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几何图形典型考点 押题练
2025年中考数学三轮复习备考
一、解答题
1．综合与实践
学行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动．
勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点．
（1）任务1：初步探究．
求证：．
创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ．
（2）任务2：猜想与验证．
猜想，之间的数量关系，并加以证明．
开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ．
（3）任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值．
2．如图，点是边长为的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处．
(1)把纸片展平，射线交于点，交于点，判断图1中与的数量关系，并说明理由；
(2)在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，求出线段的长度；
(3)在（1）条件下，如图3，点是对角线的交点，连接，若，求线段的长．
3．同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！
【Ⅰ．“手拉手”模型】
如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接．
（1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ．
（2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：．
【Ⅱ．“黄金三角形”】
（3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比．
（4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比．
满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值．
4．综合与实践
问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图①，四边形和四边形均为正方形，且点G在上，连接，，则与怎样的数量关系和位置关系．

猜想定论：
（1）猜想题目中的问题：与的数量关系是 ，位置关系是 ；
探索验证：
（2）如图②，将正方形以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使得过点B（即点B在上），此时（1）中的结论是否成立，请说明理由；
拓展深入：
（3）如图③，在图②的基础上，过点A作于点H，若，，请直接写出线段的长度．
5．【模型建立】
（1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系；
【模型应用】
（2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积．
6．如图，四边形为正方形，且，P为上一点（点P不与O，C重合）．
(1)如图1，点P在线段上，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．若，求的长．
(2)如图2，点P在线段的延长线上，连接，过点P作的垂线，与的平分线交于点Q，试判断与的大小关系，并加以证明．
(3)在（2）的条件下，连接，，请直接写出的周长的最小值．
7．【定义阅读】
若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”．

【定义理解】
（1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧，
①与的数量关系是_____；
②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____；
【性质操作】
（2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由；
【思维拓展】
（3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长．
8．已知和都是等腰直角三角形，．

（1）如图1：连，求证：；
（2）若将绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在边上时，求证：；
②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长．
9．已知正方形的边长为，等腰直角三角形的锐角顶点与正方形的顶点重合，将此三角形绕点旋转，两边分别交直线于点，旋转过程中，等腰直角三角形的边与正方形没有交点．
(1)如图1，当分别在边上时，学习小组通过测量发现，请给出证明；
(2)如图2，当分别在的延长线上时，请写出之间的数量关系，并给予证明；
(3)在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形边上的中点，求出此时的长．
10．【特例感知】
在正方形中，点，分别在边，上，与相交于点．
（1）如图，若点，分别是，的中点，则______；
如图，若点是的中点，，则______．
【类比探究】
在菱形中，，点，分别在，上，对角线，相交于点，与相交于点，连接交于点．
（2）如图，若，分别是，的中点，求的值；
如图，若，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值．
参考答案
1．（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证；
（2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证；
（3）过点作于点，证明得出，设，则，进而得出，在中，，根据勾股定理求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点
∴
∴
∴．
（2），
如图，取的中点，连接，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴
∴
（3）解：如图，过点作于点
同理（1）可得
∵，，
∴，
∵
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，则
∴
∴
设，则
∴
∴
∵，，
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴
在中，
∴
解得：．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由折叠轴对称性可得：，，易证，得出，即可证明出；
（2）由折叠轴对称性可得：，，，通过导角易证，设，由（1）和点是的中点，得，，在中，，即，求出后，即可求出线段的长；
（3）先通过勾股定理，求出，，，再证明，得，可求出，可得，由，可得，又因为，可得，可得，即可求出线段的长．
【详解】（1）解：，理由如下：
正方形沿着折叠，点落在点处，
由折叠轴对称性可得：，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
（2）正方形纸片的边长为，
，，，
，
由折叠轴对称性可得：，，，
又，
，
设，
点是的中点，
，
由（1）得，，
，
，
在中，，
，
，
；
（3），
，
在中，，
，
在中，，
正方形的对角线交于点，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、理解“折痕是对称点连线的垂直平分线”是解题的关键．
3．（1）垂直，（2）见解析（3）（4）①②
【分析】（1）连接并延长交于，根据等腰三角形的判定和性质，推出，四点共圆，进而得到，推出与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果；
（2）作于，作，交的延长线于点，连接，同（1）推出，得到，进而得到，变形得到，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证；
（3）根据黄金比的定义进行求解即可；
（4）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比，在，，底边与腰的长度之比为，，过点作于点，根据等腰三角形三线合一得，再根据正弦的定义可得解．
【详解】解：（1）连接并延长交于，

∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴与垂直；
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：垂直，；
（2）作于，作，交的延长线于点，连接，连接交于点，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图（3），设，，则，
∵，即，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴黄金比为；
（4）①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时：
如图，在，，底边与腰的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
②当等腰三角形的腰与底的比等于黄金比时：
如图，在，，腰与底边的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，黄金分割，全等三角形的判定和性质，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．
4．（1），；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）延长，交于点H，根据正方形的性质可得，，，从而，证得，，又，因此，进而，即；
（2）结论成立．延长，交的延长线于点H，同（1）同理可证，因此，，又，可得，进而得到，因此．
（3）根据勾股定理可得，根据面积公式可得，由（2）有，因此，，从而利用面积可求得的长．
【详解】（1）延长，交于点H，

∵四边形，都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）结论成立，理由如下：
延长，交的延长线于点H，

∵四边形，都是正方形，
∴，，，
∵,
即,
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3），
理由∵，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∵由（2）有，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
5．（1）；（2）；（3）10或26．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论；
（2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论；
（3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得．
【详解】解：（1）．理由如下：
由题意，得与均为等腰直角三角形，
，由勾股定理得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）．理由如下：
如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．
（3）如解图2，延长到点，使，连接．
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
如解图3，过点A作交于点E，则．
，
．
，
．
又，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的面积为10或26．
6．(1)
(2)．证明见解析
(3)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及正方形的性质，
（1）过点Q作于点H，证明，进而根据勾股定理求出结论；
（2）在延长线上取点D，使，在延长线上取点M，证明即可证明结论；
（3）先确定Q点在的平分线上运动，作点B关于的对称点，则点在上，连接交于点，则，根据勾股定理求出结论即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
如图，过点Q作交的延长线于点H，
四边形为正方形，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
在延长线上取点D，使，连接，在延长线上取点M，
四边形为正方形，
，
，
，
为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由（2）知，连接，，
点为直线上的动点，即Q点在的平分线上运动，
作点B关于的对称点，则点在上，连接交于点，
，
即当在同一直线上时的周长最小，
四边形为正方形，且，
，有，
在中，，
，
的周长的最小值为．
7．（1）①；②；（2）点与点是关于互为“和谐点”，理由见解析；（3）或
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）①利用线段垂直平分线的性质可得答案；
②根据题中定义可得，再根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质求得，，进而可求解；
（2）证明得到，进而可得，根据题中定义可得结论；
（3）分当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，当点F在线段上时三种情况，根据题中定义，结合勾股定理和矩形性质分别求解即可．
【详解】解：（1）①∵点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧，
∴；
②点与点关于互为“和谐点”，且，
，
又点与点都在线段的垂直平分线上，
，，
∴，，
∴；
（2）点与点是关于互为“和谐点”，理由如下：
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
又均为等腰三角形，其中，
点与点关于互为“和谐点”；
（3）∵四边形是矩形，，，
∴，，，
当点F在的延长线上时，如图，
∵点与点关于互为“和谐点”，
∴，，，
∴，
在中，，
∴；
当点F在的延长线上时，如图，
∵点与点关于互为“和谐点”，
∴，，，
∴，
在中，，
∴；
当点F在线段上时，不存在，故不存在点与点关于互为“和谐点”，综上，满足条件的的长为或．
8．（1）见解析；（2）①见解析；②或
【分析】（1）利用SAS定理证明即可；
（2）①连接，证明，即可证；
②当点N在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段上时，同理即可求得．
【详解】（1）证明：
即，
，
即．
和是等腰直角三角形，
，
（2）①证明：如图1，连接．
，
，
即．
和是等腰直角三角形，
，
，
，
．
是等腰直角三角形，
，
．
②或．
温馨提示：
如图2，当点N在线段上时，连接，设，
在中，，
；
如图3，当点M在线段上时，连接，设，
在中，
解得：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．
9．(1)证明过程见详解
(2)，理由见详解
(3)的长为或
【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三形的判定和性质，掌握旋转的性质是关键．
（1）根据题意，如图所示，将绕点顺时针旋转得，点重合，点对应点为点，则，，可证，由此即可求解；
（2）同理，如图所示，将绕点顺时针旋转得，点重合，点对应点为点，可证，得，由此即可求解；
（3）分类讨论：如图所示，点与中点重合时，设，则，，在中，由勾股定理列式求解即可；如图所示，经过中点，将绕点逆时针旋转得，设，，，在中，由勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图所示，将绕点顺时针旋转得，点重合，点对应点为点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
同理，如图所示，将绕点顺时针旋转得，点重合，点对应点为点，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，点与中点重合时，
∴，
结合上证明，设，则，，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，，
∴；
如图所示，经过与中点，将绕点逆时针旋转得，
同理可证，，
∵点是中点，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
在中，，
∴，
整理得，，
∴；
综上所述，的长为或．
10．（）；；（）；见解析；（）．
【分析】（）设与交于点，由四边形是正方形，得，，，，又点，分别是，的中点，则，，，设，则，则，然后通过即可求解；
由四边形是正方形，则，，然后证明，故，又点是的中点，所以，最后代入求值即可；
（）由四边形是菱形，得，，，又，分别是，的中点，故有，，由勾股定理得，证明是等边三角形，是等边三角形，设
，则，所以，，，由勾股定理得：，则，求出，再代入即可；
在的延长线上找一点，连接，使得，证明，则，再证明为等边三角形，则，所以，从而求证；
（）过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，证明，所以，设，，则，，又点为的中点，所以，则，整理得：，即，解出的值即可．
【详解】解：（）如图，设与交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理是等边三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
在的延长线上找一点，连接，使得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即；
（）如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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