=1
[B] 函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
[C] 函数f(x)是奇函数
[D] 函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x－1
(2)已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(x+6)+f(3),若y=f(x+2)的图象关于直线x=－2对称,且对于 x1,x2∈[0,3],当x1≠x2时,(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,则(　　)
[A] f(2)=0
[B] f(x)是奇函数
[C] f(x)是周期为4的周期函数
[D] f(2 023)>f(2 024)
【答案】 (1)ABD　(2)D
【解析】 (1)A中,因为f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=3,
令x=y=1,则f(2)=[f(1)]2+2f(1)=3,解得f(1)=1,A正确.
B中,任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则f(x2)=f[x1+(x2－x1)]=f(x1)f(x2－x1)+f(x1)+f(x2－x1),因为当x>0时,f(x)>0,所以f(x2－x1)>0,f(x1)>0,所以f(x1)f(x2－x1)+f(x1)+f(x2－x1)>f(x1),即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,B正确.
C中,令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2+2f(0),解得f(0)=0或f(0)=－1.当f(0)=0,且x>0时,令y=－x,则0=f(x)f(－x)+f(x)+f(－x),若f(x)为奇函数,则f(－x)=－f(x),即0=－[f(x)]2+f(x)－f(x),解得f(x)=0,与题意矛盾;当f(0)=－1时,f(x)不为奇函数.综上所述,函数f(x)不是奇函数,C错误.
D中,当f(x)=2x－1,则f(x+y)=2x+y－1,f(x)f(y)+f(x)+f(y)=(2x－1)(2y－1)+(2x－1)+(2y－1)=
2x+y－2x－2y+1+2x－1+2y－1=2x+y－1,所以f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),易得f(x)=2x－1在R上单调递增,所以x>0时,f(x)=2x－1>20－1=0,f(2)=22－1=3,
故函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x－1,D正确.故选ABD.
(2)由y=f(x+2)的图象关于直线x=－2对称,知f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)是偶函数,所以B错误;
在f(x)=f(x+6)+f(3)中,令x=－3得f(－3)=f(3)+f(3)=2f(3),又f(－3)=f(3),所以f(3)=0,
所以f(x)=f(x+6),知f(x)是周期为6的周期函数,所以C错误;
对于 x1,x2∈[0,3],当x1≠x2时,(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,故f(x)在[0,3]上单调递减,
所以f(2)>f(3)=0,所以A错误;
对于D,f(2 023)=f(6×337+1)=f(1),f(2 024)=f(6×337+2)=f(2),由f(x)在[0,3]上单调递减,
得f(1)>f(2),即f(2 023)>f(2 024),D正确.故选D.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
单调性与奇偶性 1,4,7,10,12
奇偶性与周期性 3,5,16
奇偶性、周期性、对称性 2,11,13,15
抽象函数的性质 6,8,9,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·北京模拟)下列函数中,是奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　)
[A] f(x)= [B] f(x)=－x3
[C] f(x)=tan x [D] f(x)=lo|x|
【答案】 B
【解析】 对于A,因为f(－x)==≠－f(x),所以f(x)不是奇函数,故A错误;对于B,因为f(x)的定义域为R,又f(－x)=－(－x)3=x3=－f(x),所以f(x)是奇函数,又f′(x)=－3x2<0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,故B正确;
对于C,由正切函数的定义域可得函数f(x)=tan x在(0,+∞)上不连续,所以f(x)在区间(0,+∞)上不单调,故C错误;对于D,因为f(－x)=lo|－x|=lo|x|≠－f(x),所以f(x)不是奇函数,故D错误.故选B.
2.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2－x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则函数f(x)(　　)
[A] 在区间[0,1]上单调递增,在区间[－2,－1]上单调递减
[B] 在区间[0,1]上单调递增,在区间[－2,－1]上单调递增
[C] 在区间[0,1]上单调递减,在区间[－2,－1]上单调递减
[D] 在区间[0,1]上单调递减,在区间[－2,－1]上单调递增
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=f(2－x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增,又因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(－x),所以f(2－x)=
f(－x),所以f(x)是周期为2的函数,所以f(x)在区间[－2,－1]上也单调递增.故选B.
3.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(4－x)=f(x),f(－3)=－1,则f(15)等于(　　)
[A] 0 [B] －1 [C] 2 [D] 1
【答案】 B
【解析】 因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(4－x)=f(x),所以f(4+x)=f(－x)=－f(x),所以f(4+4+x)=f(8+x)=－f(4+x)=f(x),则函数y=f(x)是周期为8的周期函数,则f(15)=
f(15－8)=f(7),令x=－3,则f(4+3)=f(－3)=－1,所以f(15)=－1.故选B.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x,则不等式x[|f(x)|－3]>0的解集是(　　)
[A] (－∞,－1)∪(0,1)
[B] (－∞,－1)∪(1,+∞)
[C] (－1,0)∪(1,+∞)
[D] (－1,0)∪(0,1)
【答案】 C
【解析】 由题意可知在(0,+∞)上f(x)单调递增,f(1)=3,且f(x)>0,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,则有f(x)在(－∞,0]上单调递增,则f(x)是定义在R上的增函数,|f(±1)|=3,则不等式x[|f(x)|－3]>0等价于或解得x>1或－15.(2025·广东汕头模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=－f(x),g(x)=f(x)－2为奇函数,则f(198)等于(　　)
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
【答案】 C
【解析】 因为f(x+3)=－f(x),所以f(x+6)=－f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为6,又g(x)=f(x)－2为奇函数,所以f(x)－2+f(－x)－2=0,所以f(x)+f(－x)=4,令x=0,得2f(0)=4,所以f(0)=2,所以f(198)=f(0+6×33)=f(0)=2.故选C.
6.(2025·福建泉州调研)已知函数y=f(x)对任意实数x都有f(x+6)+f(x)=2f(3)且f(1－x)+
f(x－1)=0,则f(2 025)等于(　　)
[A] －3 [B] 0 [C] 3 [D] 6
【答案】 B
【解析】 因为函数y=f(x)对任意实数x都有f(1－x)+f(x－1)=0,即f(1－x)=－f(x－1),
即f(－x)=－f(x),所以函数f(x)是奇函数.又f(x+6)+f(x)=2f(3),令x=－3,得f(3)+f(－3)=2f(3),即f(3)－f(3)=2f(3),所以f(3)=0,则f(x+6)+f(x)=2f(3)=0,即f(x+6)=－f(x),所以f(x+12)=
－f(x+6)=－[－f(x)]=f(x),即12为函数y=f(x)的周期,所以f(2 025)=f(12×168+9)=f(9)=
－f(3)=0.故选B.
7.(5分)(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2－x),且f(x)在(－∞,2]上单调递减,则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为　　　　.
【答案】 [－1,0]
【解析】 因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2－x),则f(x)关于直线x=2对称,又因为f(x)在(－∞,2]上单调递减,则f(x)在[2,+∞)上单调递增,则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3－2|≤|1－2|,即|2x+1|≤1,解得－1≤x≤0,则解集为[－1,0].
8.(14分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x－1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
【解】 (1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数.
证明如下:
令x1=x2=－1,
有f(1)=f(－1)+f(－1),
所以f(－1)=f(1)=0.
令x1=－1,x2=x,
有f(－x)=f(－1)+f(x),
所以f(－x)=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(3)依题意有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函数,
所以f(x－1)<2 f(|x－1|)又f(x)在(0,+∞)上是增函数.
所以0<|x－1|<16,
解得－15所以x的取值范围是{x|－159.(2025·浙江温州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且满足[f(x)]2－[f(y)]2=f(x+y)f(x－y),
f(1)=1,f(3)=－1,则下列结论错误的是(　　)
[A] f(2)=0 [B] f(4)=2
[C] f(x)是奇函数 [D] f(x+4)=f(x)
【答案】 B
【解析】 令x=2,y=1,则[f(2)]2－[f(1)]2=f(3)f(1),解得f(2)=0,故A正确;
令x=1,y=0,则[f(1)]2－[f(0)]2=f(1)f(1),解得f(0)=0.
令x=0,则－[f(y)]2=f(y)f(－y),
即f(y)[f(y)+f(－y)]=0,
因为f(y)不恒为0,所以f(y)+f(－y)=0,且定义域为R,故函数f(x)为奇函数,故C正确;
令y=x－2,则[f(x)]2－[f(x－2)]2=f(2x－2)·f(2)=0,因为f(x)不恒为0,且f(3)≠f(1),
所以只能f(x)=－f(x－2),从而f(x+4)=－f(x+2)=f(x),周期为4,
显然f(4)=f(0)=0,故B错误,D正确.
故选B.
10.(多选题)(2025·安徽安庆模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(－∞,0]上单调递减,则(　　)
[A] f(f(1))[B] f(g(1))[C] g(f(1))[D] g(g(1))【答案】 BD
【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且两函数在(－∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)在[0,+∞)上单调递减,g(x)在R上单调递减,所以f(1)g(1)>g(2),所以f(g(1))g(f(2)),g(g(1))|f(2)|,则f(f(1))>f(f(2)),故A不一定正确.故选BD.
11.(2025·四川遂宁模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x)的图象是连续不断的且y=f(x+2)为偶函数.若 x1,x2∈[2,4]有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,则下面结论正确的是(　　)
[A] f(65.5)[B] f(－24.5)[C] f(65.5)[D] f(－24.5)【答案】 D
【解析】 因为y=f(x+2)为偶函数,所以f(－x+2)=f(x+2)且f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)为周期函数,T=8,因为 x1,x2∈[2,4]有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0,所以f(x)在[2,4]上单调递减,所以由f(x)的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如图所示,
因为f(－24.5)=f(－0.5),f(83.5)=f(3.5),f(65.5)=f(1.5),所以f(－24.5)12.(5分)(2025·浙江杭州模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R,恒有f(x+1)=f(x－1),当x∈[0,1]时,f(x)=2x－1,且a=f(),b=f(0.5－3),c=f(0.76),则a,b,c的大小关系为　　　　　　　　.(用“<”连接)
【答案】 b【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且恒有f(x+1)=f(x－1),所以f(x)=f(－x),
f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2.又a=f()=f(－)=f(),b=f(0.5－3)=f(8)=f(0),
0.76=0.493<0.53<0.5,则0<0.76<,因为f(x)=2x－1在[0,1]上单调递增,所以b13.(5分)(2025·宁夏银川模拟)已知偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,f(2)=2,且对任意x1,x2∈[0,1],均有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立,f(7)+f()+f()+…+f()【答案】 5
【解析】 因为函数f(x)的图象关于直线x=0和x=2对称,所以f(x)=f(4－x)=f(x－4),所以其周期T=4,在f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=x2=1得,f(2)=2f(1),又f(2)=2,解得f(1)=1,同理可得f()=,f()=,所以f(7)=f(3)=f(1)=1,f()=f()=,f()=f(1+)=f(1)+f(+)=f(1)+f()+f()=,
f()=f()+f()=,解得f()=,依此类推,可得当n≥2时,f()=,
所以f(7)+f()+f()+…+f()=1++=5－,又f(7)+f()+f()+…+f()14.(15分)已知函数f(x)定义在(－1,1)上且满足下列两个条件:①对任意x,y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f();②当x,y∈(－1,1)时,有>0.
(1)证明函数f(x)是奇函数;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若f()=1,试求函数G(x)=f(x)+的零点.
(1)【证明】 由题意,函数f(x)的定义域为(－1,1),关于原点对称,又由对任意x,y∈(－1,1),
都有f(x)+f(y)=f(),
令x=y=0,可得2f(0)=f(0),解得f(0)=0,
再令y=－x,
可得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),所以函数f(x)是奇函数.
(2)【解】 函数f(x)在(－1,1)上单调递增,证明如下:设1>x2>x1>－1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+
f(－x1)=(x2－x1),
因为－1<－x1<1,由条件知>0,而x2－x1>0,所以f(x2)－f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
所以函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
(3)【解】 由(1)知函数为奇函数,因为f()=1,则f(－)=－1,因为G(x)=f(x)+=0,即2f(x)=
－1,则2f(x)=f(x)+f(x)=f()=－1=f(－),因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增,所以=－,
即x2+4x+1=0,解得x=－2±,又因为x∈(－1,1),所以x=－2,即G(x)的零点为－2.
15.(2025·福建三明模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),当1≤x<2时,f(x)=x－2.若y=x－与f(x)的图象交于点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n∈N*),则(xi+yi)等于(　　)
[A] 6 [B] 8 [C] 10 [D] 14
【答案】 D
【解析】 因为f(x)为奇函数,所以f(x+2)=－f(x)=f(－x),所以直线x=1是f(x)图象的一条对称轴.又由f(x+2)=－f(x),得到f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.作出f(x)的图象,如图所示.
由图象可知,点(2,0)是f(x)图象的一个对称中心,直线y=x－也关于点(2,0)对称,且当x≥8时,y=x－≥1,当x≤－4时,y=x－≤－1,所以直线y=x－与y=f(x)的图象有7个公共点,则由对称性可得,x1+x2+…+x7=2+4×3=14,y1+y2+y3+…+y7=0,因此(xi+yi)=14.故选D.
16.(2025·云南昆明模拟)定义“函数y=f(x)是D上的a级类周期函数”如下:函数y=f(x),x∈D,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域D内的任意实数x都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的周期.若y=f(x)是[1,+∞)上的a级类周期函数,且T=1,当x∈[1,2)时,
f(x)=2x+1,且y=f(x)是[1,+∞)上的增函数,则实数a的取值范围为(　　)
[A] [,+∞) [B] [2,+∞)
[C] [,+∞) [D] [10,+∞)
【答案】 C
【解析】 因为当x∈[1,2)时,f(x)=2x+1,所以当x∈[2,3)时,f(x)=af(x－1)=a(2x－1);
当x∈[n,n+1)时,f(x)=af(x－1)=a2f(x－2)=…=an－1f(x－n+1)=an－1·(2x－2n+3),即当x∈[n,n+1)时,f(x)=an－1·(2x－2n+3),n∈N*,因为f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以a>0且an－1·(2n－2n+3)≥an－2·(2n－2n+5),解得a≥,所以实数a的取值范围是[,+∞).故选C.
(
第
16
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)(共79张PPT)
第二课时　函数性质的
综合应用
考点一　函数的单调性与奇偶性
[例1] (1)(2025·山西朔州模拟)设函数f(x)=log2|x|－x－2,则不等式f(x－2)≥
f(2x+2)的解集为(　　)
[A] [－4,0]
[B] [－4,0)
[C] [－4,－1)∪(－1,0]
[D] [－4,－1)∪(－1,0)
C
[A] c[C] cB
(1)解抽象函数不等式,一般利用奇偶性先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),然后利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
解题策略
[针对训练](1)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(－∞,0)时,f(x)单调递增,则f(－π),f(2),f(3)的大小关系是(　　)
[A] f(－π)>f(2)>f(3)
[B] f(－π)>f(3)>f(2)
[C] f(－π)[D] f(－π)D
【解析】 (1)因为函数f(x)是偶函数且图象在(－∞,0)上单调递增,故函数f(x)的图象在(0,+∞)上单调递减,
所以f(－π)=f(π)(2)(2025·河南许昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间
(－∞,0)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为(　　)
D
考点二　函数的奇偶性与周期性
[A] f(x)为奇函数
[B] f(x)为偶函数
[C] f(x)是一个周期为3的周期函数
[D] f(2 025)=－2
BCD
[A] 107 [B] 118 [C] 109 [D] 110
D
函数图象的对称与周期关系常见结论
(1)若函数y=f(x)图象的两条对称轴方程分别为 x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a－b|.
(2)若函数y=f(x)图象的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a－b|.
解题策略
(3)若函数y=f(x)图象的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a－b|.
(4)若f(ax+b)为偶函数,则函数图象关于直线x=b对称,若f(ax+b)为奇函数,则函数图象关于点(b,0)对称.
解题策略
D
[A] －2 [B] 0 [C] 2 [D] 4
D
考点三　函数的奇偶性、周期性与对称性
[例3] (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且满足f(x+3)=f(1－x),则下列结论正确的是(　　 )
[A] 函数f(x+1)是奇函数
[B] 函数f(x)的图象关于y轴对称
[C] 函数f(x)是周期为2的周期函数
ABD
解决此类问题的难点在于推出函数的周期并能应用,事实上,对于函数的对称轴、对称中心和周期,知道其中两个即可推得第三个.
解题策略
[A] f(x)的周期是2k(k≠0,k∈Z)
[B] f(x)的图象关于点(1,0)对称
[C] 当x∈[－3,－2]时,f(x)=－x
[D] 当x∈[－2,0]时,f(x)=3－|x+1|
ACD
知识链接
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质 特殊函数模型
f(x+y)=f(x)+f(y) 正比例函数f(x)=kx(k≠0)
f(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=x2
f(x+y)=f(x)f(y) f(x－y)=f(x)÷f(y) 指数函数
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
题型演绎
类型一　抽象函数求值
BD
[A] f(0)=0 [B] f(0)=1
[C] f(x)为奇函数 [D] f(x)为偶函数
【解析】 令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),所以f(0)=0或1,令y=x,
则f(x)+f(x)=2f(x)·f(0),若f(0)=0,则f(x)=0,与f(x)不恒为0矛盾,所以f(0)=1,
所以B正确,A错误;令y=－x,则f(x)+f(－x)=2f(0)·f(x)=2f(x),所以f(x)=f(－x),
所以f(x)为偶函数,所以D正确,C错误.故选BD.
抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=…,－2,－1,0,
1,2…等特殊值求抽象函数的函数值.
反思归纳
[拓展演练1](2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R, a,b∈R,
均满足f(a+b)=f(a)+f(b)－ab.若f(－1)=3,则f(3)等于(　　)
[A] 0 [B] －9 [C] －12 [D] －15
【解析】 令a=b=0,得f(0)=2f(0),所以f(0)=0;
令a=1,b=－1,得f(0)=f(1)+f(－1)+1=0,又f(－1)=3,所以f(1)=－4;
令a=b=1,得f(2)=f(1)+f(1)－1=－9;令a=1,b=2,得f(3)=f(1)+f(2)－2=－15.
故选D.
D
类型二　抽象函数的性质
C
(2)(多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(－1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1－x),且图象关于点(2,0)对称,则下列结论正确的是(　 　)
[A] f(0)=f(2)
[B] f(x)的周期T=2
[C] f(x)在(1,2]上单调递减
[D] f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)
AC
【解析】 (2)由f(1+x)=f(1－x)知,f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(0)=f(2),故A正确;
由f(1+x)=f(1－x)知,f(2+x)=f(－x),又图象关于点(2,0)对称,
即f(2+x)=－f(2－x),故f(4+x)=－f(－x),所以－f(2+x)=f(4+x),即－f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),f(x)的周期为4,故B错误;
因为f(x)在(－1,0]上单调递增,且T=4,所以f(x)在(3,4]上单调递增,又图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增,因为f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(x)在(1,2]上单调递减,故C正确;
根据f(x)的周期为4,可得f(2 021)=f(1),f(2 022)=f(2),f(2 023)=f(－1),因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0),由C选项的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(－1,0]上单调递增,确定的单调区间内均不包含x=±1,
若f(－1)=f(1)=0,则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立,故D错误.故选AC.
抽象函数中的小技巧
(1)很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的,在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质.
反思归纳
(2)解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用,通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.
(3)抽象函数性质的证明是一种代数推理,和几何推理一样,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可漏掉一些条件,更不要造条件,推理过程要层次分明,书写规范.
反思归纳
[拓展演练2](1)(多选题)(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3,则(　 　)
[A] f(1)=1
[B] 函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
[C] 函数f(x)是奇函数
[D] 函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x－1
ABD
【解析】 (1)A中,因为f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=3,
令x=y=1,则f(2)=[f(1)]2+2f(1)=3,解得f(1)=1,A正确.
B中,任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则f(x2)=f[x1+(x2－x1)]=f(x1)f(x2－x1)+f(x1)+
f(x2－x1),因为当x>0时,f(x)>0,所以f(x2－x1)>0,f(x1)>0,所以f(x1)f(x2－x1)+
f(x1)+f(x2－x1)>f(x1),即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
B正确.
C中,令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2+2f(0),解得f(0)=0或f(0)=－1.当f(0)=0,且x>0时,
令y=－x,则0=f(x)f(－x)+f(x)+f(－x),若f(x)为奇函数,则f(－x)=－f(x),
即0=－[f(x)]2+f(x)－f(x),解得f(x)=0,与题意矛盾;当f(0)=－1时,f(x)不为奇函数.综上所述,函数f(x)不是奇函数,C错误.
D中,当f(x)=2x－1,则f(x+y)=2x+y－1,f(x)f(y)+f(x)+f(y)=(2x－1)(2y－1)+(2x－1)+
(2y－1)=2x+y－2x－2y+1+2x－1+2y－1=2x+y－1,所以f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),
易得f(x)=2x－1在R上单调递增,所以x>0时,f(x)=2x－1>20－1=0,f(2)=22－1=3,
故函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x－1,D正确.故选ABD.
(2)已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(x+6)+f(3),若y=f(x+2)的图象关于直线x=－2对称,且对于 x1,x2∈[0,3],当x1≠x2时,(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,
则(　　)
[A] f(2)=0
[B] f(x)是奇函数
[C] f(x)是周期为4的周期函数
[D] f(2 023)>f(2 024)
D
【解析】 (2)由y=f(x+2)的图象关于直线x=－2对称,知f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)是偶函数,所以B错误;
在f(x)=f(x+6)+f(3)中,令x=－3得f(－3)=f(3)+f(3)=2f(3),又f(－3)=f(3),所以f(3)=0,所以f(x)=f(x+6),知f(x)是周期为6的周期函数,所以C错误;
对于 x1,x2∈[0,3],当x1≠x2时,(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,故f(x)在[0,3]上单调递减,所以f(2)>f(3)=0,所以A错误;
对于D,f(2 023)=f(6×337+1)=f(1),f(2 024)=f(6×337+2)=f(2),由f(x)在[0,3]上单调递减,得f(1)>f(2),即f(2 023)>f(2 024),D正确.故选D.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
单调性与奇偶性 1,4,7,10,12
奇偶性与周期性 3,5,16
奇偶性、周期性、对称性 2,11,13,15
抽象函数的性质 6,8,9,14
1.(2025·北京模拟)下列函数中,是奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是
(　　)
基础巩固练
B
2.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2－x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则函数f(x)(　　)
[A] 在区间[0,1]上单调递增,在区间[－2,－1]上单调递减
[B] 在区间[0,1]上单调递增,在区间[－2,－1]上单调递增
[C] 在区间[0,1]上单调递减,在区间[－2,－1]上单调递减
[D] 在区间[0,1]上单调递减,在区间[－2,－1]上单调递增
B
【解析】 因为f(x)=f(2－x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增,又因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(－x),所以f(2－x)=f(－x),所以f(x)是周期为2的函数,所以f(x)在区间
[－2,－1]上也单调递增.故选B.
3.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(4－x)=f(x),f(－3)=－1,则f(15)等于(　　)
[A] 0 [B] －1 [C] 2 [D] 1
B
【解析】 因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(4－x)=f(x),
所以f(4+x)=f(－x)=－f(x),所以f(4+4+x)=f(8+x)=－f(4+x)=f(x),则函数y=f(x)是周期为8的周期函数,则f(15)=f(15－8)=f(7),令x=－3,则f(4+3)=f(－3)=－1,
所以f(15)=－1.故选B.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x,则不等式x[|f(x)|－3]>0的解集是(　　)
[A] (－∞,－1)∪(0,1)
[B] (－∞,－1)∪(1,+∞)
[C] (－1,0)∪(1,+∞)
[D] (－1,0)∪(0,1)
C
5.(2025·广东汕头模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=－f(x),
g(x)=f(x)－2为奇函数,则f(198)等于(　　)
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
C
【解析】 因为f(x+3)=－f(x),所以f(x+6)=－f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为6,
又g(x)=f(x)－2为奇函数,所以f(x)－2+f(－x)－2=0,所以f(x)+f(－x)=4,令x=0,得2f(0)=4,所以f(0)=2,所以f(198)=f(0+6×33)=f(0)=2.故选C.
6.(2025·福建泉州调研)已知函数y=f(x)对任意实数x都有f(x+6)+f(x)=2f(3)且f(1－x)+f(x－1)=0,则f(2 025)等于(　　)
[A] －3 [B] 0 [C] 3 [D] 6
B
【解析】 因为函数y=f(x)对任意实数x都有f(1－x)+f(x－1)=0,即f(1－x)=
－f(x－1),即f(－x)=－f(x),所以函数f(x)是奇函数.又f(x+6)+f(x)=2f(3),令x=
－3,得f(3)+f(－3)=2f(3),即f(3)－f(3)=2f(3),所以f(3)=0,则f(x+6)+f(x)=2f(3)=0,即f(x+6)=－f(x),所以f(x+12)=－f(x+6)=－[－f(x)]=f(x),即12为函数y=f(x)的周期,所以f(2 025)=f(12×168+9)=f(9)=－f(3)=0.故选B.
7.(5分)(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2－x),且f(x)在(－∞,2]上单调递减,则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为　　　 　.
【解析】 因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2－x),则f(x)关于直线x=2对称,又因为f(x)在(－∞,2]上单调递减,则f(x)在[2,+∞)上单调递增,则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3－2|≤|1－2|,即|2x+1|≤1,解得－1≤x≤0,则解集为[－1,0].
[－1,0]
8.(14分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=
f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
【解】 (1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.
8.(14分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=
f(x1)+f(x2).
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
令x1=－1,x2=x,
有f(－x)=f(－1)+f(x),
所以f(－x)=f(x),
所以f(x)为偶函数.
8.(14分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=
f(x1)+f(x2).
(3)如果f(4)=1,f(x－1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
【解】 (3)依题意有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x－1)<2 f(|x－1|)又f(x)在(0,+∞)上是增函数.
所以0<|x－1|<16,
解得－15所以x的取值范围是{x|－15综合运用练
9.(2025·浙江温州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且满足[f(x)]2－[f(y)]2=
f(x+y)f(x－y),f(1)=1,f(3)=－1,则下列结论错误的是(　　)
[A] f(2)=0 [B] f(4)=2
[C] f(x)是奇函数 [D] f(x+4)=f(x)
B
【解析】 令x=2,y=1,则[f(2)]2－[f(1)]2=f(3)f(1),解得f(2)=0,故A正确;
令x=1,y=0,则[f(1)]2－[f(0)]2=f(1)f(1),解得f(0)=0.
令x=0,则－[f(y)]2=f(y)f(－y),
即f(y)[f(y)+f(－y)]=0,
因为f(y)不恒为0,所以f(y)+f(－y)=0,且定义域为R,故函数f(x)为奇函数,故C正确;
令y=x－2,则[f(x)]2－[f(x－2)]2=f(2x－2)·f(2)=0,因为f(x)不恒为0,且f(3)≠f(1),
所以只能f(x)=－f(x－2),从而f(x+4)=－f(x+2)=f(x),周期为4,
显然f(4)=f(0)=0,故B错误,D正确.故选B.
10.(多选题)(2025·安徽安庆模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(－∞,0]上单调递减,则(　 　)
[A] f(f(1))[B] f(g(1))[C] g(f(1))[D] g(g(1))BD
【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且两函数在(－∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)在[0,+∞)上单调递减,g(x)在R上单调递减,所以f(1)g(1)>g(2),
所以f(g(1))g(f(2)),g(g(1))若|f(1)|>|f(2)|,则f(f(1))>f(f(2)),故A不一定正确.故选BD.
11.(2025·四川遂宁模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x)的图象是连续不断的且y=f(x+2)为偶函数.若 x1,x2∈[2,4]有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,则下面结论正确的是(　　)
[A] f(65.5)[B] f(－24.5)[C] f(65.5)[D] f(－24.5)D
【解析】 因为y=f(x+2)为偶函数,所以f(－x+2)=f(x+2)且f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)为周期函数,T=8,因为 x1,x2∈[2,4]有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0,所以f(x)在[2,4]上单调递减,所以由f(x)的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如图所示,
因为f(－24.5)=f(－0.5),f(83.5)=f(3.5),f(65.5)=f(1.5),
所以f(－24.5)b5
(1)证明函数f(x)是奇函数;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
[A] 6 [B] 8 [C] 10 [D] 14
应用创新练
D
【解析】 因为f(x)为奇函数,所以f(x+2)=－f(x)=f(－x),所以直线x=1是f(x)
图象的一条对称轴.又由f(x+2)=－f(x),得到f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.作出f(x)的图象,如图所示.
16.(2025·云南昆明模拟)定义“函数y=f(x)是D上的a级类周期函数”如下:函数y=f(x),x∈D,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域D内的任意实数x都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的周期.若y=f(x)是[1,+∞)上的a级类周期函数,且T=1,当x∈[1,2)时,f(x)=2x+1,且y=f(x)是[1,+∞)上的增函数,则实数a的取值范围为(　　)
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