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第9节　函数模型及其应用
[课程标准要求]
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)
2.三种函数模型性质的比较
性质 函数
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>1)
在(0,+∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
1.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)
[A] 40万元 [B] 60万元
[C] 80万元 [D] 120万元
2.(苏教版必修第一册P151习题6.2 T16改编)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,同时小明发现可以用指数型函数S=ae－kt(a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量,则k等于(　　)
[A] ln 2 [B] ln 3 [C] [D]
3.(人教B版必修第二册P40例2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是(　　)
[A] f(x)>g(x)>h(x)
[B] g(x)>f(x)>h(x)
[C] g(x)>h(x)>f(x)
[D] f(x)>h(x)>g(x)
4.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T8改编)若某地2025年的GDP比2015年翻一番,则此地GDP平均每年的增长率是　　　　.
5.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T5改编)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为x,研究中发现v=0.5log3
(x≥100),在逆流而上的过程中,某两条鲑鱼的游速v1,v2满足v1+v2=4v1v2(v1,v2>0),则这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为　　　　个单位.
考点一　利用图象刻画实际问题
1.(2025·海南模拟)下列四个图象中,与所给三个事件吻合最好的顺序为(　　)
(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;
(2)我离开家后,骑着车一路以匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)我从家出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离,t表示所用时间.
[A] ④①② [B] ③①②
[C] ②①④ [D] ③②①
2.某公司在30天内A商品的销售价格P(单位:元)与时间t(单位:天)的关系满足如图所示的函数,A商品的销售量Q(单位:万件)与时间t的关系是Q=40－t,则下列说法正确的是(　　)
①第15天日销售额最大;②第20天日销售额最大;③最大日销售额为120万元;④最大日销售额为125万元.
[A] ①③ [B] ①④ [C] ②③ [D] ②④
3.(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是(　　)
[A] 首次服用该药物1单位约10 min后,药物发挥治疗作用
[B] 每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2 h,一定会产生药物中毒
[C] 每间隔5.5 h服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
[D] 首次服用该药物1单位3 h后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案,选择符合实际情况的答案.
考点二　已知函数模型求解实际问题
[例1] (1)(2025·广东茂名模拟)Gompertz曲线用于生长曲线的回归预测,常见的应用有:代谢预测,有限区域内生物种群数量预测,工业产品的市场预测等,其一般数学模型为:f(x)=k(其中k>0,b>0,a为参数).某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况,发现a=e.若x=1表示该新产品今年的年产量,估计明年(x=2)的产量将是今年的e倍,那么b的值为(e为自然数对数的底数)(　　)
[A] [B]
[C] －1 [D] +1
(2)(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
[A] p1≥p2 [B] p2>10p3
[C] p3=100p0 [D] p1≤100p2
已知函数模型解决实际问题的关键点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知,利用待定系数法确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
[针对训练] (1)(2025·山西晋城模拟)在天文学中,常用星等m,光照度E等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足公式m2－m1=－2.5lg .已知天狼星的星等为－1.45,天狼星的光照度是织女星光照度的4倍,据此估计织女星的星等为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
[A] 2 [B] 1.05 [C] 0.05 [D] －1.05
(2)(2025·广西桂林模拟)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为T0,则经过一定时间t min后的温度T满足T－Ta=()(T0－Ta),h称为半衰期,其中Ta是环境温度.若Ta=25 ℃,现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1 min,那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据:lg 2≈0.30,lg 11≈1.04)(　　)
[A] 10 min [B] 9 min
[C] 8 min [D] 7 min
考点三　建立函数模型解决实际问题
[例2] 考虑到高速公路行车安全需要,一般要求高速公路的车速v(单位:km/h)控制在[60,120]范围内.已知汽车以v km/h的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为(v－k+)升,其中k为常数,不同型号汽车k值不同,且满足60≤k≤120.
(1)若某型号汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5升,欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升,求车速v的取值范围;
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
(1)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
(2)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际生活中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.
(3)形如y=x+(a>0)的函数模型.
求函数解析式时要先确定函数的定义域.求解此类型的函数最值问题,要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件,如果在定义域内满足“一正、二定、三相等”,优先考虑用基本不等式求最值,否则要考虑函数的单调性,也可借用导数来研究函数的单调性.
(4)分式函数模型的应用技巧.
①利用“配凑法”,创造应用基本不等式的条件,注意“一正、二定、三相等”;
②利用“对勾函数”的单调性.
[针对训练] (2025·福建宁德模拟)为了减少碳排放,某企业采用新工艺,将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨,最多为400吨.月处理成本f(x)(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系近似表示为f(x)=x2－300x+
64 800.
(1)该企业每月处理量为多少吨时,才能使月处理成本最低 月处理成本最低是多少元
(2)该企业每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 每吨的平均处理成本最低是多少元
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
利用图象刻画实际问题 1,13
已知函数模型求解实际问题 3,9,10,11,12
建立函数模型解决实际问题 4,6,7,8,15,16
函数模型的选择与应用 2,5,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(　　)
　　　
[A] [B]
　　　
[C] [D]
2.从甲地到乙地的距离约为240 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的下列数据:
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系,则下列四个函数模型中,最符合实际情况的函数模型是(　　)
[A] Q=0.5v+a [B] Q=av+b
[C] Q=av3+bv2+cv [D] Q=klogav+b
3.(2025·广西南宁模拟)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)以及火箭(除燃料外)的质量N(单位:kg)间的关系为v=2ln(1+).若火箭的最大速度为12 km/s,则下列各数与最接近的是(参考数据:e=2.718 28…)(　　)
[A] 200 [B] 400 [C] 600 [D] 800
4.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3－6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,则投资这两座城市收益的最大值为(　　)
[A] 26万元 [B] 44万元
[C] 48万元 [D] 72万元
5.(2025·江西新余模拟)现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃,给出三个茶温T(单位: ℃ )关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(00,00.477 1)(　　)
[A] 2.72分钟 [B] 2.82分钟
[C] 2.92分钟 [D] 3.02分钟
6.(2025·浙江金华模拟)某乡村要修建一条100 m长的水渠,水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图).水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元,为了提高水渠的过水率,要使过水横断面的面积尽可能大,现有资金3万元,当过水横断面面积最大时,水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据:≈1.732)(　　)
[A] 0.58 m [B] 0.87 m
[C] 1.17 m [D] 1.73 m
7.(5分)为加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习,某同学以初速度v0=12 m/s竖直上抛一排球,该排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为　　　
s(小数点后保留两位有效数字).(注:若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式h=v0t－gt2,其中g取9.8 m/s2,≈25.59 )
8.(13分)(2025·山东青岛模拟)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元
9.(2025·宁夏银川模拟)锂电池在存放过程中会发生自放电现象,其电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp,其中Q(单位:mAh)为电容量损失量,p是时间t的指数项,反映了时间趋势由反应级数决定,k是方程剩余项未知参数的组合,与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电池为研究对象,经实验采集数据进行拟合后获得p=0.5,相关统计学参数R2>0.995,且预测值与实际值误差很小.在研究M对Q的影响时,其他参量可通过控制视为常数,电池自放电电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp=e(A+BM)tp,经实验采集数据进行拟合后获得A=2.228,B=1.3,相关统计学参数R2=0.999,且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为80%,存放16天后,电容量损失量约为(　　)
(参考数据为:e3.22≈25.03,e3.232≈25.33,e3.265≈26.18,e3.268≈26.26)
[A] 100.32 mAh [B] 101.32 mAh
[C] 105.04 mAh [D] 150.56 mAh
10.某研发团队研究出了一种新型智能产品,经过调研发现该产品推出市场的时间T(单位:年)与市场占有率p可近似用函数T=alg(－1)+b来描述,其中a,b是常数.已知该产品市场占有率为10%时,需要1年;市场占有率为20%时,需要1.5年,则市场占有率达到60%时约需(lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　)
[A] 2.32年 [B] 2.43年
[C] 2.58年 [D] 2.81年
11.(多选题)(2025·河南安阳模拟)阿伦尼乌斯公式:k=A(R和A均为大于0的常数),k为反应速率常数(与反应速率成正比),T为热力学温度(T>0),在同一个化学反应过程中Ea为大于0的定值.已知对于某一化学反应,若热力学温度分别为T1和T2时,反应速率常数分别为k1和k2(此过程中A,R与Ea的值保持不变),则(　　)
[A] 若T1>T2,则k1>k2
[B] 若T1>T2,则k1[C] 若T2=3T1,－=M,则ln=M
[D] 若T2=3T1,－=M,则ln=M
12.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是 48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　小时.
13.(5分)(2025·浙江杭州模拟)农业技术员进行某种作物的种植密度试验,把一块试验田划分为8块面积相等的区域(除了种植密度,其他影响作物生长的因素都保持一致),种植密度和单株产量统计如下:
根据上表所提供的信息,第　　　　号区域的总产量最大.
14.(15分)随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系.一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习.已知前3年平台会员的人数如表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):
建立平台第x年 1 2 3 4
会员人数y/千人 14 20 29 43
(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:
①y=+b(t>0),②y=d·logrx+s(r>0,且r≠1),③y=m·ax+n(a>0,且a≠1);
(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定无论怎样发展,会员人数不得超过k·()x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值.
15.(多选题)当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过
5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14的含量为y(把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位),则下列叙述正确的是(　　)
[A] 函数解析式为y=(),x∈[0,+∞)
[B] 碳14的年衰减率为()
[C] 经过九个“半衰期”后,碳14的含量不足死亡前的千分之一
[D] 在2024年,某遗址检测出碳14的残留量为83.2%(lo0.832≈),则该遗址大概是公元504年建成的
16.(5分)甲、乙、丙三辆出租车2024年运营的相关数据如表:
项目 甲 乙 丙
接单量t/单 7 831 8 225 8 338
油费s/元 107 150 110 264 110 376
平均每单里程k/km 15 15 15
平均每千米油费a/元 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率=.依据以上数据,某同学建立了求解三辆车的空驶率的模型u=f(s,t,k,a),并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%,21.68%,x%,则x=　　　　(精确到0.01).
第9节　函数模型及其应用（解析版）
[课程标准要求]
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)
2.三种函数模型性质的比较
性质 函数
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>1)
在(0,+∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
1.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)
[A] 40万元 [B] 60万元
[C] 80万元 [D] 120万元
【答案】 D
【解析】 为使所获利润最大,则当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).故该商人共获利40+80=120(万元).故选D.
2.(苏教版必修第一册P151习题6.2 T16改编)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,同时小明发现可以用指数型函数S=ae－kt(a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量,则k等于(　　)
[A] ln 2 [B] ln 3 [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由题意可得,当t=0时,S=a=7,因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,所以3.5=7e－5k,解得k=.
故选C.
3.(人教B版必修第二册P40例2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是(　　)
[A] f(x)>g(x)>h(x)
[B] g(x)>f(x)>h(x)
[C] g(x)>h(x)>f(x)
[D] f(x)>h(x)>g(x)
【答案】 B
【解析】 在同一平面直角坐标系内,根据函数图象变化趋势,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).故选B.
4.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T8改编)若某地2025年的GDP比2015年翻一番,则此地GDP平均每年的增长率是　　　　.
【答案】 －1
【解析】 设此地GDP平均每年的增长率为x,
所以(1+x)10=2,
即1+x=,
则x=－1,
所以平均每年的增长率应是－1.
5.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T5改编)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为x,研究中发现v=0.5log3
(x≥100),在逆流而上的过程中,某两条鲑鱼的游速v1,v2满足v1+v2=4v1v2(v1,v2>0),则这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为　　　　个单位.
【答案】 600
【解析】 由v=0.5log3(x≥100),
可得x1=100×,x2=100×,
由v1+v2=4v1v2可得+=4(v1,v2>0),
v1+v2=(v1+v2)(+)=(++2)≥×(2+2)=1,当且仅当v1=v2=0.5时,等号成立,
所以x1+x2=100×+100×≥100×2≥200×3=600,当且仅当v1=v2=0.5时,等号成立,所以这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为600个单位.
考点一　利用图象刻画实际问题
1.(2025·海南模拟)下列四个图象中,与所给三个事件吻合最好的顺序为(　　)
(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;
(2)我离开家后,骑着车一路以匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)我从家出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离,t表示所用时间.
[A] ④①② [B] ③①②
[C] ②①④ [D] ③②①
【答案】 A
【解析】 对于事件(1),中途返回家,离家距离为0,故图象④符合;
对于事件(2),堵车中途耽搁了一些时间,中间有段时间离家距离不变,故图象①符合;
对于事件(3),前面速度慢,后面赶时间加快速度,故图象②符合.故选A.
2.某公司在30天内A商品的销售价格P(单位:元)与时间t(单位:天)的关系满足如图所示的函数,A商品的销售量Q(单位:万件)与时间t的关系是Q=40－t,则下列说法正确的是(　　)
①第15天日销售额最大;②第20天日销售额最大;③最大日销售额为120万元;④最大日销售额为125万元.
[A] ①③ [B] ①④ [C] ②③ [D] ②④
【答案】 B
【解析】 由图象可得当0≤t≤20时,可设P=at+b,根据图象知过点(0,2),(20,6),
所以解得b=2,a=,
所以P=t+2,
当20≤t≤30,可设P=mt+n,根据图象知过点(20,6),(30,5),
所以
解得m=－,n=8,所以P=－t+8,
综上可得,P=
又Q=－t+40(0则y=P·Q=
化简可得y=
当0当20≤t≤30时,y=(t－60)2－40,所以y≤120,当且仅当t=20时,等号成立.
综上可得,第15天日销售额最大,最大值为125万元,故①④正确.故选B.
3.(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是(　　)
[A] 首次服用该药物1单位约10 min后,药物发挥治疗作用
[B] 每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2 h,一定会产生药物中毒
[C] 每间隔5.5 h服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
[D] 首次服用该药物1单位3 h后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
【答案】 ABC
【解析】 从题图中可以看出,首次服用该药物1单位约10 min后药物发挥治疗作用,A正确;根据题图可知,首次服用该药物1单位约1 h后的血药浓度达到最大值,由题图可知,当两次服药间隔小于2 h时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5 h时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第一次服用该药物1单位4 h后与第2次服用该药物1单位1 h后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.
故选ABC.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案,选择符合实际情况的答案.
考点二　已知函数模型求解实际问题
[例1] (1)(2025·广东茂名模拟)Gompertz曲线用于生长曲线的回归预测,常见的应用有:代谢预测,有限区域内生物种群数量预测,工业产品的市场预测等,其一般数学模型为:f(x)=k(其中k>0,b>0,a为参数).某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况,发现a=e.若x=1表示该新产品今年的年产量,估计明年(x=2)的产量将是今年的e倍,那么b的值为(e为自然数对数的底数)(　　)
[A] [B]
[C] －1 [D] +1
(2)(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
[A] p1≥p2 [B] p2>10p3
[C] p3=100p0 [D] p1≤100p2
[溯源探本] 本例题(2)源于人教A版必修第一册P141习题4.4 T10.
【答案】 (1)A　(2)ACD
【解析】 (1)由a=e,得到f(x)=k·,
所以当x=1时,f(1)=k·;
当x=2时,f(2)=k.
依题意,明年(x=2)的产量将是今年的e倍,得==e,所以=1,
即b2+b－1=0,
解得b=.
因为b>0,所以b=.故选A.
(2)由题意可知,∈[60,90],∈[50,60],=40,对于选项A,可得=20×lg －20×lg =20×lg ,因为≥,则=20×lg ≥0,即lg ≥0,所以≥1,且p1,p2>0,可得p1≥p2,故A正确;
对于选项B,可得=20×lg －20×lg =20×lg ,因为=－40≥10,则20×lg ≥10,即lg ≥,所以≥,且p2,p3>0,可得p2≥p3,当且仅当=50时,等号成立,故B错误;
对于选项C,因为=20×lg =40,即lg =2,可得=100,即p3=100p0,故C正确;
对于选项D,由选项A可知,=20×lg ,且≤90－50=40,则20×lg ≤40,即lg ≤2,可得≤100,且p1,p2>0,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
已知函数模型解决实际问题的关键点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知,利用待定系数法确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
[针对训练] (1)(2025·山西晋城模拟)在天文学中,常用星等m,光照度E等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足公式m2－m1=－2.5lg .已知天狼星的星等为－1.45,天狼星的光照度是织女星光照度的4倍,据此估计织女星的星等为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
[A] 2 [B] 1.05 [C] 0.05 [D] －1.05
(2)(2025·广西桂林模拟)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为T0,则经过一定时间t min后的温度T满足T－Ta=()(T0－Ta),h称为半衰期,其中Ta是环境温度.若Ta=25 ℃,现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1 min,那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据:lg 2≈0.30,lg 11≈1.04)(　　)
[A] 10 min [B] 9 min
[C] 8 min [D] 7 min
【答案】 (1)C　(2)A
【解析】 (1)设天狼星的星等为m1,光照度为E1,织女星的星等为m2,光照度为E2,因为天狼星的光照度是织女星光照度的4倍,所以=,因为两颗星的星等与光照度满足公式m2－m1=－2.5lg ,所以m2+1.45=－2.5lg ,解得 m2=5lg 2－1.45≈0.05,所以织女星的星等约为 0.05.故选C.
(2)将所给数据代入T－Ta=()(T0－Ta)得,75－25=()(80－25),即()==,所以=lo==≈.当水温从75 ℃降至45 ℃时,满足45－25≈()(75－25),可得t≈lo==≈,即t≈10.故选A.
考点三　建立函数模型解决实际问题
[例2] 考虑到高速公路行车安全需要,一般要求高速公路的车速v(单位:km/h)控制在[60,120]范围内.已知汽车以v km/h的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为(v－k+)升,其中k为常数,不同型号汽车k值不同,且满足60≤k≤120.
(1)若某型号汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5升,欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升,求车速v的取值范围;
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【解】 (1)由题意可知,当v=120时,(v－k+)=11.5,解得k=100,
由(v－100+)≤9,
即v2－145v+4 500≤0,
解得45≤v≤100,
因为要求高速公路的车速v(单位:km/h)控制在[60,120]范围内,
即60≤v≤120,所以60≤v≤100,
故汽车每小时的油耗不超过9升,车速v的取值范围为[60,100].
(2)设某型号汽车行驶100千米的油耗为y升,
则y=·(v－k+)=20－+(60≤v≤120),
令t=,则t∈[,],
所以y=90 000t2－20kt+20=90 000(t－)2+20－,t∈[,],
可得对称轴为直线t=,由60≤k≤120,可得∈[,],
当≤≤,即75≤k≤120时,
则当t=时,ymin=20－;
当≤<,即60≤k<75时,
则当t=时,ymin=90 000×()2－20k×+20=.
综上所述,当75≤k≤120时,汽车行驶100千米的油耗的最小值为(20－)升;当60≤k<75时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为()升.
(1)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
(2)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际生活中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.
(3)形如y=x+(a>0)的函数模型.
求函数解析式时要先确定函数的定义域.求解此类型的函数最值问题,要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件,如果在定义域内满足“一正、二定、三相等”,优先考虑用基本不等式求最值,否则要考虑函数的单调性,也可借用导数来研究函数的单调性.
(4)分式函数模型的应用技巧.
①利用“配凑法”,创造应用基本不等式的条件,注意“一正、二定、三相等”;
②利用“对勾函数”的单调性.
[针对训练] (2025·福建宁德模拟)为了减少碳排放,某企业采用新工艺,将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨,最多为400吨.月处理成本f(x)(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系近似表示为f(x)=x2－300x+
64 800.
(1)该企业每月处理量为多少吨时,才能使月处理成本最低 月处理成本最低是多少元
(2)该企业每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 每吨的平均处理成本最低是多少元
【解】 (1)该企业的月处理成本
f(x)=x2－300x+64 800=(x－300)2+19 800,
因为30≤x≤400,f(x)在[30,300]上单调递减,在(300,400]上单调递增,
所以该企业每月处理量为300吨时,才能使月处理成本最低,月处理成本最低是19 800元.
(2)因为f(x)=x2－300x+64 800(30≤x≤400),
所以每吨的平均处理成本g(x)==x－300+.
因为+≥2=360,当且仅当x=360时,等号成立,
所以g(x)≥360－300=60,
即该企业每月处理量为360吨时,每吨的平均处理成本最低,为60元.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
利用图象刻画实际问题 1,13
已知函数模型求解实际问题 3,9,10,11,12
建立函数模型解决实际问题 4,6,7,8,15,16
函数模型的选择与应用 2,5,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(　　)
　　　
[A] [B]
　　　
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 水匀速流出,所以鱼缸水深h先快速降低,中间缓慢降低,最后降低速度又越来越快.故选B.
2.从甲地到乙地的距离约为240 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的下列数据:
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系,则下列四个函数模型中,最符合实际情况的函数模型是(　　)
[A] Q=0.5v+a [B] Q=av+b
[C] Q=av3+bv2+cv [D] Q=klogav+b
【答案】 C
【解析】 作出散点图,
由图可知函数模型满足:①定义域为[0,120];②在定义域内单调递增且单位增长率变快;③函数图象过原点.
A选项,函数Q=0.5v+a在定义域内单调递减,故A错误;
B选项,函数Q=av+b的单位增长率恒定不变,故B错误;
C选项,存在a,b,c使得Q=av3+bv2+cv满足上述三点,故C正确;
D选项,函数Q=klogav+b在v=0处无意义,D错误.故选C.
3.(2025·广西南宁模拟)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)以及火箭(除燃料外)的质量N(单位:kg)间的关系为v=2ln(1+).若火箭的最大速度为12 km/s,则下列各数与最接近的是(参考数据:e=2.718 28…)(　　)
[A] 200 [B] 400 [C] 600 [D] 800
【答案】 B
【解析】 由题意,火箭的最大速度为12 km/s,可得12=2ln(1+),即=e6－1,
因为e=2.718 28…,所以近似计算可得=e6－1≈402.故选B.
4.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3－6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,则投资这两座城市收益的最大值为(　　)
[A] 26万元 [B] 44万元
[C] 48万元 [D] 72万元
【答案】 B
【解析】 由题意可知 40≤a≤80,设投资这两座城市收益为y,
则有y=3－6+A+2=3+(120－a)－4=3a+26,
令=t,t∈[2,4],
则有f(t)=－t2+3t+26,
该二次函数图象的对称轴为直线t=6,且开口向下,
所以f(t)max=f(6)=－×(6)2+3×6+26=44.故选B.
5.(2025·江西新余模拟)现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃,给出三个茶温T(单位: ℃ )关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(00,00.477 1)(　　)
[A] 2.72分钟 [B] 2.82分钟
[C] 2.92分钟 [D] 3.02分钟
【答案】 B
【解析】 依据生活常识,茶温一般不会低于室内温度,因此选择模型③,
得到 解得
因此20+75·()t≤60 ()t≤ t≥≈2.82.故选B.
6.(2025·浙江金华模拟)某乡村要修建一条100 m长的水渠,水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图).水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元,为了提高水渠的过水率,要使过水横断面的面积尽可能大,现有资金3万元,当过水横断面面积最大时,水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据:≈1.732)(　　)
[A] 0.58 m [B] 0.87 m
[C] 1.17 m [D] 1.73 m
【答案】 B
【解析】如图,设水渠的过水横断面为等腰梯形ABCD,BE⊥CD于点E,
∠BAD=∠ABC=120°,要使过水横断面面积最大,则此时资金3万元都用完,
则100×(AB+BC+AD)×100=30 000,解得AB+BC+AD=3,设BC=x,
则AB=3－2x,BE=x,CE=x,故CD=3－x,且0所以梯形ABCD的面积S=×x=(－x2+2x),
则当x=1时,Smax=,此时BE=≈0.87,即当过水横断面面积最大时,
水渠的深度(即梯形的高)约为0.87 m.故选B.
7.(5分)为加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习,某同学以初速度v0=12 m/s竖直上抛一排球,该排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为　　　
s(小数点后保留两位有效数字).(注:若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式h=v0t－gt2,其中g取9.8 m/s2,≈25.59 )
【答案】 2.09
【解析】 由题意,竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式h=v0t－gt2,因为v0=12 m/s,所以h=12t－×9.8t2,令h=2 m,可得12t－×9.8t2=2,
即49t2－120t+20=0,所以t1+t2= s,t1t2=,所以|t1－t2|==≈2.09 s.所以排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为2.09 s.
8.(13分)(2025·山东青岛模拟)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元
【解】 (1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.
由已知得f(1)=k1=,g(1)=k2=,
所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设投资股票等风险型产品x万元,则投资债券等稳健型产品(20－x)万元.
依题意得y=f(20－x)+g(x)=+=(0≤x≤20).
所以当=2,即x=4时,收益最大,ymax=3.
故投资债券等稳健型产品16万元,投资股票等风险型产品4万元时获得最大收益,
为3万元.
9.(2025·宁夏银川模拟)锂电池在存放过程中会发生自放电现象,其电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp,其中Q(单位:mAh)为电容量损失量,p是时间t的指数项,反映了时间趋势由反应级数决定,k是方程剩余项未知参数的组合,与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电池为研究对象,经实验采集数据进行拟合后获得p=0.5,相关统计学参数R2>0.995,且预测值与实际值误差很小.在研究M对Q的影响时,其他参量可通过控制视为常数,电池自放电电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp=e(A+BM)tp,经实验采集数据进行拟合后获得A=2.228,B=1.3,相关统计学参数R2=0.999,且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为80%,存放16天后,电容量损失量约为(　　)
(参考数据为:e3.22≈25.03,e3.232≈25.33,e3.265≈26.18,e3.268≈26.26)
[A] 100.32 mAh [B] 101.32 mAh
[C] 105.04 mAh [D] 150.56 mAh
【答案】 C
【解析】 根据题意,可得p=0.5,A=2.228,B=1.3,
代入Q=ktp=e(A+BM)tp,可得Q=e(2.228+1.3M)·t0.5,
因为该品牌电池初始荷电状态M=80%=0.8,
所以存放16天后,电容量损失量Q=e(2.228+1.3×0.8)·160.5=4e3.268≈4×26.26=105.04(mAh).
故选C.
10.某研发团队研究出了一种新型智能产品,经过调研发现该产品推出市场的时间T(单位:年)与市场占有率p可近似用函数T=alg(－1)+b来描述,其中a,b是常数.已知该产品市场占有率为10%时,需要1年;市场占有率为20%时,需要1.5年,则市场占有率达到60%时约需(lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　)
[A] 2.32年 [B] 2.43年
[C] 2.58年 [D] 2.81年
【答案】 C
【解析】 由题意,当p=10%,T=1时,可得1=alg(－1)+b=2alg 3+b;①
当p=20%,T=1.5时,
可得1.5=alg(－1)+b=2alg 2+b;②
当p=60%时,可得T=alg(－1)+b=a(lg 2－lg 3)+b,由②－①可得,2a(lg 2－lg 3)=0.5,
可得a(lg 2－lg 3)=0.25,
由①×lg 2－②×lg 3,可得lg 2－1.5lg 3=(lg 2－lg 3)·b,解得b≈2.33,
所以T≈a(lg 2－lg 3)+2.33=2.58.故选C.
11.(多选题)(2025·河南安阳模拟)阿伦尼乌斯公式:k=A(R和A均为大于0的常数),k为反应速率常数(与反应速率成正比),T为热力学温度(T>0),在同一个化学反应过程中Ea为大于0的定值.已知对于某一化学反应,若热力学温度分别为T1和T2时,反应速率常数分别为k1和k2(此过程中A,R与Ea的值保持不变),则(　　)
[A] 若T1>T2,则k1>k2
[B] 若T1>T2,则k1[C] 若T2=3T1,－=M,则ln=M
[D] 若T2=3T1,－=M,则ln=M
【答案】 AD
【解析】 由T1>T2>0,Ea>0,R>0,根据不等式性质可得－>－,所以>,又A>0,所以A>A,故k1>k2,故A选项正确,B选项错误;易知=,若T2=3T1,可得=,所以ln=－·=M,故C选项错误,D选项正确.故选AD.
12.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是 48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　小时.
【答案】 24
【解析】 由题意得即
所以该食品在33 ℃的保鲜时间是
y=e33k+b=(e11k)3·eb=()3×192=24.
13.(5分)(2025·浙江杭州模拟)农业技术员进行某种作物的种植密度试验,把一块试验田划分为8块面积相等的区域(除了种植密度,其他影响作物生长的因素都保持一致),种植密度和单株产量统计如下:
根据上表所提供的信息,第　　　　号区域的总产量最大.
【答案】 5
【解析】 设区域代号为x,种植密度为y1,单株产量为y2,
则x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},
由题图可得种植密度y1是区域代号x的一次函数,
故设y1=kx+b,x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},
由已知函数y1=kx+b的图象经过点(1,2.4),(8,4.5),
所以解得
所以y1=0.3x+2.1,x∈{1,2,3,4,5,6,7,8}.
又由题图可得单株产量y2是区域代号x的一次函数,故可设y2=mx+n,x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},
观察题图可得当x=1时,y2=1.28,当x=8时,y2=0.72,
所以解得
所以y2=－0.08x+1.36,x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},
所以总产量f(x)=(0.3x+2.1)(－0.08x+1.36)=－0.024(x2－10x－119),x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},
当x=5时,函数f(x)有最大值,即5号区域总产量最大.
14.(15分)随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系.一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习.已知前3年平台会员的人数如表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):
建立平台第x年 1 2 3 4
会员人数y/千人 14 20 29 43
(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:
①y=+b(t>0),②y=d·logrx+s(r>0,且r≠1),③y=m·ax+n(a>0,且a≠1);
(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定无论怎样发展,会员人数不得超过k·()x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值.
【解】 (1)从题表数据可以得知,函数值越来越大,故不可能是①,
因为函数增长的速度越来越快,
所以选择③y=m·ax+n(a>0,且a≠1),
代入表格中的三个点可得
解得
所以y=8·()x+2,x∈N*.
(2)由(1)可知y=8·()x+2,x∈N*,
故不等式8·()x+2≤k·()x对x∈N*恒成立,
所以k≥+=2·()2x+8·()x对x∈N*恒成立,
令()x=t,则t∈{t0|t0=()q,q∈N*},
所以g(t)=2t2+8t,t∈{t0|t0=()q,q∈N*},
因为g(t)随t的增大而增大,
则g(t)≤g()=,
所以k≥,
故k的最小值为.
15.(多选题)当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过
5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14的含量为y(把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位),则下列叙述正确的是(　　)
[A] 函数解析式为y=(),x∈[0,+∞)
[B] 碳14的年衰减率为()
[C] 经过九个“半衰期”后,碳14的含量不足死亡前的千分之一
[D] 在2024年,某遗址检测出碳14的残留量为83.2%(lo0.832≈),则该遗址大概是公元504年建成的
【答案】 AD
【解析】 对于A,因为机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过5 730年衰减为原来的一半,所以x年后机体内的碳14应为原来的(),所以函数解析式为y=1×()=(),x∈[0,+∞),所以A选项正确;
对于B,设每年的衰减率为k,原来的碳14含量为A,
则有A－A(1－k)5 730=,(1－k)5 730=,
解得k=1－(),所以B选项错误;
对于C,经过九个“半衰期”后,y=()==>,所以C选项错误;
对于D,因为碳14的残留量为83.2%,
所以83.2%=(),
即0.832=≈,
解得x≈1 520,由2 024－1 520=504,
可知该遗址大概是公元504年建成的,所以D选项正确.
故选AD.
16.(5分)甲、乙、丙三辆出租车2024年运营的相关数据如表:
项目 甲 乙 丙
接单量t/单 7 831 8 225 8 338
油费s/元 107 150 110 264 110 376
平均每单里程k/km 15 15 15
平均每千米油费a/元 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率=.依据以上数据,某同学建立了求解三辆车的空驶率的模型u=f(s,t,k,a),并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%,21.68%,x%,则x=　　　　(精确到0.01).
【答案】 20.68
【解析】 依题意,因为出租车行驶的总里程为,出租车有载客时行驶的里程为tk,
所以出租车空驶率u==1－,
对于甲,1－≈0.232 6=23.26%,满足题意;
对于乙,1－≈0.216 8=21.68%,满足题意;
所以上述模型满足要求,
则丙的空驶率为x%=1－≈0.206 8=20.68%,即x=20.68.
(
第
19
页
)(共83张PPT)
第9节　函数模型及其应用
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.
[课程标准要求]
知识梳理
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)
知识梳理
2.三种函数模型性质的比较
性质 函数
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn
(n>1)
在(0,+∞) 上的单调性 单调 单调 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随n值变化而各有
不同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax递增
递增
y轴
x轴
重要结论
“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
对点自测
1.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)
[A] 40万元 [B] 60万元
[C] 80万元 [D] 120万元
D
对点自测
【解析】 为使所获利润最大,则当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人全部买入乙商品,
可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).故该商人共获利40+80=120(万元).故选D.
C
对点自测
2.(苏教版必修第一册P151习题6.2 T16改编)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,同时小明发现可以用指数型函数S=ae－kt(a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的
质量,则k等于(　　)
对点自测
3.(人教B版必修第二册P40例2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是(　　)
[A] f(x)>g(x)>h(x)
[B] g(x)>f(x)>h(x)
[C] g(x)>h(x)>f(x)
[D] f(x)>h(x)>g(x)
对点自测
B
【解析】 在同一平面直角坐标系内,根据函数图象变化趋势,
当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).故选B.
对点自测
对点自测
4.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T8改编)若某地2025年的GDP比2015年翻一番,则此地GDP平均每年的增长率是　　 　　.
对点自测
对点自测
600
对点自测
考点一　利用图象刻画实际问题
1.(2025·海南模拟)下列四个图象中,与所给三个事件吻合最好的顺序为(　　)
(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再
上学;
(2)我离开家后,骑着车一路以匀速行驶,
只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)我从家出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离,t表示所用时间.
[A] ④①② [B] ③①②
[C] ②①④ [D] ③②①
A
【解析】 对于事件(1),中途返回家,离家距离为0,故图象④符合;
对于事件(2),堵车中途耽搁了一些时间,中间有段时间离家距离不变,
故图象①符合;
对于事件(3),前面速度慢,后面赶时间加快速度,故图象②符合.故选A.
2.某公司在30天内A商品的销售价格P(单位:元)与时间t(单位:天)的关系满足如图所示的函数,A商品的销售量Q(单位:万件)与时间t的关系是Q=40－t,则下列说法正确的是(　　)
①第15天日销售额最大;②第20天日销售额最大;
③最大日销售额为120万元;④最大日销售额为125万元.
[A] ①③ [B] ①④ [C] ②③ [D] ②④
B
3.(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是(　 　)
[A] 首次服用该药物1单位约10 min后,药物发挥治疗作用
[B] 每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2 h,一定会产生药物中毒
[C] 每间隔5.5 h服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
[D] 首次服用该药物1单位3 h后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
ABC
【解析】 从题图中可以看出,首次服用该药物1单位约10 min后药物发挥治疗作用,A正确;根据题图可知,首次服用该药物1单位约1 h后的血药浓度达到最大值,由题图可知,当两次服药间隔小于2 h时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5 h时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第一次服用该药物1单位4 h后与第2次服用该药物1单位1 h后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.故选ABC.
题后悟通
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案,选择符合实际情况的答案.
考点二　已知函数模型求解实际问题
[例1] (1)(2025·广东茂名模拟)Gompertz曲线用于生长曲线的回归预测,常见的应用有:代谢预测,有限区域内生物种群数量预测,工业产品的市场预测等,其一般数学模型为:f(x)=k(其中k>0,b>0,a为参数).某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况,发现a=e.若x=1表示该新产品今年的年产量,估计明年(x=2)的产量将是今年的e倍,那么b的值为(e为自然数对数的底数)(　　)
A
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则
(　 　)
[A] p1≥p2 [B] p2>10p3 [C] p3=100p0 [D] p1≤100p2
ACD
解题策略
已知函数模型解决实际问题的关键点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知,利用待定系数法确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
C
[A] 2 [B] 1.05 [C] 0.05 [D] －1.05
[A] 10 min [B] 9 min
[C] 8 min [D] 7 min
A
考点三　建立函数模型解决实际问题
(1)若某型号汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5升,欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升,求车速v的取值范围;
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
解题策略
(1)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
(2)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际生活中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.
解题策略
求函数解析式时要先确定函数的定义域.求解此类型的函数最值问题,要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件,如果在定义域内满足“一正、二定、三相等”,优先考虑用基本不等式求最值,否则要考虑函数的单调性,也可借用导数来研究函数的单调性.
解题策略
(4)分式函数模型的应用技巧.
①利用“配凑法”,创造应用基本不等式的条件,注意“一正、二定、三相等”;
②利用“对勾函数”的单调性.
(1)该企业每月处理量为多少吨时,才能使月处理成本最低 月处理成本最低是多少元
(2)该企业每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 每吨的平均处理成本最低是多少元
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
利用图象刻画实际问题 1,13
已知函数模型求解实际问题 3,9,10,11,12
建立函数模型解决实际问题 4,6,7,8,15,16
函数模型的选择与应用 2,5,14
基础巩固练
[A] [B] [C] [D]
1.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(　　)
B
【解析】 水匀速流出,所以鱼缸水深h先快速降低,中间缓慢降低,最后降低速度又越来越快.故选B.
2.从甲地到乙地的距离约为240 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的下列数据:
C
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系,则下列四个函数模型中,最符合实际情况的函数模型是(　　)
[A] Q=0.5v+a [B] Q=av+b
[C] Q=av3+bv2+cv [D] Q=klogav+b
【解析】 作出散点图,
由图可知函数模型满足:①定义域为[0,120];②在定义域内单调递增且单位增长率变快;③函数图象过原点.
A选项,函数Q=0.5v+a在定义域内单调递减,故A错误;
B选项,函数Q=av+b的单位增长率恒定不变,故B错误;
C选项,存在a,b,c使得Q=av3+bv2+cv满足上述三点,故C正确;
D选项,函数Q=klogav+b在v=0处无意义,D错误.故选C.
[A] 200 [B] 400 [C] 600 [D] 800
B
[A] 26万元 [B] 44万元
[C] 48万元 [D] 72万元
B
5.(2025·江西新余模拟)现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃,给出三个茶温T(单位: ℃ )关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模
型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(00,0[A] 2.72分钟 [B] 2.82分钟
[C] 2.92分钟 [D] 3.02分钟
B
[A] 0.58 m [B] 0.87 m
[C] 1.17 m [D] 1.73 m
B
2.09
8.(13分)(2025·山东青岛模拟)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元
综合运用练
9.(2025·宁夏银川模拟)锂电池在存放过程中会发生自放电现象,其电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp,其中Q(单位:mAh)为电容量损失量,p是时间t的指数项,反映了时间趋势由反应级数决定,k是方程剩余项未知参数的组合,与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电池为研究对象,经实验采集数据进行拟合后获得p=0.5,相关统计学参数R2>0.995,且预测值与实际值误差很小.在研究M对Q的影响时,其他参量可通过控制视为常数,电池自放电电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp=e(A+BM)tp,经实验采集数据进行拟合后获得A=2.228,B=1.3,相关统计学参数R2=0.999,且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为80%,存放16天后,电容量损失量约为(　　)
(参考数据为:e3.22≈25.03,e3.232≈25.33,e3.265≈26.18,e3.268≈26.26)
[A] 100.32 mAh [B] 101.32 mAh [C] 105.04 mAh [D] 150.56 mAh
C
【解析】 根据题意,可得p=0.5,A=2.228,B=1.3,
代入Q=ktp=e(A+BM)tp,可得Q=e(2.228+1.3M)·t0.5,
因为该品牌电池初始荷电状态M=80%=0.8,
所以存放16天后,电容量损失量Q=e(2.228+1.3×0.8)·160.5=4e3.268≈4×26.26=105.04(mAh).故选C.
[A] 2.32年 [B] 2.43年
[C] 2.58年 [D] 2.81年
C
AD
12.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是 48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　小时.
24
13.(5分)(2025·浙江杭州模拟)农业技术员进行某种作物的种植密度试验,把一块试验田划分为8块面积相等的区域(除了种植密度,其他影响作物生长的因素都保持一致),种植密度和单株产量统计如下:
根据上表所提供的信息,第　　　　号区域的总产量最大.
5
【解析】 设区域代号为x,种植密度为y1,单株产量为y2,
则x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},
由题图可得种植密度y1是区域代号x的一次函数,
故设y1=kx+b,x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},
由已知函数y1=kx+b的图象经过点(1,2.4),(8,4.5),
14.(15分)随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系.一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习.已知前3年平台会员的人数如表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):
建立平台第x年 1 2 3 4
会员人数y/千人 14 20 29 43
(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:
15.(多选题)当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14的含量为y(把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位),则下列叙述正确的是(　　 )
应用创新练
AD
16.(5分)甲、乙、丙三辆出租车2024年运营的相关数据如表:
项目 甲 乙 丙
接单量t/单 7 831 8 225 8 338
油费s/元 107 150 110 264 110 376
平均每单里程k/km 15 15 15
平均每千米油费a/元 0.7 0.7 0.7
20.68

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