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贵州省黔南州2024-2025学年高一下学期期中过程性质量监测数学试卷
一、单选题
1．若复数，则z的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形是边长为2的正方形，在斜二测画法下，其直观图的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
4．以下四个命题中，其中正确的是（ ）
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（3）平行于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行．
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（4） D．（2）（3）
5．已知向量满足，且，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
6．已知为单位向量，当向量与的夹角为时，向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．512 B．256 C．128 D．64
8．在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中，正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱
B．圆柱的每个轴截面都是全等的矩形
C．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．有两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
10．如图，在长方体中，．E，F，G，H分别为，的中点，下列说法正确的是（ ）

A．长方体外接球的表面积为
B．与所成角的余弦值为
C．平面
D．与平面所成角的正切值为
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则角A的度数是
B．若，则面积的最大值为
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰三角形
三、填空题
12．在平行四边形中，已知点E在线段上，且，设向量，用表示，则 ．
13．在中，已知，面积，则 ．
14．某数学兴趣小组为测量某地山的高度，得到如下数学模型：选择与山底在同一水平面的两个测量基点C，D且两基点的距离为．点B为山顶A在山底面内的投影，测得，，在基点C处测得山顶A的仰角为，则此山的高度为 m．
四、解答题
15．已知复数，且为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若复数，求以及它的共轭复数．
16．已知向量．
(1)求的坐标及；
(2)若向量，求与的夹角的余弦值．
17．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)若，求侧面与底面所成角的余弦值．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且．
(1)判断的形状；
(2)若，求周长的最大值．
19．我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．

(1)求的“广义坐标”；
(2)求向量与的夹角的余弦值；
(3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A D B A B AB AD
题号 11
答案 AC
1．C
根据复数虚部的定义求解即可.
【详解】复数的虚部为.
故选：C.
2．D
由同角三角函数的关系可得.
【详解】因，故，
，
故选：D
3．C
求出原图形的面积，进而原图形和直观图面积关系得到答案.
【详解】正方形的面积为，
故在斜二测画法下，其直观图的面积为.
故选：C
4．A
根据平行公里判定（1）;利用线面垂直的性质判定（2）；易于找到反例否定（3）（4）.
【详解】对于（1），根据平行公里，平行于同一条直线的两条直线平行，（1）正确；
对于（2），由线面垂直的性质可得，垂直于同一条直线的两个平面平行，（2）正确；
对于（3），平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交，（3）错误；
对于（4），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，异面或相交，（4）错误.
故选：A
5．D
根据平面向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】由，，
则.
故选：D.
6．B
利用投影向量公式进行求解即可.
【详解】向量在上的投影向量.
故选：B
7．A
根据正四棱锥及其外接球的特征，利用勾股定理求得底面对角线的一半的长，再求得底面正方形的边长和正四棱锥的侧棱长，利用余弦定理求得侧面的顶角余弦值，计算正弦值，利用三角形面积公式计算一个侧面的面积，进而求得全面积.
【详解】如图，在正四棱锥中，设底面的中心为，外接球的球心为，
则，，则，
在中，，
则在正方形中，，则，
又，
则，
所以，
则，
正方形的面积为，
则正四棱锥的表面积为.
故选：A.
8．B
在以为圆心，1为半径的圆上，建立平面直角坐标系，设，，表达出，其中，求出最值，得到答案.
【详解】为所在平面上一动点，且，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
故，设，，
则
，其中，
故当时，取得最小值，最小值为-12，
当时，取得最大值，最大值为14，
故的取值范围为.
故选：B
9．AB
根据截面性质可判断BC，根据直棱柱、棱台的定义可判断AD.
【详解】对于A，根据直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，故A正确；
对于B，根据圆柱的特点可知，圆柱的每个轴截面都是全等的矩形，故B正确；
对于C，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分才是圆台，故C错误；
对于D，根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，且各条侧棱所在直线要交于一点，故D错误.
故选：AB.
10．AD
对于A，根据长方体外接球的直径即为体对角线，进而求出外接球的半径，再求解其表面积，即可判断；对于B，设中点为，连接，可证明，得到为与所成角（或补角），进而求解判断即可；对于C，连接，易得，进而判断即可；对于D，连接，易得平面，可得为与平面所成角，进而求解判断即可.
【详解】对于A，长方体外接球的直径即为体对角线，
则其外接球的半径为，
则其外接球的表面积为，故A正确；
对于B，设中点为，连接，
在长方体中，由于F，G，H分别为，的中点，
所以，，
则四边形为平行四边形，则，
所以为与所成角（或补角），
因为，
所以，
则，，
则，，
又，则，
在中，，
则与所成角的余弦值为，故B错误；

对于C，连接，
因为E，F分别为的中点，所以，
在长方体中，，则，
而与平面相交，则不平行于平面，故C错误；

对于D，连接，由B知，，
在长方体中，平面，
则平面，又平面，则，
所以为与平面所成角，
由，
所以，，，
则，
所以在中，，故D正确.

故选：AD.
11．AC
A选项，由余弦定理得到，求出；B选项，由余弦定理和基本不等式求出，进而求出面积的最大值；C选项，由向量数量积运算法则化简得到，故，C正确；D选项，由二倍角公式和正弦定理得到，故或，D错误.
【详解】A选项，，
故，
又，故，A正确；
B选项，，由余弦定理得，
故，由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
故，
面积的最大值为，B错误；
C选项，若，则，
即，，
所以，，
因为，所以，为等腰三角形，C正确；
D选项，若，则，
，，
因为，所以或，
所以或，则为等腰三角形或直角三角形，D错误.
故选：AC
12．
根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意.
故答案为：.
13．
根据三角形的面积公式可求得，再结合二倍角公式求解即可.
【详解】在中，，
则，即，
则.
故答案为：.
14．
先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可.
【详解】在中，，，，
所以，
由正弦定理得，即，解得，
在中，，所以，
即山的高度为.
故答案为：.
15．(1)
(2)，
（1）化简得到，根据纯虚数，得到方程，求出，得到答案；
（2）利用复数除法法则得到，利用模长公式和共轭复数得到答案.
【详解】（1），
由于为纯虚数，故且，
解得，所以；
（2），
故，.
16．(1)，
(2)
（1）根据平面向量的线性运算和模的坐标表示求解即可；
（2）根据平面向量的线性运算和夹角余弦的坐标表示求解即可.
【详解】（1）由，
则，
则.
（2）由，
则，
则，
且，
所以.
即与的夹角的余弦值为．
17．(1)证明过程见解析
(2)
（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，证明出线面平行；
（2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用法向量的夹角公式求出面面角的余弦值.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为为的中点，所以且，
因为底面为矩形，，为的中点，
所以且，
故且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）取的中点，的中点，连接，
因为为正三角形，故⊥，
因为侧面底面，交线为，平面，
所以⊥底面，
又⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
又，故，，
故，，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，所以，
又底面的法向量为，
设侧面与底面所成角大小为，
所以
侧面与底面所成角余弦值为.
18．(1)为钝角三角形，理由见解析
(2)
（1）根据向量垂直得到方程，结合正弦定理和余弦定理得到，所以为钝角三角形；
（2）在（1）基础上，得到，由基本不等式求出最值.
【详解】（1），故，
由正弦定理得，即，
所以，
又，所以，
所以为钝角三角形；
（2）由（1）知，
又，故，
即，
由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以，周长的最大值为
19．(1)
(2)
(3)
（1），故，得到“广义坐标”为；
（2）计算出，，，故；
（3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为.
【详解】（1）由题意得，
故，
故的“广义坐标”为；
（2）由题意得，，
故
，
，故，
，故，
所以向量与的夹角的余弦值为；
（3）在平面直角坐标系中，，
设，向量在平面直角坐标系中的坐标为，
所以，
所以，解得，
故向量的“广义坐标”为.

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