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2024一2025学年度第二学期热身练答案
1.C
2.A
3.D
4.解：不妨设AB中点为D,因为∠AOB=
3
所以由垂径分线定理可知∠DO8=名 BD0
2
=+3
x2+2=4
由圆的方程C:x2+y2=4可知，BO=r=2,
所以1oDl=Bo1cos∠D0B=2x5.V5,
2
即原点O(0,0)到直线1：y=kx+3的距离为d=
=o-
3
解得k=√2或k=-√5.
故选：D
5解：因为会-号
1
听以Poe然一三即ea》=是
2
于是h-h=n2≈
0.693
0.000126
=5500
故选：C.
6.解：由向量点积的几何意义可以，
当点P分别位于P,P处时，AP.A取得最大值和最小值。
因为A.A店=A@,·A店=3×2=6，
A.AB=Ag2·AB=-1×2=-2,
所以AP.A店的取值范围是[2,6]，故选：B.
Q
7.解：将f)+2份)=3x中的x替换为，得（但）+2)-是
将两武联立，消去/份).得-3网=3-名，即回=及-
所以f2)=子-2=-1，故选：B.
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8解：若数列a,}满足a,=(V②”-1，其前n项和为S
由数列(V回)'}，千12}均为递增数列，可得数列a,为递增数列，
因为6=16-128=0，放当n≤7时，4，<0，当n≥9时，4，>0.
Sm无最大值，但有最小值，且最小值为S,Sg,即S,=Sg,
故A,B,C错误，故选：D.
g解：在Ru△OPF中，tan /POF=,
k=-tan∠PoF=b
所以IPF=b,lOP=a。
在△PAF中，由余弦定理，得
b2=b2+(a+c)2-2b(a+c)cos/PFA,
在△PF0中，cos∠PFO=b,
所以b2=b2+(a+c)2-2b(a+c)x2
所以c(a+c)=2b2,c(a+c)=2(c2-a2),c=2(c-a),2a=c,e=2
故选B.
1O.解：过B1作BE⊥平面ABCD于E,过E作EF⊥AB于F,连接BF
易证AB⊥B,F,则∠BFE为B,一AB一C的平面角，
故am∠B,FE=V2,cos∠B,FE=Y3
3
令正四棱台上底边长为x,则BF=6,x
2
F=62,aF=V4-2
所以那=s∠BFB=
62
3，即
3
4-(2罗
3
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解得x=2,故B,F=V42-4=V12。
所以该结构表面积为=22+6)×2W3×4+2×2×2+5×2×2
4
=32V3+8+2V3=34V3+8
11.解：由
_10,得函数f)的定义域为，3引。
12.解：(x一1)3中含x3的项为C9x3=x3:(x+1)4中含x3的项为C4x3=4x3,
所以41=1+4=5。
令x=1,得24=1+a1+a2+a3+a4,a2+a3+a4=10。
13.解：因为POMFO,∠QFO=∠QFP
所以∠POF=∠OFP,故|PQI=|PF
于是点2在准线上，0=一号
由卫，Q关于y轴对称，得n=号=2。
14.解：由余弦定理知，a2=+c2-2 becosA,即4=8+c2-2-2V2c.Yy2
2
所以c2-4c+4=0,解得c=2。
如图，当A为锐角，且AHb=2v2
a=2
所以2W2·simA<2<22,故sinA2·
因此015.解：(1)当a=0时，f(x)=
x2+2x-1,-3≤x≤0
-x2+2x,0分别求两段的最小值，或者画出图像，f(x)mm=f(3)=一3。
第3页，共12页2024—2025 学年度第二学期热身练
年级：高三 科目：数学
考试时间：120分钟，满分：150 分
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线 与圆 相交于 两点，且 （其中 为
原点），则 的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
5．大气压强 ，它的单位是“帕斯卡”（ ），大气压强
随海拔高度 的变化规律是 ， 是海平面大气压
强．已知在某高山 两处测得的大气压强分别为 ， ，那么 两处的
海拔高度的差约为（ ）（参考数据： ）
A．550 m B．1818 m C．5500 m D．8732 m
6．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折，将一
张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正
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方形 的边长为 2，点 在四段圆弧上运动，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数 满足关系式 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
8．若数列 满足 ，其前 项和为，则（ ）
A． 既无最大值，又无最小值 B． 当且仅当 时， 取得最小值
C． 当且仅当 时， 取得最小值 D．
9．已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的一条
渐近线的垂线 ， 为垂足．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10.攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒
尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖
结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正
三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位： ）
分别为 4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为 ，正三棱柱各棱长均相等，则该结
构表面积为（ ）
A. B.
C. D.
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二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．函数 的定义域是________________．
12．已知多项式 ，则 ____，
_______．
13．已知抛物线 的顶点为 ，焦点为 ．点 在 上，点 与点 关于 轴
对称．若 平分 ，则点 的横坐标为___________．
14．在 中， ， ，若 ，则 _______；若满足条件的三
角形有两个，则 的一个值可以是___________．
15．已知函数 ，当 时， 的最小值等
于______；若对于定义域内的任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是_________．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题 13分）
设函数 ．从下列三个条件中选择两个作为已知，使
函数 存在．
（Ⅰ）求 的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围．
条件①：函数 的图象经过点 ；
条件②： 在区间 上单调递增；
条件③： 是 的一条对称轴．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分
17．（本小题 13分）
某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种
子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为 8组： ， ，…，
加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于 0.736的种子定为“ 级”，发芽率低于
0.736但不低于 0.636的种子定为“ 级”，发芽率低于 0.636的种子定为“ 级”．
（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“ 级”种子的概率；
（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“ 级”、“ 级”、“ 级”康乃馨种子的售价分别为 20
元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费 元，
以频率为概率，求 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的 1.1倍，
那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的
方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．
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18．（本小题 14分）
在如图所示的多面体中， ，四边形 为矩形， ，
．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ） ，平面 平面 ，求直线
与平面 所成角的正弦值．
19．（本小题 15分）
已知椭圆 的左焦点为 ， 分别为左右顶点．点 是直线 上异
于 点的动点，直线 交椭圆 的另一点为 点．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）直线 与 交于点 ，求证： ．
20．（本小题 15分）
已知函数 在 处取得极值．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，求证：曲线 存在两条斜率为 且不重
合的切线．
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21．（本小题 15分）
对于一个 行 列的数表 ，用 表示数表中第 行第 列的数，
．对于给定的正整数 ，若数表 满足以下两
个条件，则称数表 具有性质 ：
① ， ；
② ．
（Ⅰ）以下给出数表 和数表 ．
数表 数表
（i）数表 1是否具有性质 ？说明理由；
（ii）是否存在正整数 ，使得数表 2具有性质 ？若存在，直接写出 的值，若不
存在，说明理由；
（Ⅱ）是否存在数表 具有性质 ？若存在，求出 的最小值，若不存在，说
明理由；
（Ⅲ）给定偶数 ，对每一个 ，将集合
中的最小元素记为 ，求 的最大值．
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