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二次函数典型考点 押题练
2025年中考数学三轮复习备考
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值．
2．如图,在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，的面积最大 并求出此时P点的坐标和的最大面积；
(3)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明．
3．已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，
(1)若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值；
(2)若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值；
(3)已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系．
4．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
(2)若四边形为矩形，．点M以每秒1个单位的速度从点C沿向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与相似时，求运动时间t的值；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点H、K，求证：为定值．
5．已知抛物线
(1)求该抛物线的对称轴方程及抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若 当 时，求函数y的取值范围，并说明理由；
(3)若 设直线 与抛物线 交于点 A，B，与抛物线 交于点 C，D，求线段与线段的长度之比．
6．抛物线经过点和点两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)点P是第二象限内的抛物线上一动点，作直线，连接．
①如图1，作轴，垂足为点E，作，垂足为点D，当时，求出直线的表达式；
②如图2，在①的条件下，设抛物线L在直线上方的部分为图象G，点F是图象G上的一点，将图象G沿直线翻折，若点F恰好落在x轴上，求出点F的横坐标．
7．已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）．
(1)求的值和的顶点坐标．
(2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
(3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，和点，与轴交于点，抛物线的对称轴是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
(3)连接，点是抛物线上一动点，连接，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求拋物线的解析式；
(2)当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标．
10．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值；
(3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标．
11．如图，抛物线与轴，轴分别交于三点（点在点的左侧），其中点，对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在抛物线上，过点作轴于点，过点的直线交轴于点，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，于点，求的最大值，以及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一个动点且在上方，当时，请求出符合条件的点的坐标．
12．如图1，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求该抛物线的表达式．
(2)当时，求四边形的面积．
(3)当时，求点P的坐标．
(4)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点P的横坐标．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)最大值为
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
（2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为 ，代入函数解析式有，即可求得点的坐标；
（3）如图，延长交轴于，过作轴交于，求解出，再求解直线的函数表达式为，设，则，写出，表达式，代入，利用二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，存在点，使四边形为菱形，
理由如下：在中，当，
∴，
假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点，
∵四边形为菱形，，
∴于点，，即点的纵坐标为，
由，得，（不合题意，舍去），
故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为；
（3）如图，延长交轴于，过作轴交于，
在中，令，得，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为，
设，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为．
2．(1)
(2)P点的坐标为；
(3)相交．证明解解析．
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）过P作y轴的平行线，交于Q；易求得直线的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出的最大面积及对应的P点坐标．
（3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴的方程及B、C的坐标，分别求出直线的解析式，再求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
【详解】（1）解：设抛物线为
∵抛物线经过点，
∴，
∴
∴抛物线为；
（2）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q；
在中，令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把点A，C的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴．
∵
∴当时，的面积最大为；
此时，P点的坐标为．
（3）解：相交．
证明如下：如图，设与相切于点E，连接，则，
∴，
∴抛物线的对称轴，
∴，
∵，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
∵，
∴抛物线的对称轴与⊙C相交．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，切线的性质，直线与圆的位置关系等知识；此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．(1)
(2)，详见解析；
(3)，详见解析
【分析】（1）分别将，代入对应抛物线解析式，解方程组即可得解；
（2）根据“和谐抛物线”的定义，结合抛物线的“和谐抛物线”过点，可得，设，得出，进而即可得解，
（3）根据“和谐抛物线”的定义，抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，求出点的坐标，根据矩形的性质可得，得出，将，，代入得出，再将代入上式，可得方程，解方程即可求解．
【详解】（1）设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，分别将，代入对应抛物线解析式，得，
解得；
（2）由题意可得，抛物线：的“和谐抛物线”为：，将点代入中，得，
∴,
∴,
设，
∵
∴，即，
∴，
∴时，取得最小值，
∴的最小值为；
（3）∵抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，
∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，，
∴，,
∵,
∴，
∴,
∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称，
∴四边形是平行四边形，
当平行四边形是矩形时，，
如图，过点P作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴代入，得
∴再将代入上式得，解得（舍去），（舍去），，
∴将代入得，
∴当四边形为矩形时，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、勾股定理和相似三角形的图象和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
4．(1)，
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）二次函数表达式可设为：，将、代入，解方程可得和的值，再利用顶点坐标公式可得点的坐标；
（2）根据秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．分两种情形，当时，得，解得；当时，得，解得；
（3）首先利用中点坐标公式可得点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，再根据直线与抛物线只有一个公共点，联立两函数解析式，可得，再求出点和的横坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
（2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）解：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线只有一个公共点，
只有一个实数解，
，
即：，
解得：，
设直线的解析式为,
把，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把，，得
，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键，属于中考压轴题．
5．(1)，和
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）根据对称轴公式求出对称，令求出抛物线与x轴的交点坐标；
（2）求出解析式，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可；
（3）联立直线和抛物线，求出线段与线段的长度，即可得出结果．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线2；
令，则：
∵，
∴，
解得
∴抛物线与 x 轴的交点坐标为和
（2）若，则
，对称轴为直线
∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，函数y有最大值，最大值为
且抛物线上的点离对称轴越远，y值越小，
∴当时，y的值最小，最小值为，
∴当 时，y的取值范围为．
（3）当时，
联立 ，
得
解得
联立 ，
得
解得
，
即线段与线段的长度之比为．
6．(1)
(2)①；②点 F 的横坐标是
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①连接，作轴于点，设，根据，求出的值，进而得到点的坐标，待定系数法求出的解析式即可；②设点的对应点为，连接交于点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为点，为的中点，进而得到，进而得到，设，求出，进而求出点的坐标，代入直线的解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
连接，作轴于点，设，
∵轴，轴，
则：，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
直线的解析式为，
则：，解得：，
∴；
②设点的对应点为，连接交于点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为点，则：，
∵对称，
∴垂直平分，
∴为的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
，
∴，
∴，
把代入，
得：，
解得：（舍去）；
故的横坐标为．
7．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解；
（3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，根据顶点坐标求最值即可．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得，
，
顶点坐标为；
（2）解：联立得，
整理得
∴两个图形一定有交点，
整理得
∴当时，无论取何值，
由（1）得，的顶点坐标为，
∴与总交于一个定点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：
如图所示，
当时，抛物线，
平移之后顶点坐标为，即
∴平移之后
，此二次函数抛物线开口向下，
可求顶点横坐标为，，
∴顶点纵坐标为最大值
当时，代入二次函数得，
∴面积的最大值
8．(1)
(2)
(3)存在，点或使得
【分析】（1）确定抛物线的对称轴是直线，再利用待定系数法进行解答即可；
（2）连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，进一步解答即可；
（3）画出图形，分两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，交轴于点，
抛物线的对称轴是直线，
，
解得
抛物线的表达式为
（2）连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，
设直线交轴于，如图：
在中，令得，
解得或，
，
，
将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点，
，
，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，
，
，
的最小值为．
（3）过点作交对称轴于点，交抛物线于点，
，
在中，，
，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
则，
设表达式为
，
解得，
直线的表达式为：，
，
解得，
点的坐标为，
作点关于轴的对称点，
同理可求得直线的表达式为：，
联立抛物线表达式可求得，
综上所述，存在点或使得．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握解直角三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键
9．(1)该抛物线的解析式为；
(2)点P的坐标为，的最大值为；
(3)点M的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）过点P作轴交直线于点E，设，进而表示出点的坐标，证明，列出比例式，将转化为二次函数求最值即可；
（3）设，则，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）当时，
∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）如图，设，则
∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．
10．(1)直线解析式为；抛物线表达式为
(2)线段的最大值为
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解；
（3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：，
解得：，
∴；
上式中令，得，即；
∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称，
∴;
设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：如图，设交y轴于点E，
当时，，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
过F作轴交于点N，则，
∴为等腰直角三角形，
∴；
设，则，
∴，
由于二次项系数为负，则当时，有最大值，
∴；
即的最大值为；
（3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
即；
设直线的解析式，则有，解得，
∴直线的解析式，
上式中令，则，即；
设，
∵四边形为矩形，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得：，即；
∵，
∴由平移得；
如图，当点P在的左边时，
同理：由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
由平移得：；
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键．
11．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，待定系数法求解析式，锐角三角函数比，平移的性质，函数图象的对称性，求交点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线．
（1）利用对称轴求出，将代入解析式即可求解；
（2）过点作轴，交于点，令，利用三角函数比表示出，证明，继而可得，设点，则点，利用完全平方公式整理代数式即可得到最值；
（3）根据平移的性质得出，作，根据条件得出，进而根据点的坐标得，根据图象的对称性得出直线的表达式为 ，新抛物线解析式和此直线解析式联立即可得出结果．
【详解】（1）解：∵对称轴为，
将代入得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，交于点，令，
∵，，
∴，，
直线的表达式为：，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，
由等角的余角相等可得，
，
设点，则点 ，
而， 则 ，
即的最大值为，此时，点；
（3）解：
新抛物线的表达式为 ，
由点的坐标，可得，
作，
， ，则，
由可求点坐标为
由点的坐标易得，
则直线的表达式为：，
根据图象的对称性，直线的表达式为: ，
联立上式和新抛物线的表达式得：，
解得：(舍去) 或，
即点．
12．(1)抛物线的表达式为；
(2)；
(3)点P的坐标为或；
(4)点P的横坐标为或．
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质、锐角三角函数、正方形的性质、勾股定理等知识点；熟练运用分类讨论和化归的数学思想方法成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，再令求得x的值，然后确定，最后根据梯形的面积公式即可解答；
（3）设点P的坐标为．然后分点P在x轴上方和下方两种情况，分别运用正切的定义求解即可；
（4）先根据待定系数法可得直线的表达式为，然后结合抛物线解析式以及性质可设设点P的坐标为，则点Q的坐标为．然后分点P在对称轴左侧和左侧两种情况，分别根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点A，B的坐标分别代入抛物线表达式，得
，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：由抛物线的表达式，知点C的坐标为．
当时，点P的纵坐标为4，
∴，解得，（舍去）．
∴．
∴
（3）解：∵点D是的中点，
∴点D的坐标为．
∴．
设点P的坐标为．
①如图1，当点P在x轴上方时，作轴于点E．
∵，
∴．
∴，解得，（舍去）．
∴点P的坐标为；
②如图2，当点P在x轴下方时，作轴于点E．
与①同理，可得，
∴，解得，（舍去）．
∴点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或．

（4）解：∵，
∴．则．
设直线 的表达式为
∵
∴
∴直线的表达式为．
由（1），知抛物线的表达式为．
∴抛物线的对称轴为直线．
当点Q落在直线上时，点M也落在直线上，
∴点M的坐标为．
设点P的坐标为，则点Q的坐标为．
①当点P在对称轴左侧时，
∵，
∴，解得，（舍去）；
②当点P在对称轴右侧时，
∵，
∴，解得，（舍去）．
综上所述，点P的横坐标为或．
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