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第2节　圆的方程
[课程标准要求]
1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
标准 方程 (x－a)2+(y－b)2=r2(r>0) 圆心为(a,b)
半径为r
一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件: D2+E2－4F>0
圆心坐标: (－,－)
半径: r=
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2－4F>0.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x－a)2+(y－b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0－a)2+(y0－b)2>r2;
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0－a)2+(y0－b)2=r2;
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0－a)2+(y0－b)21.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0.
2.同心圆系方程:(x－a)2+(y－b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
1.(人教A版选择性必修第一册P85练习T2改编)已知圆的标准方程是(x－3)2+(y+2)2=16,下列各点在圆内的是(　　)
[A] (2,2) [B] (1,3)
[C] (－1,－2) [D] (0,－1)
2.圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)
[A] x2+(y－2)2=1
[B] x2+(y+2)2=1
[C] (x－1)2+(y－3)2=1
[D] x2+(y－3)2=4
3.(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2 T7改编)若曲线C:x2+y2+2ax－4ay－10a=0表示圆,则实数a的取值范围为(　　)
[A] (－2,0)
[B] (－∞,－2)∪(0,+∞)
[C] [－2,0]
[D] (－∞,－2]∪[0,+∞)
4. (2024·北京卷)圆x2+y2－2x+6y=0的圆心到x－y+2=0的距离为　　　　.
5.(人教A版选择性必修第一册P87例5改编)已知圆C经过点A(3,1),B(－1,3),且它的圆心在直线3x－y－2=0上,则圆C的标准方程为　　　　　　　　;若点D为圆C上任意一点,且点E(3,0),则线段ED的中点M的轨迹方程为　　　　　　　　　　 .
考点一　圆的方程
1.(2025·江苏常州模拟)过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(　　)
[A] x2+y2－2x－3y=0
[B] x2+y2+2x－3y=0
[C] x2+y2－2x+3y=0
[D] x2+y2+2x+3y=0
2.(2025·浙江台州模拟)若直线4x+3y－12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以AB为直径的圆的方程为(　　)
[A] x2+y2－3x－4y=0
[B] x2+y2－4x－3y=0
[C] x2+y2+3x+4y=0
[D] x2+y2+4x+3y=0
3. (2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y－1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　　　　　.
4.(2025·山东济南模拟)若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=－2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为　　　　　　　　.
求圆的方程的两种方法
(1)直接法.
根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法.
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值.
②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
考点二　与圆有关的轨迹问题
[例1] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(－1,0),B(3,0).求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.
(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
[针对训练] (1)若两定点A(1,0),B(4,0),动点M满足2|MA|=|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为(　　)
[A] π [B] 2π [C] 3π [D] 4π
(2)(2025·安徽六安模拟)已知圆C的方程(x－2)2+(y－3)2=9,设点A在圆C上运动,点B(8,),且点M满足=2,则点M的轨迹方程为　　　　　　　.
考点三　与圆有关的最值问题
角度1　利用几何性质求最值
[例2] (多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2－4x－2y+4=0,则下列说法正确的是(　　)
[A] 的最大值为
[B] 的最小值为0
[C] x2+y2的最大值为 +2
[D] x+y的最大值为3+
借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解:
(1)形如u=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如m=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值
问题.
角度2　利用函数求最值
[例3] 设点P(x,y)是圆x2+(y－3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(－2,0).则·的最大值为　　　　.
建立函数关系式求最值:列出关于所求目标式子的函数关系,然后把握关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法求最值.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·陕西商洛模拟)已知P(x0,y0)是圆C:x2+y2－2x－2y+1=0上任意一点,则的最大值为(　　)
[A] －2 [B] －
[C] [D]
2.(角度2)设点P(x,y)是圆:(x－3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,－2),则|+|的最大值为　　　　.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
圆的定义及方程 1,2,3,4,7,9
与圆有关的轨迹问题 8,11,14
与圆有关的最值、范围问题 5,6,12,13
综合问题 10,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.若圆的方程为(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0,则圆心坐标为(　　)
[A] (1,－1) [B] (,1)
[C] (－1,2) [D] (－,－1)
2.若点A(2,1)在圆x2+y2－2mx－2y+5=0(m为常数)外,则实数m的取值范围为(　　)
[A] (－∞,2) [B] (2,+∞)
[C] (－∞,－2) [D] (－2,+∞)
3.已知方程x2+y2－4x+8y+2a=0,则下列说法不正确的是(　　)
[A] 当a=10时,方程表示圆心为(2,－4)的圆
[B] 当a<10时,方程表示圆心为(2,－4)的圆
[C] 当a=0时,方程表示的圆的半径为2
[D] 当a=8时,方程表示的圆与y轴相切
4.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y－1=0上,且圆心在第二象限,半径长为,则圆C的一般方程是(　　)
[A] x2+y2－2x+4y+3=0
[B] x2+y2+2x－4y+3=0
[C] x2+y2－4x+2y+3=0
[D] x2+y2+4x－2y+3=0
5.(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2－4x－2y－4=0,则x－y的最大值是(　　)
[A] 1+ [B] 4
[C] 1+3 [D] 7
6.已知M为圆C:(x+2)2+(y+1)2=4上任意一点,直线(3λ+1)x+(2λ+1)y=5λ+2过定点P,则|MP|的最大值为(　　)
[A] [B] +2
[C] 2 [D] 2+2
7.(5分)已知点A(－2,1),B(－1,0),C(2,3),D(a,3)四点共圆,则点D到坐标原点O的距离为　　　　.
8.(12分)(2025·广东揭阳模拟)已知点M在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P为线段MN的
中点.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)求点P到直线3x+4y－26=0的距离的最大值和最小值.
9.(多选题)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程为(　　)
[A] x2+(y+)2=
[B] x2+(y－)2=
[C] (x－)2+y2=
[D] (x+)2+y2=
10.(多选题)设有一组圆Ck:(x－k)2+(y－k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(　　)
[A] 不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
[B] 所有圆Ck均不经过点(3,0)
[C] 经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
[D] 所有圆的面积均为4π
11.已知坐标原点在直线mx－2y=2m+8上的射影点为P(x0,y0),则x0,y0必然满足的关系是(　　)
[A] +=5
[B] +=5
[C] +=20
[D] +=20
12.(2025·湖北武汉模拟)已知△ABC是边长为4的正三角形,点P是△ABC所在平面内的一点,且满足|++|=3,则||的最小值是(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D]
13.(5分)(2025·天津模拟)已知点A为圆C:(x－m)2+(y－m－1)2=2上一点,点B(3,0),当m变化时线段AB长度的最小值为　 .
14.(15分)①过点C(2,0),②圆G恒被直线mx－y－m=0(m∈R)平分,③与y轴相切.
在以上三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知圆G经过点A(0,0),B(1,1),且　　　　.
(1)求圆G的一般方程;
(2)若P为圆G上任意一点,定点M(4,0),点Q满足=3,求点Q的轨迹方程.
15.(多选题)(2025·辽宁丹东模拟)已知曲线E:x2+y2－2|x|－2|y|=0,则(　　)
[A] 曲线E围成图形面积为8+4π
[B] 曲线E的长度为4π
[C] 曲线E上任意一点到原点的最小距离为2
[D] 曲线E上任意两点间最大距离4
16.(5分)(2025·安徽马鞍山模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(－2,0),若直线l:2x－y+m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,实数m的取值范围是　　　　　　　　.
第2节　圆的方程（解析版）
[课程标准要求]
1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
标准 方程 (x－a)2+(y－b)2=r2(r>0) 圆心为(a,b)
半径为r
一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件: D2+E2－4F>0
圆心坐标: (－,－)
半径: r=
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2－4F>0.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x－a)2+(y－b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0－a)2+(y0－b)2>r2;
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0－a)2+(y0－b)2=r2;
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0－a)2+(y0－b)21.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0.
2.同心圆系方程:(x－a)2+(y－b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
1.(人教A版选择性必修第一册P85练习T2改编)已知圆的标准方程是(x－3)2+(y+2)2=16,下列各点在圆内的是(　　)
[A] (2,2) [B] (1,3)
[C] (－1,－2) [D] (0,－1)
【答案】 D
【解析】 A中,(2－3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;B中,(1－3)2+(3+2)2=29>16,在圆外;C中,
(－1－3)2+(－2+2)2=16,在圆上;D中,(0－3)2+(－1+2)2=10<16,在圆内.故选D.
2.圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)
[A] x2+(y－2)2=1
[B] x2+(y+2)2=1
[C] (x－1)2+(y－3)2=1
[D] x2+(y－3)2=4
【答案】 A
【解析】 根据题意可设圆的方程为x2+(y－b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2－b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y－2)2=1.故选A.
3.(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2 T7改编)若曲线C:x2+y2+2ax－4ay－10a=0表示圆,则实数a的取值范围为(　　)
[A] (－2,0)
[B] (－∞,－2)∪(0,+∞)
[C] [－2,0]
[D] (－∞,－2]∪[0,+∞)
【答案】 B
【解析】 由x2+y2+2ax－4ay－10a=0,得(x+a)2+(y－2a)2=5a2+10a,由该曲线表示圆,可知5a2+10a>0,解得a>0或a<－2.故选B.
4. (2024·北京卷)圆x2+y2－2x+6y=0的圆心到x－y+2=0的距离为　　　　.
【答案】 3
【解析】 由题意得x2+y2－2x+6y=0,即(x－1)2+(y+3)2=10,则其圆心坐标为(1,－3),则圆心到直线x－y+2=0的距离为=3.
5.(人教A版选择性必修第一册P87例5改编)已知圆C经过点A(3,1),B(－1,3),且它的圆心在直线3x－y－2=0上,则圆C的标准方程为　　　　　　　　;若点D为圆C上任意一点,且点E(3,0),则线段ED的中点M的轨迹方程为　　　　　　　　　　 .
【答案】 (x－2)2+(y－4)2=10　(x－) 2+(y－2)2=
【解析】 由题可设圆C的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2,则
解得
所以圆C的标准方程为(x－2)2+(y－4)2=10.
设M(x,y),D(x1,y1),则由E(3,0)及M为线段ED的中点得解得
又点D在圆C:(x－2)2+(y－4)2=10上,所以(2x－3－2)2+(2y－4)2=10,化简得(x－) 2+
(y－2)2=,故所求点M的轨迹方程为(x－) 2+(y－2)2=.
考点一　圆的方程
1.(2025·江苏常州模拟)过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(　　)
[A] x2+y2－2x－3y=0
[B] x2+y2+2x－3y=0
[C] x2+y2－2x+3y=0
[D] x2+y2+2x+3y=0
【答案】 A
【解析】 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2－4F>0),由题意知,圆过点(0,0),(2,0)和(0,3),
所以
解得
所以所求圆的方程为x2+y2－2x－3y=0.故选A.
2.(2025·浙江台州模拟)若直线4x+3y－12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以AB为直径的圆的方程为(　　)
[A] x2+y2－3x－4y=0
[B] x2+y2－4x－3y=0
[C] x2+y2+3x+4y=0
[D] x2+y2+4x+3y=0
【答案】 A
【解析】 直线4x+3y－12=0与两坐标轴的交点为A(3,0),B(0,4),则|AB|==5,
则以AB为直径的圆半径为,圆心即为A,B的中点坐标为(,2),所以以AB为直径的圆的方程为+(y－2)2=,
化简得x2+y2－3x－4y=0.故选A.
3. (2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y－1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　　　　　.
【答案】 (x－1)2+(y+1)2=5
【解析】 法一(待定系数法)　设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2－4F>0),
则M(－,－),
所以
解得
所以☉M的方程为x2+y2－2x+2y－3=0,
即(x－1)2+(y+1)2=5.
法二(直接法)　设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,
则kAB==－,AB的中点坐标为(,),
所以AB的垂直平分线方程为y－=3(x－),即3x－y－4=0.
联立
解得
所以M(1,－1),所以r2=|MA|2=(3－1)2+[0－(－1)]2=5,所以☉M的方程为(x－1)2+(y+1)2=5.
4.(2025·山东济南模拟)若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=－2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为　　　　　　　　.
【答案】 (x－) 2+(y－)2=
【解析】 (直接法)设圆心坐标为(a,－2a+3),则圆的半径r==
=.当a=时,rmin=.故所求圆的方程为(x－)2+(y－)2=.
求圆的方程的两种方法
(1)直接法.
根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法.
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值.
②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
考点二　与圆有关的轨迹问题
[例1] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(－1,0),B(3,0).求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第一册P89习题2.4 T8.
【解】 (1)法一(直接法)　设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,有kAC·kBC=－1,
又kAC=,kBC=,所以·=－1,化简得x2+y2－2x－3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2－2x－3=0(y≠0).
法二(定义法)　设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2+y2=4(y≠0).
(2)(相关点代入法)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x－3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x－1)2+y2=4(y≠0),将x0=
2x－3,y0=2y代入得(2x－4)2+(2y)2=4,即(x－2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为
(x－2)2+y2=1(y≠0).
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.
(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
[针对训练] (1)若两定点A(1,0),B(4,0),动点M满足2|MA|=|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为(　　)
[A] π [B] 2π [C] 3π [D] 4π
(2)(2025·安徽六安模拟)已知圆C的方程(x－2)2+(y－3)2=9,设点A在圆C上运动,点B(8,),且点M满足=2,则点M的轨迹方程为　　　　　　　.
【答案】 (1)D　(2)(x－6)2+(y－6)2=1
【解析】 (1)设M(x,y),依题意,2=,化简整理得x2+y2=4,
因此,动点M的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,所以动点M的轨迹围成区域的面积为4π.
故选D.
(2)设M(x,y),则=(x－xA,y－yA),
=(8－x,－y),因为=2,
所以所以
因为点A在圆C上运动,所以(3x－16－2)2+(3y－15－3)2=9,
即(3x－18)2+(3y－18)2=9,所以(x－6)2+(y－6)2=1,
所以点M的轨迹方程为(x－6)2+(y－6)2=1,是以(6,6)为圆心,以1为半径的圆.
考点三　与圆有关的最值问题
角度1　利用几何性质求最值
[例2] (多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2－4x－2y+4=0,则下列说法正确的是(　　)
[A] 的最大值为
[B] 的最小值为0
[C] x2+y2的最大值为 +2
[D] x+y的最大值为3+
【答案】 ABD
【解析】 由实数x,y满足方程 x2+y2－4x－2y+4=0可得点(x,y)在圆(x－2)2+(y－1)2=1上,作其图象如图,因为表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则=1,
解得k=0或k=,所以∈[0,],所以()max=,()min=0,A,B正确;
x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,
所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=,所以x2+y2的最大值为6+2,C错误;
设x+y=t,所以x+y－t=0,当直线与圆相切时,t取得最大或最小值,此时,圆心到直线的距离为半径1,则=1,解得t=3±,故tmax=3+,即x+y取最大值3+,D正确.故选ABD.
借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解:
(1)形如u=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如m=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值
问题.
角度2　利用函数求最值
[例3] 设点P(x,y)是圆x2+(y－3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(－2,0).则·的最大值为　　　　.
【答案】 12
【解析】 由题意,得=(2－x,－y),=(－2－x,－y),
所以·=x2+y2－4,
由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y－3)2=1,
故x2=－(y－3)2+1,
所以·=－(y－3)2+1+y2－4=6y－12.
易知2≤y≤4,所以当y=4时,·的值最大,最大值为6×4－12=12.
建立函数关系式求最值:列出关于所求目标式子的函数关系,然后把握关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法求最值.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·陕西商洛模拟)已知P(x0,y0)是圆C:x2+y2－2x－2y+1=0上任意一点,则的最大值为(　　)
[A] －2 [B] －
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 设k=,变形可得k(x0－3)－y0－1=0,则的几何意义为直线k(x－3)－y－1=0的斜率,圆C:x2+y2－2x－2y+1=0化为C:(x－1)2+(y－1)2=1,所以圆C的圆心为(1,1),半径为1.
因为P(x0,y0)是圆C:x2+y2－2x－2y+1=0上任意一点,所以圆C与直线k(x－3)－y－1=0有公共点,即圆的圆心C(1,1)到直线k(x－3)－y－1=0的距离不大于圆C的半径,
所以≤1,
解得≤k≤,即的最大为.
故选D.
2.(角度2)设点P(x,y)是圆:(x－3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,－2),则|+|的最大值为　　　　.
【答案】 10
【解析】 由题意,知=(－x,2－y),=(－x,－2－y),所以+=(－2x,－2y),由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程(x－3)2+y2=4,故y2=－(x－3)2+4,所以|+|==2.由圆的方程(x－3)2+y2=4,易知1≤x≤5,所以当x=5时,
|+|的值最大,最大值为2=10.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
圆的定义及方程 1,2,3,4,7,9
与圆有关的轨迹问题 8,11,14
与圆有关的最值、范围问题 5,6,12,13
综合问题 10,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.若圆的方程为(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0,则圆心坐标为(　　)
[A] (1,－1) [B] (,1)
[C] (－1,2) [D] (－,－1)
【答案】 D
【解析】 圆的方程(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0,可化为x2+y2+x+2y－10=0,
即+(y+1)2=,
所以圆心坐标为(－,－1).故选D.
2.若点A(2,1)在圆x2+y2－2mx－2y+5=0(m为常数)外,则实数m的取值范围为(　　)
[A] (－∞,2) [B] (2,+∞)
[C] (－∞,－2) [D] (－2,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意知22+12－4m－2+5>0,
故m<2,
又由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
可得D2+E2－4F>0,
即(－2m)2+(－2)2－4×5>0,
即m<－2或m>2,
所以实数m的取值范围为m<－2.
故选C.
3.已知方程x2+y2－4x+8y+2a=0,则下列说法不正确的是(　　)
[A] 当a=10时,方程表示圆心为(2,－4)的圆
[B] 当a<10时,方程表示圆心为(2,－4)的圆
[C] 当a=0时,方程表示的圆的半径为2
[D] 当a=8时,方程表示的圆与y轴相切
【答案】 A
【解析】 由题意,方程x2+y2－4x+8y+2a=0,可化为(x－2)2+(y+4)2=20－2a,
当a=10时,20－2a=0,方程x2+y2－4x+8y+2a=0表示点(2,－4),故A错误;
当a<10时,20－2a>0,方程x2+y2－4x+8y+2a=0表示圆心为(2,－4)的圆,故B正确;
当a=0时,20－2a=20,方程x2+y2－4x+8y+2a=0表示的圆的半径为2,故C正确;
当a=8时,20－2a=4,方程x2+y2－4x+8y+2a=0表示的圆的半径为2,圆心为(2,－4),与y轴相切,故D正确.
故选A.
4.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y－1=0上,且圆心在第二象限,半径长为,则圆C的一般方程是(　　)
[A] x2+y2－2x+4y+3=0
[B] x2+y2+2x－4y+3=0
[C] x2+y2－4x+2y+3=0
[D] x2+y2+4x－2y+3=0
【答案】 B
【解析】 圆的标准方程为(x+)2+(y+)2=－3,
圆心为(－,－),半径为r=,
所以解得或
又圆心在第二象限,所以即圆的一般方程为x2+y2+2x－4y+3=0.故选B.
5.(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2－4x－2y－4=0,则x－y的最大值是(　　)
[A] 1+ [B] 4
[C] 1+3 [D] 7
【答案】 C
【解析】 由x2+y2－4x－2y－4=0可得(x－2)2+(y－1)2=9,其表示圆心为(2,1),半径为3的圆.
设x－y=k,则圆心到直线x－y=k的距离d=≤3,解得1－3≤k≤1+3.故选C.
6.已知M为圆C:(x+2)2+(y+1)2=4上任意一点,直线(3λ+1)x+(2λ+1)y=5λ+2过定点P,则|MP|的最大值为(　　)
[A] [B] +2
[C] 2 [D] 2+2
【答案】 B
【解析】 (3λ+1)x+(2λ+1)y=5λ+2整理为(3x+2y－5)λ+x+y－2=0.
令
解得所以定点P的坐标为P(1,1),代入圆的方程中,(1+2)2+(1+1)2>4,所以P(1,1)在圆外,因为M为圆C:(x+2)2+(y+1)2=4上任意一点,设圆C的半径为r=2,所以|MP|的最大值为|PC|+r,由两点间的距离公式得PC==,所以|MP|的最大值为+2.故选B.
7.(5分)已知点A(－2,1),B(－1,0),C(2,3),D(a,3)四点共圆,则点D到坐标原点O的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 设过点A,B,C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2－4F>0),
则解得
所以过点A,B,C的圆的方程为x2+y2－4y－1=0,又因为点D在此圆上,所以a2+32－4×3－1=0,解得a2=4,所以点D到坐标原点O的距离为==.
8.(12分)(2025·广东揭阳模拟)已知点M在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P为线段MN的
中点.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)求点P到直线3x+4y－26=0的距离的最大值和最小值.
【解】 (1)设点P(x,y),M(x0,y0),因为点P是线段MN的中点,所以=x,=y,则x0=2x－4,y0=2y,即M(2x－4,2y),因为点M在圆x2+y2=4上运动,则有(x－2)2+y2=1,所以点P的轨迹方程为(x－2)2+y2=1.
(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2,0)为圆心,以1为半径的圆,点Q到直线3x+4y－26=0的距离d==4,
故点P到直线3x+4y－26=0的距离的最大值为4+1=5,最小值为4－1=3.
9.(多选题)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程为(　　)
[A] x2+(y+)2=
[B] x2+(y－)2=
[C] (x－)2+y2=
[D] (x+)2+y2=
【答案】 AB
【解析】 根据题意,可设圆心为C(0,a),半径为r,如图所示,
根据圆被x轴分成的两段弧长之比为1∶2,可得圆被x轴截得的弦所对的圆心角为,
所以tan=||,解得a=±,半径r==,故圆的方程为x2+(y±)2=.故选AB.
10.(多选题)设有一组圆Ck:(x－k)2+(y－k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(　　)
[A] 不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
[B] 所有圆Ck均不经过点(3,0)
[C] 经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
[D] 所有圆的面积均为4π
【答案】 ABD
【解析】 圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;
令(3－k)2+(0－k)2=4,化简得2k2－6k+5=0,因为Δ=36－40=－4<0,所以2k2－6k+5=0无实数根,B正确;
由(2－k)2+(2－k)2=4,化简得k2－4k+2=0,因为Δ=16－8=8>0,k2－4k+2=0,有两个不等实根,故经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;
由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.故选ABD.
11.已知坐标原点在直线mx－2y=2m+8上的射影点为P(x0,y0),则x0,y0必然满足的关系是(　　)
[A] +=5
[B] +=5
[C] +=20
[D] +=20
【答案】 B
【解析】 直线l:mx－2y=2m+8,即m(x－2)－2(y+4)=0恒过定点A(2,－4),由原点O在直线l上的射影点为P,得OP⊥l,则点P在以OA为直径的圆上,该圆圆心为(1,－2),半径为r==,所以x0,y0满足的关系是+=5.故选B.
12.(2025·湖北武汉模拟)已知△ABC是边长为4的正三角形,点P是△ABC所在平面内的一点,且满足|++|=3,则||的最小值是(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D]
【答案】 C
【解析】 以AC所在直线为x轴,以AC中垂线为y轴建立直角坐标系,则A(－2,0),
B(0,6),C(2,0),设P(x,y),因为|++|=3,即=3,化简得x2+(y－2)2=1,
所以点P的轨迹方程为x2+(y－2)2=1,设圆心为G,G(0,2)恰为△ABC的重心,由圆的性质可知当AP过圆心时||最小,又|AG|==4,故||得最小值为|AG|－1=4－1=3,
故选C.
13.(5分)(2025·天津模拟)已知点A为圆C:(x－m)2+(y－m－1)2=2上一点,点B(3,0),当m变化时线段AB长度的最小值为　 .
【答案】
【解析】 圆C的圆心坐标为(m,m+1),半径r=,所以圆心在直线l:y=x+1上,
当AB⊥l时线段AB的长度最小,点B到直线l的距离d==2,
所以|AB|min=d－r=.
14.(15分)①过点C(2,0),②圆G恒被直线mx－y－m=0(m∈R)平分,③与y轴相切.
在以上三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知圆G经过点A(0,0),B(1,1),且　　　　.
(1)求圆G的一般方程;
(2)若P为圆G上任意一点,定点M(4,0),点Q满足=3,求点Q的轨迹方程.
【解】 (1)方案一:选条件①.(待定系数法—设圆的一般式方程)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2－4F>0),则
解得
则圆G的方程为x2+y2－2x=0.
方案二:选条件②.(直接法) 直线mx－y－m=0恒过点(1,0).
因为圆G恒被直线mx－y－m=0(m∈R)平分,
所以mx－y－m=0恒过圆心,
所以圆心坐标为(1,0).
又圆G经过点A(0,0),所以圆的半径r=1,
所以圆G的方程为(x－1)2+y2=1,
即x2+y2－2x=0.
方案三:选条件③.(待定系数法—设圆的标准方程) 设圆G的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2,
由题意可得解得
则圆G的方程为(x－1)2+y2=1,
即x2+y2－2x=0.
(2)设P(x0,y0),Q(x,y),
由=3,
得(4－x0,－y0)=3(4－x,－y),
所以
又点P在圆G上,
圆G的标准方程为(x－1)2+y2=1,
故(x0－1)2+=1,
所以(3x－9)2+(3y)2=1,
化简得点Q的轨迹方程为(x－3)2+y2=.
15.(多选题)(2025·辽宁丹东模拟)已知曲线E:x2+y2－2|x|－2|y|=0,则(　　)
[A] 曲线E围成图形面积为8+4π
[B] 曲线E的长度为4π
[C] 曲线E上任意一点到原点的最小距离为2
[D] 曲线E上任意两点间最大距离4
【答案】 ABD
【解析】 当x>0,y>0时,曲线E:(x－1)2+(y－1)2=2;
当x>0,y<0时,曲线E:(x－1)2+(y+1)2=2;
当x<0,y>0时,曲线E:(x+1)2+(y－1)2=2;
当x<0,y<0时,曲线E:(x+1)2+(y+1)2=2;
当x=0,y=0时,曲线E为原点.
画出曲线E的图形,如图所示.对于A,曲线E围成的面积可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为的半圆,故面积为2×2+2π×=8+4π,故A正确;对于B,曲线E由四个半径为的半圆组成,故周长为2×2π×=4π,故B正确;对于C,如图所示,
因为原点在曲线E上,所以最小值为0,故C错误;对于D,如图所示,曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时,距离最大,最大为4.故D正确.故选ABD.
16.(5分)(2025·安徽马鞍山模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(－2,0),若直线l:2x－y+m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,实数m的取值范围是　　　　　　　　.
【答案】 [－4－2,－4+2]
【解析】 设点P(x,y),由|PA|=|PB|,
得=,
化简得,(x－2)2+y2=4,
依题意,直线l:2x－y+m=0与圆:(x－2)2+y2=4相交,得≤2,
解得－4－2≤m≤－4+2.
(
第
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第2节　圆的方程
1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
[课程标准要求]
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆
标准 方程 (x－a)2+(y－b)2=r2(r>0) 圆心为
半径为r
定点
定长
(a,b)
知识梳理
D2+E2－4F>0
释疑
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2－4F>0.
知识梳理
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x－a)2+(y－b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则 ;
(2)若M(x0,y0)在圆上,则 ;
(3)若M(x0,y0)在圆内,则 .
(x0－a)2+(y0－b)2>r2
(x0－a)2+(y0－b)2=r2
(x0－a)2+(y0－b)2重要结论
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0.
2.同心圆系方程:(x－a)2+(y－b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
对点自测
1.(人教A版选择性必修第一册P85练习T2改编)已知圆的标准方程是
(x－3)2+(y+2)2=16,下列各点在圆内的是(　　)
[A] (2,2) [B] (1,3)
[C] (－1,－2) [D] (0,－1)
D
【解析】 A中,(2－3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;B中,(1－3)2+(3+2)2=29>16,在圆外;C中,(－1－3)2+(－2+2)2=16,在圆上;D中,(0－3)2+(－1+2)2=10<16,在圆内.故选D.
对点自测
2.圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)
[A] x2+(y－2)2=1
[B] x2+(y+2)2=1
[C] (x－1)2+(y－3)2=1
[D] x2+(y－3)2=4
A
【解析】 根据题意可设圆的方程为x2+(y－b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2－b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y－2)2=1.故选A.
对点自测
3.(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2 T7改编)若曲线C:
x2+y2+2ax－4ay－10a=0表示圆,则实数a的取值范围为(　　)
[A] (－2,0)
[B] (－∞,－2)∪(0,+∞)
[C] [－2,0]
[D] (－∞,－2]∪[0,+∞)
B
对点自测
【解析】 由x2+y2+2ax－4ay－10a=0,得(x+a)2+(y－2a)2=5a2+10a,由该曲线表示圆,可知5a2+10a>0,解得a>0或a<－2.故选B.
4. (2024·北京卷)圆x2+y2－2x+6y=0的圆心到x－y+2=0的距离为　　　　.
对点自测
对点自测
5.(人教A版选择性必修第一册P87例5改编)已知圆C经过点A(3,1),B(－1,3),且它的圆心在直线3x－y－2=0上,则圆C的标准方程为　　　　　 　　 　;若点D为圆C上任意一点,且点E(3,0),则线段ED的中点M的轨迹方程为
　　　　　　　　　　 .
(x－2)2+(y－4)2=10
对点自测
对点自测
考点一　圆的方程
1.(2025·江苏常州模拟)过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(　　)
[A] x2+y2－2x－3y=0
[B] x2+y2+2x－3y=0
[C] x2+y2－2x+3y=0
[D] x2+y2+2x+3y=0
A
2.(2025·浙江台州模拟)若直线4x+3y－12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以AB为直径的圆的方程为(　　)
[A] x2+y2－3x－4y=0
[B] x2+y2－4x－3y=0
[C] x2+y2+3x+4y=0
[D] x2+y2+4x+3y=0
A
3. (2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y－1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　　　　　.
(x－1)2+(y+1)2=5
4.(2025·山东济南模拟)若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=－2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为　　　　　　　　.
题后悟通
求圆的方程的两种方法
(1)直接法.
根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法.
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值.
②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
考点二　与圆有关的轨迹问题
[例1] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(－1,0),B(3,0).求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
[例1] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(－1,0),B(3,0).求:
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.
(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
解题策略
[针对训练] (1)若两定点A(1,0),B(4,0),动点M满足2|MA|=|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为(　　)
[A] π [B] 2π [C] 3π [D] 4π
D
(x－6)2+(y－6)2=1
考点三　与圆有关的最值问题
角度1　利用几何性质求最值
[例2] (多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2－4x－2y+4=0,则下列说法正确的是(　 　)
ABD
借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解:
解题策略
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如m=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
角度2　利用函数求最值
12
解题策略
建立函数关系式求最值:列出关于所求目标式子的函数关系,然后把握关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法求最值.
[针对训练]
D
10
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
圆的定义及方程 1,2,3,4,7,9
与圆有关的轨迹问题 8,11,14
与圆有关的最值、范围问题 5,6,12,13
综合问题 10,15,16
基础巩固练
1.若圆的方程为(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0,则圆心坐标为(　　)
D
2.若点A(2,1)在圆x2+y2－2mx－2y+5=0(m为常数)外,则实数m的取值范围为(　　)
[A] (－∞,2) [B] (2,+∞)
[C] (－∞,－2) [D] (－2,+∞)
C
【解析】 由题意知22+12－4m－2+5>0,
故m<2,
又由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
可得D2+E2－4F>0,
即(－2m)2+(－2)2－4×5>0,
即m<－2或m>2,
所以实数m的取值范围为m<－2.
故选C.
3.已知方程x2+y2－4x+8y+2a=0,则下列说法不正确的是(　　)
[A] 当a=10时,方程表示圆心为(2,－4)的圆
[B] 当a<10时,方程表示圆心为(2,－4)的圆
[D] 当a=8时,方程表示的圆与y轴相切
A
【解析】 由题意,方程x2+y2－4x+8y+2a=0,可化为(x－2)2+(y+4)2=20－2a,
当a=10时,20－2a=0,方程x2+y2－4x+8y+2a=0表示点(2,－4),故A错误;
当a<10时,20－2a>0,方程x2+y2－4x+8y+2a=0表示圆心为(2,－4)的圆,故B正确;
当a=8时,20－2a=4,方程x2+y2－4x+8y+2a=0表示的圆的半径为2,圆心为(2,－4),与y轴相切,故D正确.
故选A.
B
[A] x2+y2－2x+4y+3=0
[B] x2+y2+2x－4y+3=0
[C] x2+y2－4x+2y+3=0
[D] x2+y2+4x－2y+3=0
5.(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2－4x－2y－4=0,则x－y的最大值是(　　)
C
6.已知M为圆C:(x+2)2+(y+1)2=4上任意一点,直线(3λ+1)x+(2λ+1)y=5λ+2过定点P,则|MP|的最大值为(　　)
B
7.(5分)已知点A(－2,1),B(－1,0),C(2,3),D(a,3)四点共圆,则点D到坐标原点O的距离为　　　　.
8.(12分)(2025·广东揭阳模拟)已知点M在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P为线段MN的中点.
(1)求点P的轨迹方程;
8.(12分)(2025·广东揭阳模拟)已知点M在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P为线段MN的中点.
(2)求点P到直线3x+4y－26=0的距离的最大值和最小值.
综合运用练
9.(多选题)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程为(　 　)
AB
【解析】 根据题意,可设圆心为C(0,a),半径为r,如图所示,
10.(多选题)设有一组圆Ck:(x－k)2+(y－k)2=4(k∈R),下列命题正确的是
(　 　 )
[A] 不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
[B] 所有圆Ck均不经过点(3,0)
[C] 经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
[D] 所有圆的面积均为4π
ABD
【解析】 圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;
令(3－k)2+(0－k)2=4,化简得2k2－6k+5=0,因为Δ=36－40=－4<0,
所以2k2－6k+5=0无实数根,B正确;
由(2－k)2+(2－k)2=4,化简得k2－4k+2=0,因为Δ=16－8=8>0,k2－4k+2=0,
有两个不等实根,故经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;
由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.故选ABD.
11.已知坐标原点在直线mx－2y=2m+8上的射影点为P(x0,y0),则x0,y0必然满足的关系是(　　)
B
C
13.(5分)(2025·天津模拟)已知点A为圆C:(x－m)2+(y－m－1)2=2上一点,点B(3,0),当m变化时线段AB长度的最小值为　 .
14.(15分)①过点C(2,0),②圆G恒被直线mx－y－m=0(m∈R)平分,③与y轴相切.
在以上三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知圆G经过点A(0,0),B(1,1),且　　　　.
(1)求圆G的一般方程;
方案二:选条件②.(直接法) 直线mx－y－m=0恒过点(1,0).
因为圆G恒被直线mx－y－m=0(m∈R)平分,
所以mx－y－m=0恒过圆心,
所以圆心坐标为(1,0).
又圆G经过点A(0,0),所以圆的半径r=1,
所以圆G的方程为(x－1)2+y2=1,
即x2+y2－2x=0.
15.(多选题)(2025·辽宁丹东模拟)已知曲线E:x2+y2－2|x|－2|y|=0,则( 　 　)
应用创新练
ABD
【解析】 当x>0,y>0时,曲线E:(x－1)2+(y－1)2=2;
当x>0,y<0时,曲线E:(x－1)2+(y+1)2=2;
当x<0,y>0时,曲线E:(x+1)2+(y－1)2=2;
当x<0,y<0时,曲线E:(x+1)2+(y+1)2=2;
当x=0,y=0时,曲线E为原点.

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