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期末模拟检测卷二
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的22nm（即0.000000022m）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣9 D．2.2×10﹣7
2．（3分）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．x8÷x4＝x2
C．（x2）3＝x6 D．（2xy2）3＝2x3y6
4．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＝5 B．x＝2 C．x≠5 D．x≠2
5．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（　　）
A．a（4﹣y2）＝4a﹣ay2 B．x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1
C．4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
6．（3分）将20个数据整理成5个组如表，则第3组的频率为（　　）
组别 1 2 3 4 5
频数 2 5 x 4 2
A．0.35 B．0.7 C．6 D．7
7．（3分）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　）
A．剩余椽的数量 B．剩余椽的运费
C．这批椽的数量 D．每株椽的价钱
9．（3分）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，已知点A，D之间的距离为1，BF＝4，则EC的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）当a＝　 　 时，分式的值为0．
12．（3分）因式分解：m2﹣m＝　 　 ．
13．（3分）若分式的值为零，则x的值为 　 　 ．
14．（3分）小颖在解分式方程2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是　 　 ．
15．（3分）某市今年2月份10天的空气污染指数统计如图所示．若规定污染指数依次在0～50，51～100，101～150范围的空气质量为优、良、轻度污染，则这10天中，该市空气质量属优、良的共有 　 　 天．
16．（3分）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）．若∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，则∠ABC＝ 　 　 °．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
（1）； （2）1．
18．（6分）小明在计算a（2+a）﹣（a﹣2）2时，解答过程如下：
a（2+a）﹣（a﹣2）2
＝2a+a2﹣（a2﹣4）…第一步
＝2a+a2﹣a2﹣4…第二步
＝2a﹣4…第三步
小明的解答从第 　 　 步开始出错，请写出正确的解答过程．
19．（8分）请将下列证明过程补充完整．
如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．
求证：∠E＝∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD＝180°（ 　 　 ），
∴　 　 （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠B＝∠DCE（ 　 　 ）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DCE（等量代换）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠DFE（ 　 　 ）．
20．（8分）某校组织学生进行“青年大学习”知识竞赛活动，竞赛成绩分为ABCD四个等级，根据某班竞赛结果分别制作了条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）求该班学生的总人数，并补全条形统计图．
（2）求出扇形统计图中C等级所对应的扇形圆心角度数．
（3）已知全校共400名学生，现选取每班知识竞赛A等级的学生参加校级竞赛，请你估算参加校级竞赛的人数．
21．（10分）仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，
由题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
则有，解得，
所以另一个因式为x﹣7，m的值是﹣21．
问题：请仿照上述方法解答下面问题，
（1）若x2+bx+c＝（x﹣1）（x+3），则b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式为2x﹣3，求另一个因式以及k的值．
22．（10分）“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同．
（1）求出鸭头和兔头的单价．
（2）某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm． （裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　 　 张和坐垫 　 　 张． 方法三：裁切靠背 　 　 张和坐垫 　 　 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
24．（12分）小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，GH∥MN，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板DEF向右平移．
①如图2，当点E落在线段AC上时，求∠AEF的度数．
②如图1，在三角板DEF平移过程中，连接CE，记∠BCE为α，∠CEF为β，当点E在BC左侧时，β﹣α的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与另一三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
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)期末模拟检测卷二
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的22nm（即0.000000022m）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣9 D．2.2×10﹣7
【分析】绝对值小于1的数，可以用科学记数法表示为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为原数左起第一个非0数前面所有0的个数．
【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8，
故选：B．
2．（3分）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据同位角的概念求解即可．
【解答】解：A选项中∠1和∠2是同位角，
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．x8÷x4＝x2
C．（x2）3＝x6 D．（2xy2）3＝2x3y6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x2 x3＝x5，故本选项不合题意；
B．x8÷x4＝x4，故本选项不合题意；
C．（x2）3＝x6，故本选项符合题意；
D．（2xy2）3＝8x3y6，故本选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＝5 B．x＝2 C．x≠5 D．x≠2
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣5≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故选：C．
5．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（　　）
A．a（4﹣y2）＝4a﹣ay2
B．x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1
C．4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2
D．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A，B，D选项的等号右边都是差的形式，不是积的形式，不符合题意；
C选项，原式＝（2x）2﹣2 2x 3y+（3y）2＝（2x﹣3y）2，符合因式分解的定义，符合题意；
故选：C．
6．（3分）将20个数据整理成5个组如表，则第3组的频率为（　　）
组别 1 2 3 4 5
频数 2 5 x 4 2
A．0.35 B．0.7 C．6 D．7
【分析】根据频率的定义解答即可．
【解答】解：由题意可知x＝20﹣2﹣5﹣4﹣2＝7，
故第3组的频率为0.35．
故选：A．
7．（3分）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：若将x的系数变为相等的，变形为；
若将y的系数变为相反数，变形为；
综上，变形正确的是②③，
故选：A．
8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　）
A．剩余椽的数量 B．剩余椽的运费
C．这批椽的数量 D．每株椽的价钱
【分析】利用单价＝总价÷数量，结合所列方程，即可找出未知数x表示的意义．
【解答】解：∵所列方程为3（x﹣1），
∴3（x﹣1）表示剩下的椽的运费，表示一株椽的价钱，
∴x表示这批椽的数量．
故选：C．
9．（3分）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，已知点A，D之间的距离为1，BF＝4，则EC的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平移的性质得到BE＝CF＝AD＝1，然后计算EC即可．
【解答】解：∵三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF，AD＝1，
∴BE＝CF＝AD＝1，
∵BF＝4，
∴EC＝BF﹣BE﹣CF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
10．（3分）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为d，表示出S2，S1，l1，l2，再代入，即可求解．
【解答】解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d＝b﹣c+a，
∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d，
S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2，
l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d，
S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc，
∴S2﹣S1＝bc+c2，
l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d，
∴bc+c2＝（）2，
∴bc+c2＝（b﹣c）2，
∴3bc＝b2，
∴b＝3c，
∴c：b的值为．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）当a＝　1　 时，分式的值为0．
【分析】根据分式值为零的条件可得a﹣1＝0，且a﹣3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1＝0，且a﹣3≠0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
12．（3分）因式分解：m2﹣m＝　m（m﹣1）　 ．
【分析】结合多项式的特点，直接应用提取公因式法进行因式分解即可．
【解答】解：m2﹣m＝m（m﹣1）
故答案为：m（m﹣1）．
13．（3分）若分式的值为零，则x的值为 　3　 ．
【分析】根据分子为零的条件进行解题即可．
【解答】解：当分式的值为零时，x2﹣9＝0且x+3≠0．
解得x＝3．
故答案为：3．
14．（3分）小颖在解分式方程2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是　1　 ．
【分析】由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，分式方程去分母转化为整式方程，把x＝3代入计算即可求出所求．
【解答】解：去分母得：x﹣2＝△+2（x﹣3），
由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：△＝1．
故答案为：1．
15．（3分）某市今年2月份10天的空气污染指数统计如图所示．若规定污染指数依次在0～50，51～100，101～150范围的空气质量为优、良、轻度污染，则这10天中，该市空气质量属优、良的共有 　8　 天．
【分析】直接利用折线统计图得出该市空气质量属优、良的天数，即可得出答案．
【解答】解：∵规定污染指数依次在0～50，51～100，101～150范围的空气质量为优、良、轻度污染，
∴这10天中，该市空气质量属优、良的共有8天，
故答案为：8．
16．（3分）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）．若∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，则∠ABC＝ 　31　 °．
【分析】根据折叠的性质得出∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2，进而利用平角的定义解答即可．
【解答】解：由折叠可知，∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2，
∵CB∥AE，
∴∠CBA＝∠BAE，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，
设∠DBE＝3x，∠CAB＝2x，
∴∠CBA＝2x，
∴3x+3x+2x+56°＝180°，
解得：x＝15.5，
∴∠ABC＝31°，
故答案为：31．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
（1）；
（2）1．
【分析】（1）是一元一次方程组，可使用相加消元法，消去一个未知数，进而解出x、y之值．
（2）按照分式方程求法，求之可得．
【解答】解：（1），
①+②得：3x＝﹣9，
∴x＝﹣3，
把x＝﹣3代入①得：y＝﹣9，
∴原方程组的解为．
（2）去分母得：2（1+x）+（1﹣x）（1+x）＝x（1﹣x），
即2+2x+1﹣x2＝x﹣x2，
∴x＝﹣3，
经检验：x＝﹣3是原方程的根．
∴原方程的根为x＝﹣3．
18．（6分）小明在计算a（2+a）﹣（a﹣2）2时，解答过程如下：
a（2+a）﹣（a﹣2）2
＝2a+a2﹣（a2﹣4）…第一步
＝2a+a2﹣a2﹣4…第二步
＝2a﹣4…第三步
小明的解答从第 　一　 步开始出错，请写出正确的解答过程．
【分析】根据完全平方公式进行判断，然后改正即可．
【解答】解：从第一步开始出错，
改正：a（2+a）﹣（a﹣2）2
＝2a+a2﹣（a2﹣4a+4）
＝2a+a2﹣a2+4a﹣4
＝6a﹣4．
故答案为：一．
19．（8分）请将下列证明过程补充完整．
如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．
求证：∠E＝∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD＝180°（ 　已知　 ），
∴　AB∥CD　 （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠B＝∠DCE（ 　两直线平行，同位角相等　 ）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DCE（等量代换）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠DFE（ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．
【解答】证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DCE（等量代换）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；AB∥CD；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
20．（8分）某校组织学生进行“青年大学习”知识竞赛活动，竞赛成绩分为ABCD四个等级，根据某班竞赛结果分别制作了条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）求该班学生的总人数，并补全条形统计图．
（2）求出扇形统计图中C等级所对应的扇形圆心角度数．
（3）已知全校共400名学生，现选取每班知识竞赛A等级的学生参加校级竞赛，请你估算参加校级竞赛的人数．
【分析】（1）由两个统计图可知，“D等级”的频数是10人，占调查人数的25%，根据频率可求出答案；
（2）求出“C等级”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出样本中“A等级”所占的百分比，即可估计总体中“A等级”学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）10÷25%＝40（人），
“C等级”的人数为：40﹣4﹣20﹣10＝6（人），
答：该班学生的总人数为40人，补全统计图如下：
（2）360°54°，
答：扇形统计图中C等级所对应的扇形圆心角度数是54°；
（3）40040（名），
答：参加校级竞赛的大约有40名．
21．（10分）仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，
由题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
则有，解得，
所以另一个因式为x﹣7，m的值是﹣21．
问题：请仿照上述方法解答下面问题，
（1）若x2+bx+c＝（x﹣1）（x+3），则b＝　2　 ，c＝　﹣3　 ；
（2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式为2x﹣3，求另一个因式以及k的值．
【分析】（1）将（x﹣1）（x+3）展开，根据所给出的二次三项式即可求出b、c的值；
（2）设另一个因式为（x+p），得2x2+5x+k＝（x+p）（2x﹣3）＝2x2+（2p﹣3）﹣3p，可知2p﹣3＝5，﹣3p＝k，继而求出p和k的值及另一个因式．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝x2+bx+c，
∴b＝2，c＝﹣3；
故答案为：2，﹣3；
（2）设另一个因式为x+p，
由题意得：2x2+5x+k＝（x+p）（2x﹣3），
即2x2+5x+k＝2x2+（2p﹣3）x﹣3p，
则有，解得
所以另一个因式为x+4，k的值是﹣12．
22．（10分）“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同．
（1）求出鸭头和兔头的单价．
（2）某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案．
【分析】（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为（23﹣x）元，根据用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买鸭头m个，兔头n个，根据某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
【解答】解：（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为（23﹣x）元，
由题意得：，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴23﹣x＝15，
答：鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元；
（2）设购买鸭头m个，兔头n个，
由题意得：8m+15n＝320，
整理得：m＝40n，
∵m、n均为正整数，
∴或，
∴有2种购买方案：
①购买鸭头25个，兔头8个；
②购买鸭头10个，兔头16个．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm． （裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　9　 张和坐垫 　3　 张． 方法三：裁切靠背 　6　 张和坐垫 　2　 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：15m+35n＝240，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，可得：，解方程组可得答案．
【解答】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：，
解得：，
∵57+88＝145（张），
∴需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用88张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
24．（12分）小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，GH∥MN，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板DEF向右平移．
①如图2，当点E落在线段AC上时，求∠AEF的度数．
②如图1，在三角板DEF平移过程中，连接CE，记∠BCE为α，∠CEF为β，当点E在BC左侧时，β﹣α的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与另一三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】问题解决：①证明GH∥MN∥EH，∠AEF＝∠AEH+∠FEH＝75°；
②∠ECT＝360°﹣∠ECB﹣∠BCT＝360°﹣α﹣90°＝270°﹣α，在四边形FECT中，∠EFD+∠FTC+∠TCE+∠FEC＝360°，即45°+β+270°﹣α＝360°，即可求解；
思维拓展：当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°﹣180°，列式求解即可．
【解答】解：问题解决：①过点E作EH∥GH，
∵GH∥MN，故GH∥MN∥EH，
∴∠AEH＝∠CAB＝30°，∠HEF＝∠EFD＝45°，
∴∠AEF＝∠AEH+∠FEH＝75°；
②延长AC交MN于点T，
∵GH∥MN，则∠MTA＝∠BAC＝30°，
则∠ECT＝360°﹣∠ECB﹣∠BCT＝360°﹣α﹣90°＝270°﹣α，
在四边形FECT中，∠EFD+∠FTC+∠TCE+∠FEC＝360°，即45°+β+270°﹣α+15°＝360°，
则β﹣α＝15°为定值；
思维拓展：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，
即2t°＝t°+30°，
∴t＝30；
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
当DF∥BC时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120；
②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠MDE＝∠HAC，
即2t°﹣180°﹣90°＝t+30°，
∴t＝300（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的t的值为30s或120s
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