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五校联盟2024学年第二学期5月教学质量检测试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．1
3．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（ ）
A．奇函数，在上单调递增 B．奇函数，在上单调递减
C．偶函数，在上单调递增 D．偶函数，在上单调递减
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．
9．在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（ ）
A．与为异面直线
B．与所成的角为90°
C．平面截该正方体所得的截面形状为矩形
D．三棱锥的外接球体积为
10．在平行四边形中，是边上一点（不含端点），，，，，则（ ）
A．落在上 B．落在上
C．落在内 D．的面积等于的面积
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．不等式无解 D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，，，，则______，______．
13．已知正方体的棱长为2，若点是棱上的一个动点，则的最小值为______．
14．已知是边长为3的正所在平面内一点，且（），则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
已知复数（）在复平面内对应的点位于第一象限，且满足．
（1）求；
（2）若是关于的方程（，）的一个复数根，求的值．
16．（本题满分15分）
已知向量，满足，，．
（1）若，求实数的值；
（2）求；
（3）设与的夹角为，求的大小．
17．（本题满分15分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，的平分线交于点，求线段的长；
（3）若，求内切圆半径的最大值．
18．（本题满分17分）
如图，在直三棱柱中，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）若，，．
①点是线段上的动点，试问三棱锥的体积是否为定值，若是，证明并求出定值，若不是．说明理由；
②求二面角的大小．
19．（本题满分17分）
如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”；
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，试写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由；
（2）已知具有“性质”，当时，，，求在上的最大值；
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与（）交点个数为2025个，求的值．
五校联盟2024学年第二学期5月教学质量检测
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C A A B A ABD ABD
题号 11
答案 BD
1．C
【详解】由题意可得：集合，
且，所以．
故选：C．
2．B
【详解】，模为．
故选：B
3．C
【分析】求出，再利用投影向量的意义求解即可．
【详解】依题意，
所以在上的投影向量为．
故选：C．
4．C
【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
A．若，，则，可能平行、相交、异面，错误；
B．若，，则，是可能平行、相交、垂直，错误；
C．若，，则，正确；
D．若，，则，可能垂直、平行、相交，错误．
故选：C
5．A
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
由题意，，，，，
体积为
故选：A．
6．A
【详解】因为，
由正弦定理得，且，
所以，
化简得，又，
所以，又，即；充分性得证．
若为直角三角形，则当时，结论不一定成立，必要性不成立．故选：A．
7．B
【详解】如图，将正三棱台补全成正三棱锥，
不妨设，则，
又因为四边形为正方形，所以，所以，
所以正三棱锥恰为正四面体．
所以与平面所成角即为正四面体侧棱与底面所成角，易知正弦值为．
故选：B．
8．A
【详解】因为，
所以，得，
令，则，
得，则函数为奇函数，
设，，且，得，则，
则
，
因为，所以，而，
则，
得，得，故函数在上单调递增．
故选：A．
9．ABD
【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确；
对于B，取的中点为，连接，如下图所示：
由正方体性质可知，又，所以，
因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角，
易知，，，满足，即，
所以，因此与所成的角为90°，即B正确；
对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如下图所示：
易知，，，即可知，，，，，在同一平面内，
所以平面截该正方体所得截面即为六边形，
又，所以截面形状为正六边形，即C错误；
对于D，将三棱锥放入长方体中，如图所示，，
所以，三棱锥的外接球体积为，D正确．
10．ABD
因为是边上一点（不含端点），所以，，
所以，所以落在上，故A选项正确；
，其中，
所以落在上，故B选项正确；
，当时，显然会落在内，故C选项错误；
因为，，所以
，
又因为，所以，故D选项正确．
11．BD
A选项，，
所以不是的最小正周期，故A选项错误；
B选项，，
所以，所以的图象关于点对称，故B选项正确；
C选项，当时，，所以，所以在下方，
又因为为奇函数，所以当时，在上方，
所以有解，解为，故C选项错误．
D选项，，
当时，令，所以，
当时，令，所以，
当时，令，所以，
综上，的最大值为，故D选项正确．
12．，
【详解】由正弦定理知，所以，过点作的垂线段，
可得（也可由余弦定理计算）．
13．
【详解】将正方体表面沿展开，如图所示
则．
14．
【详解】延长于点，使，连接
，
所以在直线上．取线段的中点，则
，
当时有最小值，此时
所以的最小值为．
故答案为：．
15．（1） （2）
【详解】（1）由题意知复数在复平面内对应的点为，
因为点在第一象限，所以，
由，得，
即，则，所以．
（2）由（1）知，由是关于的方程的一个复数根，
可知是的另一个复数根，
因此，解得．
所以．
16．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由可得：，
即，又由，得，，
代入解得：，所以，是不共线的向量．
由题可设：，因为，是不共线的向量，
所以且，解得．
（2）．
（3）由于，
由与的夹角为：，
由于，所以．
17．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）因为，所以，整理可得，
所以，
因为，所以；
（2）设，由可得，
即，
解得，即．
（3）设内切圆的半径为，则，
所以，
又，所以，
则，
由，得，当且仅当时取等号，
所以，即内切圆半径的最大值为．
18．解：（1）在直三棱柱中，平面，所以．
又因为，且平面，平面，，
所以平面；
（2）①连结交于，因为是的中位线，所以，
又因为平面，所以平面，
所以点到平面的距离不变，故为定值．
．
②过作于点，过作于点，连结．
在直三棱柱中，平面平面，
因为，所以平面，所以；
又，所以面，所以．
则就是二面角的平面角．
又因为，，所以，，
所以，所以．
在直角中，，所以．
19．解：（1）由得，
根据诱导公式得（）．
具有“性质”，其中（）；
（2）具有“性质”，．
设，则，
，
由二次函数的对称性可得，在上，
当时，时，最大值，
当时，当时，最大值．
（3）具有“性质”，
，，关于和对称
是周期为1的函数．
①当时，要使与有2025个交点，
只要与在有2024个交点，而在有一个交点．
过，从而得
②当时，同理可得，
③当时，不合题意．
综上所述．

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