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2025 年九年级学业水平考试模拟测试数学试题
注意事项:
本试题共 8 页，满分 150 分。考试时间为 120 分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上。
答选择题时，必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。答案写在试卷上无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.-5 的绝对值是（ ）
A. -5 B. C. D. 5
2.鲁班锁是起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构。如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（ ）
3.国家能源局等多部门发布《关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见》，提出了 2025 年全国可再生能源消费量达到 1100000000 吨标准煤以上等系列目标，数据 1100000000 用科学记数法表示为（ ）
A. 11×108 B. 1.1×108 C. 1.1×109 D. 1.1×1010
4.光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图是一块玻璃的a，b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，已知∠1=130 ，∠2=20 ，则∠3的度数为（ ）
A. 20 B.25 C. 30 D. 35
5.如图是一个正八边形的窗户，图中正八边形的内角和为（ ）
A. 1080 B. 900 C. 720 D. 540
6.下列运算正确的是（ ）
A. a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4 C. (a3)5=a15 D. 2a+5a=7a
7.小方家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，既可单盏开，也可两盏、三盏齐开，若小方任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，点A为反比例函数y= (x<0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B，已知OA=2，则OB的长度为（ ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
9.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，若AB=3ED，则的值是（ ）
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为 “方形点”，例如：(1, 1)，(, )，(, )...都是 “方形点”。下列结论：①直线y= 4x+3上存在 “方形点”；②抛物线y=x2 5x+3上的 2 个 “方形点” 之间的距离是4；③若二次函数y=ax2+3x+c(a≠0)的图象上有且只有一个 “方形点”(2, 2)，当 1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c(a≠0)的最小值为 8，最大值为 ，则实数m的取值范围是 1≤m≤4；其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第 II 卷（非选择题共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.若分式的值为 0，则x的值为 。
12.如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠B=80 ，∠BAD=140 ，则∠ACB的度数为 。
13.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90 ，∠BOC=30 ，在扇形AOB内随机选取一点D，则点D落在阴影部分的概率是 。
在一次女子 800m 测试中，小明和小晶同时起跑，同时到达终点；所跑的路程s(m)与所用的时间t(s)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 s。
15.如图，在矩形纸片ABCD中，BC=8，E是BC的中点，将AB沿AE翻折，使点B落在AD边的B′处，AE为折痕，再将BD沿BG翻折，使点D恰好落在线段AC上的点F处，BG为折痕，则tan∠FBE= 。
三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：( 1)3+(π 3.14)0+() 1 2sin45 +∣ 1∣。
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的正整数解。
18.（本小题满分 7 分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD，BC上，点G、H在BD上，DE=BF，BH=DG。求证：EH∥GF。
19.（本小题满分 8 分）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形ABCD，AB=30cm，DA=2cm，该沙发与地面的空隙为矩形EFGH，EF=65cm，HE=14cm，拖把杆为线段OM，长为110cm，O为DC的中点，OM与DC所成角α的可变范围是14 ≤α≤90 ，当α大小固定时，若OM经过点G，或点A与点E重合，则此时AF的长即为沙发底部可拖最大深度。
（1）如图 1，当α=30 时，求沙发底部可拖最大深度AF的长。（结果保留根号）
（2）如图 2，为了能将沙发底部地面拖干净，将α减小到14 ，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度AF的长能否达到65cm？（sin14 ≈0.24，cos14 ≈0.97，tan14 ≈0.25）
20.（本小题满分 8 分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F。
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若cosC=，CF=6，求AE的长。
（本小题满分 9 分）为确保师生 “吃得安全，吃得健康”，某学校切实履行监管职责，随机抽取 8 名教师和m名家长评分，对甲配餐公司提供的饭菜质量进行评分（评分用x表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息：
a. 教师评分：82 85 88 90 90 90 91 96
b. 家长评分的最佳得分，已知教师和家长评分均分为 5 组：A组：80≤x<84，B组：84≤x<88，C组：88≤x<92，D组：92≤x<96，E组：96≤x≤100，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图。
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______，n的值为______；
（2）p的值位于家长评分数据分组的______组，请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，D组所对应的扇形圆心角的度数为______；
（4）新学期即将开始，为了让家长对配餐公司有更多了解，该校将组织这 8 名教师和m名家长考察乙配餐公司，并按教师评分（平均数）占30%，家长评分（平均数）占70%，确定配餐公司的最终得分，已知教师和家长评委对乙配餐公司打分的平均分数分别为 92 分，88 分，如果只比较两家配餐公司的最终得分，请通过计算说明学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务吗？
22.（本小题满分 10 分）
生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳，越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景。
信息1 某自行车店抓住商机，计划购进A，B两种型号的自行车，其中每辆B型自行车进价比A型自行车多 600 元，用 5000 元购进的A型自行车与用 8000 元购进的B型自行车数量相同。
信息2 A型自行车每辆售价为 1500 元，B型自行车每辆售价为 2000 元。
信息3 该自行车店计划购进A，B两种型号的自行车共 50 辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半。
任务 1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价；
任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
23.（本小题满分 10 分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点A(2,3)，B(6,n)两点，与x轴相交于点C。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P是y轴上一点，连接AP，BP，当△ABP面积为 10 时，请求出点P的坐标；
（3）将线段AB绕点B顺时针旋转90 ，得到线段BD，连接CD，在反比例函数上，是否存在一点Q，使得∠CDQ+∠OCD=90 ？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
24.（本小题满分 12 分）已知抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A( 1,0)，B两点，与y轴交于点C(0, 4)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，已知点E为第四象限抛物线上的点，连接AC、BE、AE、BC，且AE和BC相交于点F，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当S1 S2=5时，求点E的坐标；
（3）如图 2，设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)是直线BC下方抛物线上的两动点，且x2=x1+1，过点P
作PM∥y轴，交BC于点M，过点Q作QN⊥BC，交BC于点N。求PM+QN的最大值。
25.（本小题满分 12 分）
【问题初探】
（1）如图 1，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF。
请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考。
思路 1：延长FD至点G，使DG=DF，连接CG，构造△DGC≌△DFB……
思路 2：过点B作BH∥AC交AD延长线于点H，构造△BDH≌△CDA……
【迁移应用】
（2）如图 2，已知等边△ABC中，D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D顺时针旋转120 得到DE，连接BE，取BE中点F，连接DF，猜想CD与DF的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图 3，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ，点D是斜边BC上的一点，且BD答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.-5 的绝对值是（ D ）
A. -5 B. C. D. 5
2.鲁班锁是起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构。如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（ B ）
3.国家能源局等多部门发布《关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见》，提出了 2025 年全国可再生能源消费量达到 1100000000 吨标准煤以上等系列目标，数据 1100000000 用科学记数法表示为（ C ）
A. 11×108 B. 1.1×108 C. 1.1×109 D. 1.1×1010
4.光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图是一块玻璃的a，b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，已知∠1=130 ，∠2=20 ，则∠3的度数为（ C ）
A. 20 B.25 C. 30 D. 35
5.如图是一个正八边形的窗户，图中正八边形的内角和为（ A ）
A. 1080 B. 900 C. 720 D. 540
6.下列运算正确的是（ C ）
A. a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4 C. (a3)5=a15 D. 2a+5a=7a
7.小方家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，既可单盏开，也可两盏、三盏齐开，若小方任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率为（ B ）
A. B. C. D.
8.如图，点A为反比例函数y= (x<0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B，已知OA=2，则OB的长度为（ D ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
9.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，若AB=3ED，则的值是（ A ）
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为 “方形点”，例如：(1, 1)，(, )，(, )...都是 “方形点”。下列结论：①直线y= 4x+3上存在 “方形点”；②抛物线y=x2 5x+3上的 2 个 “方形点” 之间的距离是4；③若二次函数y=ax2+3x+c(a≠0)的图象上有且只有一个 “方形点”(2, 2)，当 1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c(a≠0)的最小值为 8，最大值为 ，则实数m的取值范围是 1≤m≤4；其中，正确结论的个数是（ B ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第 II 卷（非选择题共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.若分式的值为 0，则x的值为 1 。
12.如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠B=80 ，∠BAD=140 ，则∠ACB的度数为 30 。
13.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90 ，∠BOC=30 ，在扇形AOB内随机选取一点D，则点D落在阴影部分的概率是 。
在一次女子 800m 测试中，小明和小晶同时起跑，同时到达终点；所跑的路程s(m)与所用的时间t(s)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 120 s。
15.如图，在矩形纸片ABCD中，BC=8，E是BC的中点，将AB沿AE翻折，使点B落在AD边的B′处，AE为折痕，再将BD沿BG翻折，使点D恰好落在线段AC上的点F处，BG为折痕，则tan∠FBE= 。
三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：( 1)3+(π 3.14)0+() 1 2sin45 +∣ 1∣。
=﹣1+1+2﹣+ 1
=1
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的正整数解。
解：解不等式①，得：x≤3
解不等式②，得：x>-1
∴原不等式组的解集是﹣1∴该不等式组的正整数解是1,2,3
18.（本小题满分 7 分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD，BC上，点G、H在BD上，DE=BF，BH=DG。求证：EH∥GF。
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AD // CB
∴∠ADB =∠CBD
∵BH = DG
∴BH - GH = DG - GH
∴BG = DH
∵DE = BF
∴在△ DEH 和△ BFG 中
∴△DEH≌△BFG ( SAS )
∴∠DHE =∠BGF .
∵∠DHE +∠BHE =180°, ∠BGF + ∠DGF =180°
∴∠BHE=∠DGF .
∴EH∥GF
19.（本小题满分 8 分）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形ABCD，AB=30cm，DA=2cm，该沙发与地面的空隙为矩形EFGH，EF=65cm，HE=14cm，拖把杆为线段OM，长为110cm，O为DC的中点，OM与DC所成角α的可变范围是14 ≤α≤90 ，当α大小固定时，若OM经过点G，或点A与点E重合，则此时AF的长即为沙发底部可拖最大深度。
（1）如图 1，当α=30 时，求沙发底部可拖最大深度AF的长。（结果保留根号）
（2）如图 2，为了能将沙发底部地面拖干净，将α减小到14 ，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度AF的长能否达到65cm？（sin14 ≈0.24，cos14 ≈0.97，tan14 ≈0.25）
解：(1）设 DC 的延长线交 GF 于点 N .
∵四边形 ABCD 和四边形 EFGH 是矩形， HE =14cm, AB =30cm,
∴∠A =∠D =∠F =90°, CD = AB =30cm, GF = HE =14cm.
∴四边形 ADNF 是矩形．
∴NF = AD =2cm, ∠DNF =90°, AF = DN .
∴∠ONG =90°, GN = GF - NF =12cm
在 Rt△GFO 中，∠GNO =90°, ∠GON =∠a =30°
ON =12÷tan30°=12( cm )
∵点 O 是CD 的中点，
∴OD =CD =15cm
∴DN = OD + ON =15+12( cm ).
∴AF = DN =15+12( cm ).
答：沙发底部可拖最大深度 AF 的长为（15+12) cm
(2）由（1）得：∠ONG =90°, GN =12cm, OD =15cm.在 Rt△GNO 中，∠GON =∠a =14°
∴ON≈12÷0.25=48( cm )
∴DN = OD + ON =15+48=63( cm ).
∵63<65
∴此时沙发底部可拖最大深度 AF 的长不能达到65cm.-
20.（本小题满分 8 分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F。
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若cosC=，CF=6，求AE的长。
解：(1）连接 OD
∵OB = OD
∴∠B=∠BDO
∵AB = AC
∴∠B=∠C
∴∠C =∠BDO
∴OD∥AC
∵DF⊥AC
∴∠DFC =∠DFA =90°
∴∠ODF =∠DFC =90°
∴OD⊥DF
又∵OD 为⊙O的半径，
∴DF 为⊙O 的切线．
(2）连接 BE , DA ,
在 Rt△DFC 中，∠DFC =90°, CF =6
∴cosC ==
∴DC =10
∴DF =8
∵AB 为直径
∴∠BEA =∠BDA =90°
∵AB = AC
∴BC =2CD=20
∵∠CEB =∠CFD =90°
又：∠C =∠C
∴△CFD∽△CEB
∴AB = AC = AE + CE = AE +12
在 Rt△BEA 中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2
∴AE2+162=( AE +12)2
解得：AE =
（本小题满分 9 分）为确保师生 “吃得安全，吃得健康”，某学校切实履行监管职责，随机抽取 8 名教师和m名家长评分，对甲配餐公司提供的饭菜质量进行评分（评分用x表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息：
a. 教师评分：82 85 88 90 90 90 91 96
b. 家长评分的最佳得分，已知教师和家长评分均分为 5 组：A组：80≤x<84，B组：84≤x<88，C组：88≤x<92，D组：92≤x<96，E组：96≤x≤100，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图。
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______，n的值为______；
（2）p的值位于家长评分数据分组的______组，请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，D组所对应的扇形圆心角的度数为______；
（4）新学期即将开始，为了让家长对配餐公司有更多了解，该校将组织这 8 名教师和m名家长考察乙配餐公司，并按教师评分（平均数）占30%，家长评分（平均数）占70%，确定配餐公司的最终得分，已知教师和家长评委对乙配餐公司打分的平均分数分别为 92 分，88 分，如果只比较两家配餐公司的最终得分，请通过计算说明学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务吗？
解：(1) m =40, n =90
(2) c
(3)108
(4）甲公司最终得分：89x30%+91x70%=90.4（分）
乙公司最终得分：92x30%+88x70%=89.2（分）
90.4>89.2
∴学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务．
22.（本小题满分 10 分）
生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳，越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景。
信息1 某自行车店抓住商机，计划购进A，B两种型号的自行车，其中每辆B型自行车进价比A型自行车多 600 元，用 5000 元购进的A型自行车与用 8000 元购进的B型自行车数量相同。
信息2 A型自行车每辆售价为 1500 元，B型自行车每辆售价为 2000 元。
信息3 该自行车店计划购进A，B两种型号的自行车共 50 辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半。
任务 1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价；
任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
解：(1）设 A 种型号自行车的进货单价是 x 元，则 B 种型号自行车的进货单价是（x +600)元，根据题意得：
=
解得 x =1000
经检验， x =1000是原方程的解且符合题意，
∴x +600=1000+600=1600,
答：4种型号自行车的进货单价是1000元， B 种型号自行车的进货单价是1600元；
(2）设购进 A 种型号自行车 m 辆，则设购进 B 种型号自行车（50- m）辆，根据题意得：50- m >m
解得 m≤
设该商店利润为w 元，
根据题意得：w =(1500-1000) m +(2000-1600)(50- m )=100m+20000
100>0
∴w 随m 的增大而增大
∵m ≤且 m 为正整数
∴当 m =33时，w 有最大值，
W最大＝100x33+20000=23300
此时50-m =50-33=17（辆）
答：该商店购进 A 型自行车33辆， B 型自行车17辆能获得最大利润，此时最大利润是23300元．
23.（本小题满分 10 分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点A(2,3)，B(6,n)两点，与x轴相交于点C。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P是y轴上一点，连接AP，BP，当△ABP面积为 10 时，请求出点P的坐标；
（3）将线段AB绕点B顺时针旋转90 ，得到线段BD，连接CD，在反比例函数上，是否存在一点Q，使得∠CDQ+∠OCD=90 ？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)：反比例函数经过点 A (2,3),
∴m =2x3=6
∴反比例函数的解析式为 y =
将点 B (6, n）代入 y =
解得 n =6,
∴B (6,1),
把 A (2,3）和 B (6,1）分别代入 y = kx +b ，得：
解得
∴一次函数的解析式为 y =﹣x +4;
（2）P（0，﹣1）或（0，9）
（3）Q（4﹣，8+2）或（4+，8﹣2）
24.（本小题满分 12 分）已知抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A( 1,0)，B两点，与y轴交于点C(0, 4)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，已知点E为第四象限抛物线上的点，连接AC、BE、AE、BC，且AE和BC相交于点F，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当S1 S2=5时，求点E的坐标；
（3）如图 2，设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)是直线BC下方抛物线上的两动点，且x2=x1+1，过点P
作PM∥y轴，交BC于点M，过点Q作QN⊥BC，交BC于点N。求PM+QN的最大值。
解：(1）把点 A (-1,0）和 C (0,-4）代入抛物线 y =x2+ mx + n 中，得：
解得
∴抛物线的解析式为： y =x2-3x-4;
（2）E（，﹣2）
（3）
25.（本小题满分 12 分）
【问题初探】
（1）如图 1，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF。
请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考。
思路 1：延长FD至点G，使DG=DF，连接CG，构造△DGC≌△DFB……
思路 2：过点B作BH∥AC交AD延长线于点H，构造△BDH≌△CDA……
【迁移应用】
（2）如图 2，已知等边△ABC中，D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D顺时针旋转120 得到DE，连接BE，取BE中点F，连接DF，猜想CD与DF的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图 3，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ，点D是斜边BC上的一点，且BD(1）证明：方法一：延长 FD 至 G ，使 GD = FD ，连接GC
∵AD 是△ABC 的中线
∴BD = CD
在△BDF 和△CDG 中，
∴△BDF≌△CDG ( SAS )
∴BF = GC , ∠BFD =∠G
∵AE = EF
∴∠EAF =∠EFA
∴∠EFA =∠BFD
∴∠G =∠GAC
∴AC = GC
∴AC = BF
(2）解： CD =2DF.
理由：延长 ED 至 K ，使DK = DE ，连接AK , BK
∵F 是 BE 的中点，D 是 EK 的中点，
∴DF 是△EBK 的中位线，
∴BK =2DF,
由旋转得∠ADE =120°, DE = DA
∴∠ADK =180°-∠EDA =60°,DK = DE = DA ,
∵△AKD 是等边三角形
∴AK = AD , ∠KAD =60°
∴△ABC 是等边三角形
∴AB = AC , ∠BAC =60°
∴∠KAB =∠DAC =60°-∠BAD
∴△AKB≌△ADC ( SAS ),
∴BK = CD ,
∴CD =2DF;
（3）6+6

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