资源简介

2025年深圳市松岗中学三模试卷
一．选择题（共8小题，每小题3分）
1．以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．每年3月21日为“国际森林日”，提醒着人们对森林问题的关注，善待森林即善待人类自己．根据官方数据，深圳市森林碳储量为217.03万吨，将“217.03万”用科学记数法表示为（　　）
A．21.703×104 B．2.1703×105
C．2.1703×106 D．2.1703×107
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．2a（a+1）＝2a2+2a B．a3+a2＝a5
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．2025年是乙巳年，其中“乙”是天干，“巳”是地支．天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、日期等时间单位，由十个天干和十二个地支组成．天干包括甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支包括子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥．从“天干”中抽一个，抽到“乙”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（　　）
A．155° B．160° C．165° D．170°
6．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝45°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AD于点E，连接CE，若AB＝2，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，每小题3分）
9．若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的一个根是3，则a的值为 　 　 ．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm．将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，则EB的长为 　 　 cm．
11．如图，以正方形ABCD顶点A为圆心，对角线AC为半径作弧交边AD延长线于点E，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留π）．
12．把一块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角∠ABO＝60°，若BC＝2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 　 　 ．
13．如图，在 ABCD中，∠B＝135°，ABBC，将△ABC沿对角线AC翻折至△EAC，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为　 　 ．
三．解答题（共7小题，14题6分、15题7分、16题8分、17题9分、18题9分、19题10分、20题12分）
14．计算：．
15．先化简，再求值：，其中．
16．青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：
组别 体重（kg） 频数（人）
A 39.5～46.5 2
B 46.5～53.5 a
C 53.5～60.5 8
D 60.5～67.5 5
E 67.5～74.5 4
已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，所抽取学生体重的中位数是 　 　 ；
（2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．
（3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人？
17．“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如表：
月份 销售量/个 销售额/元
滨滨 妮妮
1月 80 50 6800
2月 100 60 8400
（1）求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价；
（2）为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的2倍，若总费用不超过1300元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？
18．在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E是对角线AC上的动点，连接BE，点F在直线AD上（点F不与点D重合），连接EF，EF＝EB．
（1）如图1，当E在线段OC上时，求证：BE⊥EF；
（2）如图2，若AB＝4，当E在线段OA上，且AE＝AF时，求CE的长．
19．项目式学习：圆弧在建筑中的应用
项目主题：圆弧在建筑中的应用
素材1 我国历史上著名的赵州桥，是现存世界上跨径最大、建造最早的单肩石拱桥，这是单圆弧设计在我国古代建筑中的一种成功典范．如图1，赵州桥主桥拱成圆弧形，跨度约37m，拱高约7m．
素材2 在西方建筑中，也有很多应用圆弧设计的元素．例如巴黎圣母院是典型的哥特式建筑．如图2，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱．其中，点A、B称为起拱处，点C称为拱尖，C到AB的距离CD称为拱高．两心尖拱的几何特征就是、的圆心落在直线AB上．
素材3 如图3是古塔建筑中的方圆设计，寓意天圆地方．据古塔示意图，以塔底座宽AB为边作正方形ABCD（图4），塔高AF＝AC，分别以点A，B为圆心，AF为半径作圆弧，交于点G．正方形ABCD内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．
问题解决
任务1 确定半径 （1）图1中赵州桥主桥拱半径R约为　 　 m．（结果保留整数）
任务2 计算拱高 （2）①请根据两心圆拱的几何特征利用尺规作出图2中、的圆心M、N．（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若MN＝2m，AB＝3m，求拱高CD．
任务3 计算比值 （3）如图4，若点G落在AM的延长线上，连接GP交DQ于点T，则的值为　 　 ．
20．【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF＝2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
2025年深圳市松岗中学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C． A B D B D A
一．选择题（共8小题）
1．以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．每年3月21日为“国际森林日”，提醒着人们对森林问题的关注，善待森林即善待人类自己．根据官方数据，深圳市森林碳储量为217.03万吨，将“217.03万”用科学记数法表示为（　　）
A．21.703×104 B．2.1703×105
C．2.1703×106 D．2.1703×107
【解答】解：217.03万＝2170300＝2.1703×106．
故选：C．
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．2a（a+1）＝2a2+2a B．a3+a2＝a5
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【解答】解：∵2a（a+1）＝2a2+2a，
∴A选项的运算正确，符合题意；
∵a3与a2不是同类项，不能合并，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（﹣ab2）3＝﹣a3b6，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：A．
4．2025年是乙巳年，其中“乙”是天干，“巳”是地支．天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、日期等时间单位，由十个天干和十二个地支组成．天干包括甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支包括子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥．从“天干”中抽一个，抽到“乙”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：抽到“乙”的概率是：1÷10，
故选：B．
5．如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（　　）
A．155° B．160° C．165° D．170°
【解答】解：如图所示，
∵水面与底面平行，
∴∠2+∠4＝180°．
又∵∠4＝75°，
∴∠2＝180°﹣75°＝105°．
∵水面与水杯口的平面平行，
∴∠3＝65°，
∴∠1＝∠2+∠3＝105°+65°＝170°．
故选：D．
6．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【解答】解：连接BD，如图所示：
由题意得，，∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝5cm，
∴点B，D之间的距离减少了5﹣2＝3（cm），
故选：B．
7．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【解答】解：根据调和数的定义可列分式方程得：
，
整理得，2x＝40，
解得x＝20，
经检验：x＝20是分式方程的解．
所以x的值为20，
故选：D．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝45°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AD于点E，连接CE，若AB＝2，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BE，设直线MN交AB于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝180°﹣∠A＝135°．
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∠AFE＝90°，AF，
∵∠A＝45°，
∴∠ABE＝∠A＝45°，AE，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°，BE，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
9．若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的一个根是3，则a的值为 　6　 ．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣5x+a＝0得9﹣15+a＝0，
解得a＝6．
故答案为：6．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm．将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，则EB的长为 　3　 cm．
【解答】解：设BE＝x cm，
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A与点C重合，
∴CE＝AE，
则CE＝AB﹣BE＝（8﹣x）cm，
∵ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴BE2+BC2＝CE2，
又BC＝4cm，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解方程得x＝3，
即 EB的长为3cm．
故答案为：3．
11．如图，以正方形ABCD顶点A为圆心，对角线AC为半径作弧交边AD延长线于点E，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　4π﹣8　 （结果保留π）．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴AE＝ACAB＝4，∠CAE＝45°，AD＝CD＝AB＝4，
∴阴影的面积S＝S扇形CAE﹣S△ACD4×4＝4π﹣8．
故答案为：4π﹣8．
12．把一块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角∠ABO＝60°，若BC＝2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 　（5，0）　 ．
【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AE⊥x轴，
∴∠AEB＝90°，即∠EAB+∠ABO＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴EBAB＝2，AE2，
设OE＝m，则点A的坐标为（m，2），
∵∠ABO＝∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABO﹣∠ABC＝60°，
∵CF⊥x轴，
∴∠CFB＝90°，即∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝30°，
∴BFBC＝1，CF，
∴OF＝OE+BE+BF＝m+3，
∴点C坐标为（m+3，），
∵点A，C同时落在一个反比例函数图象上，
∴2m（m+3），解得：m＝3，
∴OB＝OE+EB＝3+2＝5，
∴B点的坐标为：（5，0）．
故答案为：（5，0）．
13．如图，在 ABCD中，∠B＝135°，ABBC，将△ABC沿对角线AC翻折至△EAC，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为　　 ．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K．
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBT＝45°，
∵CT⊥BT，
∴CT＝BT，
设CT＝BT＝m，则BCm，
∵ABBC，
∴AB＝2m，
∴AT＝AB+BT＝3m，
∴ACm，
∵∠BAJ＝∠CAT，∠AJB＝∠T＝90°，
∴△AJB∽△ATC，
∴，
∴，
∴AJm，
∴CJ＝AC﹣AJm，
在△AKD和△CJB中，
，
∴△AKD≌△CJE（AAS），
∴AK＝CJm，
∵四边形DEJK是矩形，
∴DE＝JK＝AC﹣AK﹣CKm，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
14．计算：．
【解答】解：
＝2+23+1﹣2
＝2+23+1
．
15．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：∵a3，
∴a2+1＝3a，即a2﹣3a＝﹣1，
原式＝[]
＝[]
∵a2﹣3a＝﹣1，
∴原式1．
16．青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：
组别 体重（kg） 频数（人）
A 39.5～46.5 2
B 46.5～53.5 a
C 53.5～60.5 8
D 60.5～67.5 5
E 67.5～74.5 4
已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　6　 ，所抽取学生体重的中位数是 　56　 ；
（2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．
（3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人？
【解答】解：（1）调查的总人数为2÷8%＝25（人），
∴a＝25﹣2﹣8﹣5﹣4＝6，
∵一共调查了25人，
∴中位数是第13人的体重，
又A组2人，B组6人，C组8人，
∴中位数在C组，
∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60，
∴中位数为56，
故答案为：6，56；
（2）不正确．
因为小敏的体重57kg是高于中位数56kg，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3），
答：估计九年级体重高于60.5kg的学生大约有216人．
17．“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如表：
月份 销售量/个 销售额/元
滨滨 妮妮
1月 80 50 6800
2月 100 60 8400
（1）求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价；
（2）为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的2倍，若总费用不超过1300元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？
【解答】解：（1）设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为x元和y元，则 ，
解得，
答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为60元和40元．
（2）设购买a个“妮妮”手办，则购买2a个“滨滨”手办，由题意得60×0.8×2a+40×0.75×a≤1300，
解得a，
∵a为正整数，
∴a≤10，
答：最多可以购买20个“滨滨”手办．
18．在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E是对角线AC上的动点，连接BE，点F在直线AD上（点F不与点D重合），连接EF，EF＝EB．
（1）如图1，当E在线段OC上时，求证：BE⊥EF；
（2）如图2，若AB＝4，当E在线段OA上，且AE＝AF时，求CE的长．
【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EH⊥AD于H，HE的延长线交BC于I，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AD∥BC，AB∥CD，∠D＝90°，
∵EH⊥AD，
∴∠EHF＝∠EHD＝90°＝∠D，
∴四边形CDHI为矩形，
∴DH＝CI＝EI，∠BIE＝90°＝∠EHF，
∵BE＝EF，
∴Rt△BEI≌Rt△EFH（HL），
∴∠BEI＝∠FEH，
∵∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠BEI+∠FEH＝90°
∴∠BEF＝90°，
∴BE⊥EF．
（2）如图3，连接DE，过E作EH⊥AD于H．
∵EF＝BE＝DE，EH⊥AD，
∴FH ＝DH，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
∴AC，∠DAC＝90°，
∴AH＝EH，
设AH＝EH＝x，则AEAF，FH＝x，DH＝4﹣x，
∴4﹣x＝x，
解得x，
∴AE＝ ，
∴CE＝AC﹣AE＝4（44）＝4．
19．项目式学习：圆弧在建筑中的应用
项目主题：圆弧在建筑中的应用
素材1 我国历史上著名的赵州桥，是现存世界上跨径最大、建造最早的单肩石拱桥，这是单圆弧设计在我国古代建筑中的一种成功典范．如图1，赵州桥主桥拱成圆弧形，跨度约37m，拱高约7m．
素材2 在西方建筑中，也有很多应用圆弧设计的元素．例如巴黎圣母院是典型的哥特式建筑．如图2，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱．其中，点A、B称为起拱处，点C称为拱尖，C到AB的距离CD称为拱高．两心尖拱的几何特征就是、的圆心落在直线AB上．
素材3 如图3是古塔建筑中的方圆设计，寓意天圆地方．据古塔示意图，以塔底座宽AB为边作正方形ABCD（图4），塔高AF＝AC，分别以点A，B为圆心，AF为半径作圆弧，交于点G．正方形ABCD内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．
问题解决
任务1 确定半径 （1）图1中赵州桥主桥拱半径R约为　28　 m．（结果保留整数）
任务2 计算拱高 （2）①请根据两心圆拱的几何特征利用尺规作出图2中、的圆心M、N．（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若MN＝2m，AB＝3m，求拱高CD．
任务3 计算比值 （3）如图4，若点G落在AM的延长线上，连接GP交DQ于点T，则的值为　　 ．
【解答】解：（1）由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BDAB（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R28，
故答案为：28；
（2）①如图1，点M、点N即为所求；
作法提示：分别作AC和BC的垂直平分线与AB交于点M、N；
②如图2，连接CN、CM，
∵AB＝3m，MN＝2m
∴AD＝BD＝1.5m，DM＝DN＝1m，AN＝BM＝0.5m，
∴NC＝NB＝2.5m，
在Rt△CDN中，CDm，
答：拱高CD为m．
（3）解：如图3，连接BG、AC，过点G作GH⊥AB，GK⊥AF垂足分别为H、K，
∴四边形AHGK是矩形，
∴AH＝KG，
设正方形边长为a，
由题意可知：AG＝BG＝ACa，∠DMA＝∠MNB＝90°，
∴GH⊥AB，AH＝HB＝KGa，MT∥NB，
∵∠KAG＝∠MAD，∠DMA＝∠GKA＝90°，
∴△KAG∽△MAD，
∴，
∴DM，
∵AM，
∴MG＝AG﹣AMa，
∵△AMD≌△BNA，
∴AN＝DM，
∴NG＝AG﹣ANaaa，
又∵MT∥NB，
∴．
故答案为：．
20．【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF＝2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1 OG DK，S2 BF AD，
又∵BF＝2OG，，
∴，设CD＝2x，AC＝3x，则ADx，
∴．
（4）解：设OG＝a，AG＝k．
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE，
由题意：102aAD （k+2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2+4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝2a，
∴BEa，AB＝4a，
∴tan∠BAE．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE，
由题意：102aAD （k﹣2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2﹣4ka，
∴ka，
∴ADa，
∴BEa，ABa，
∴tan∠BAE，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
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