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应用题典型考点 押题练
2025年中考数学三轮复习备考
一、解答题
1．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学兴趣小组举行了一次数学知识竞赛，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．已知每支钢笔的售价比自动铅笔贵，且购买10支自动铅笔和5支钢笔共花费90元．求每支自动铅笔和钢笔的售价分别为多少元．
2．第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：
※ 每个大盘的批发价比每个小盘多120元； ※※ 一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘； ※※※ 每套组合瓷盘的批发价为320元．
根据以上信息：
（1）求每个大盘与每个小盘的批发价；
（2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该商户计划将一半的瓷盘按每套500元成套销售，其余按每个大盘300元，每个小盘80元零售．设该商户购进大盘个，
①试用含的关系式表示出该商户计划获取的销售额；
②请帮助他设计一种获取销售额最大的方案，并求出最大销售额．
3．某商场新购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价．
(2)该商场计划购进甲、乙两种商品共90件，且购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍．若甲商品按每件160元销售，乙商品按每件90元销售．
①为满足销售完甲、乙两种商品后获得的总利润不低于3300元，则购进甲商品的件数最多为多少件？
②随着甲商品销量的逐渐增加，以及乙商品销量的逐渐减少，于是总部下达命令：商场要调整销售策略，要求甲商品每件销售利润随销售数量的变化而变化．当购进甲商品n件时，甲每件利润变为元，乙每件利润仍然为30元，求当甲商品购进多少件时，商场获得利润最大？
4．某地中考体育加试规定，除1000米跑步（女生为800米）、立定跳远和坐位体前屈三项为必考项目外，学生还需要在篮球和足球中选择一项作为选考项目．
某校九（1）班共50名学生，需要各选择篮球和足球项目中的一项进行训练，班委会准备根据学生的选择购买相应的球类（每人只能选择一项），以下是经过调查，体育用品商店的球类售价信息及团体优惠方案：
类别 单价 团体优惠方案
篮球 60元 方案一：购买篮球满30个及以上打9折； 方案二：购买足球满30个及以上打8折； 方案三：总费用满2800元立减250元
足球 50元
温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用
(1)经统计，有30人已经确定购买篮球或足球，其余20人未确定．若已经确定购买的30人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为1750元．
①请求出目前各有多少人选择篮球或足球；
②设剩余的20名同学中有人选择篮球，该班购买总费用为元，当全班选择篮球人数不少于30人时，在不考虑方案三的前提下，请求出与之间的函数关系式；
(2)篮球和足球各购买多少个时，在不同的方案中，该班购买总费用最低 并求出这个最低费用．
5．长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设．
(1)已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？
(2)已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？
6．随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？
7．某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同．
(1)求甲、乙两种花木的单价；
(2)现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案．
8．新年前夕，国家主席习近平通过中央广播电视总台和 互联网，发表二○二五年新年贺词，其中提到：“我们因地制宜培育新质生产力，新产业新业态新模式竞相涌现，新能源汽车年产量首次突破1000万辆，集成电路、人工智能、量子通信等 领域取得新成果．”随着新能源汽车的发展，某市计划引进一批新能源公交车投入运营．新能源公交车有两种车型，若购买A型公交车30辆，B型公交车10辆，共需2600万元；若购买A型公交车20辆，B型公交车30辆，共需3600万元．
(1)求购买A型和B型新能源公交车每辆分别需要多少万元．
(2)交通管理部门调研发现：A型新能源公交车适合支线道路运营，B型新能源公交车适合主干道运营．若本批次计划购买两种新能源公交车共80辆，且支线道路运营车辆不超过主干道运营车辆为，请问分别购买多少辆两种新能源公交车可使得政府投入的费用最少？并求出最少费用．
9．为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同．
(1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？
(2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共15台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
10．截至年月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还解决了旺季人手短缺的问题．某邮政快递运营区现有名揽投员，为驿站提供快递配送服务．现计划在该运营区试点投放辆无人车，和揽投员组成“工作搭子”已知该运营区旺季期间日均投递总量不低于件，每位揽投员日均投递量是每辆无人车日均投递量的，则旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为多少件
11．2025年4月23日是第30个世界读书日．主题为“通往未来的桥梁”，为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》10套和《平凡的世界》8套，总费用为900元；八年级订购《骆驼祥子》14套和《平凡的世界》6套，总费用为870元．
(1)求《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套各是多少元？
(2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《平凡的世界》共32套，购买《骆驼祥子》的数量不超过《平凡的世界》的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用．
12．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍.
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？
参考答案
1．每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元，根据题意列一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：设每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元，
根据题意得
，
解得，
，
答：每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元．
2．（1）大盘160元，小盘40元；（2）①，②购进50个大盘，268个小盘，并按照既定方案全部销售完，可以获得最大销售额33440元．
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可；
（2）①根据题意列出函数关系式；②根据①的结论，结合题中所给信息列出一元一次不等式设计方案即可
【详解】（1）解：设每个大盘与每个小盘的批发价分别为元，
根据题意，得：
解得：
答：每个大盘的批发价为160元，每个小盘的批发价为40元．
（2）①设销售额为,则
②该商户购进大盘个，则购进小盘个；根据题意，
解得：
，随的增大而增大，
当时，有最大值，
（元）
此时小盘有：（个）
即当购进50个大盘，268个小盘，并按照既定方案全部销售完，可以获得最大销售额33440元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，根据不等式设计方案，找准题中的等量关系列出函数关系式是解题的关键．
3．(1)甲商品每件进价为100元，乙商品每件进价为60元
(2)①购进甲商品的件数最多为30件；②当甲商品购进90件时，商场获得利润最大，最大利润为4590元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是：
（1）设甲商品的进价是x元/件，乙商品的进价是y元/件，根据“购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元”列方程组求解即可；
（2）①设购进m件甲商品，则购进件乙商品，根据“购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍；总利润不低于3300元”列不等式组求解即可；
②设总利润为 W 元，根据总利润=甲的利润+乙的利润求出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲商品的进价是x元/件，乙商品的进价是y元/件，
根据题意，得：，
解得，
答：甲商品每件进价为100元，乙商品每件进价为60元；
（2）解：①设购进m件甲商品，则购进件乙商品．
根据题意，得：，
解得：， 所以m的最大值为30．
答：购进甲商品的件数最多为30件；
②设总利润为 W 元， 则．
∴．
∵，，，又，
∴开口向下，W有最大值．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
但因为总共购进90件，
∴n的取值范围是．
∵当时，W随n的增大而增大，
∴当时，W的值最大，即 ．
4．(1)①25人选择篮球，则5人选择足球；②
(2)选择购买篮球30个，购买足球20个该班购买总费用最低，最低为2550元
【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）①设人选择篮球，则人选择足球，列出方程求解即可；
②分两种情况：若选择方案一和若选择方案二，分别求解即可；
（2）把三种方案的利润全部计算出来即可．
【详解】（1）解：①设已经确定购买的30人中，人选择篮球，则人选择足球，根据题意，得：
解得：
∴
答：25人选择篮球，则5人选择足球；
②若选择方案一：
∵全班选择篮球人数不少于30人，总人数为50人
∴选择足球人数少于20人
∴购买篮球可享受9折，购买足球不享受打折
∵未确定的同学中有人选择篮球
∴有人选择足球，，则
∴；
∵购买足球人数少于20人
∴不能享受方案二；
综上：与之间的函数关系式为：；
（2）若选择方案一
由②得：
∵其余20人未确定
∴
∴
∵
∴随的增大而增大.
∴时，；
若选择方案二.
由①得5人选择足球，剩余20人全部选择足球也不够30人，所以不能选择方案二
若选择方案三
未优惠前的总费用为：元
∵
∴
∴
∵
∴随的增大而增大
∴时，
∵2620>2550
∴选择方案三较优惠
∴，
∴选择购买篮球30个，购买足球20个该班购买总费用最低，最低为2550元．
5．(1)租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台
(2)最多可以租赁10台大挖掘机
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设租赁大、小挖掘机分别为台、台，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设租赁大挖掘机台，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设租赁大、小挖掘机分别为台、台，
根据题意得：，
解得：，
故租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台．
（2）解：设租赁大挖掘机台，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以租赁10台大挖掘机．
6．(1)甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元
(2)购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论；
【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元，
由题意得：
解得：
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元．
（2）设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需总费用为万元，
由题意得：
∵
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
此时，
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少．
7．(1)甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元
(2)购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设需要购买棵甲种花木，总费用为W元，先列不等式求得，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元，
由题意得：，解得：，
答：甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元；
（2）解：设需要购买棵甲种花木，则购买棵乙种花木，
由题意得：，解得：，
设总费用为W元，
则，
∵，
∴当时，取最小值，
此时乙种花木的数量为（棵），
答：购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少．
8．(1)购买A型新能源公交车每辆需要60元，购买B型新能源公交车每辆需要80元；
(2)购买A型新能源公交车16辆、B型新能源公交车64辆可使得政府投入的费用最少，最少费用为6080万元．
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法、一次函数的增减性是解题的关键．
（1）分别设购买A型和B型新能源公交车每辆的价格为未知数，根据题意列二元一次方程并求解即可；
（2）设购买A型新能源公交车m辆，则购买B型新能源公交车辆，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，设投入的费用为w元，写出w关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时w的值最小，求出其最小值及此时的值即可．
【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需要a元，购买B型新能源公交车每辆需要b元．
根据题意，得
，
解得，
答：购买A型新能源公交车每辆需要60元，购买B型新能源公交车每辆需要80元；
（2）解：设购买A型新能源公交车m辆，则购买B型新能源公交车辆，
根据题意，得，
解得，
设投入的费用为w元，则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∵，
∴当时w的值最小，，
（辆）．
答：购买A型新能源公交车16辆、B型新能源公交车64辆可使得政府投入的费用最少，最少费用为6080万元．
9．(1)航拍无人机单价是1250元，编程机器人的单价是1100元
(2)购买编程机器人10台，航拍无人机5台时，总花费最少，最少为13800元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，根据题意找到数量关系列出方程、不等式与函数式是解题的关键．
（1）设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元；根据等量关系：用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同，列出分式方程并求解即可，注意要检验；
（2）设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台，由题中不等关系可确定m的取值范围；设购买两种设备的总费用为w元，根据题意可列出函数关系式，从而求得最小花费．
【详解】（1）解：设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元；
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
则；
答：航拍无人机单价是1250元，编程机器人的单价是1100元；
（2）解：设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台，
由题意得：，解得：；
设购买两种设备的总费用为w元，则，
整理得：；
∵，且，
∴当时，w最小，最小值为13800元；
此时购买航拍无人机为（台）；
答：购买编程机器人10台，航拍无人机5台时，总花费最少，最少为13800元．
10．至少为件
【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键．设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件，根据数关系列式求解即可．
【详解】解：设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件，
根据题意，得：，
解得：．
∵为整数，
∴的最小值为．
答：旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为件．
11．(1)《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套价格分别是30元，75元
(2)学校购买购买《骆驼祥子》21套，则购买《平凡的世界》11套，所需费用最小为1455元
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）设：《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套价格分别是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买《骆驼祥子》套，则购买《平凡的世界》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为元，则，根据一次函数性质求出结果即可．
【详解】（1）解：设：《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套价格分别是元，
由题意可得：
解得
答：《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套价格分别是30元，75元；
（2）设购买《骆驼祥子》套，则购买《平凡的世界》套
由题意可知：，
解得：
设所需费用为元，则，
随的增大而减小，
当时，
有最小值为：
此时，（套）
答：学校购买购买《骆驼祥子》21套，则购买《平凡的世界》11套，所需费用最小为1455元．
12．（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个.
【分析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证.
（2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解.
【详解】（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元
根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的根
所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元
（2）设种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得
解得
所以，种粽子最多能购进1000个
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键在于分式方程的解需要验证.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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