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第4节　椭　圆
[课程标准要求]
1.了解椭圆及椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学表达式:集合E={P||PF1|+|PF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
①若a>c,则集合E为椭圆;
②若a=c,则集合E为线段;
③若a2.椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0), A2(a,0), B1(0,－b), B2(0,b) A1(0,－a), A2(0,a), B1(－b,0), B2(b,0)
轴长 短轴长为2b,长轴长为2a
焦点 F1(－c,0), F2(c,0) F1(0,－c), F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
对称性 对称轴:x轴和y轴,对称中心:原点
离心率 e=(0a,b,c的关系 a2=b2+c2
在椭圆的标准方程中,
焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大;
焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大.
1.椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦.
2.椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关,当a不变时,e越大,b越小,椭圆越扁;e越小,b越大,椭圆越圆.
3.椭圆系方程
(1)与+=1共焦点的椭圆系方程为+=1(k(2)与+=1有共同的离心率的椭圆系方程为+=λ与+=λ(λ>0).
4.椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.
(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.
(2)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|.
(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤() 2=a2.
(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
1.(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为该椭圆上任意一点(异于长轴端点),则△PF1F2的周长为(　　)
[A] 10 [B] 13 [C] 14 [D] 16
2.(北师大版选择性必修第一册P58习题2-1 B组T2改编)若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为(　　)
[A] (0,) [B] (0,)
[C] (,1) [D] (,1)
3.已知椭圆+=1(a>b>0),A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的一个焦点.若AB⊥BF,则该椭圆的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.(2025·福建泉州模拟)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(－,),(,),则椭圆方程为　　　　　　　　.
5.(人教A版选择性必修第一册P116习题3.1 T12改编)若椭圆C:+=1,则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为　　　　　　.
考点一　椭圆的定义及应用
[例1] (1)已知两圆C1:(x－4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
[A] =1 [B] +=1
[C] =1 [D] +=1
(2)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|等于(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 4 [D] 5
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
[针对训练] (1)若动点M(x,y)满足方程+=10,则动点M的轨迹方程为(　　)
[A] +=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +=1
(2)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　　　　　.
考点二　椭圆的标准方程
[例2] (1)过点(,－),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)
[A] +=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +=1
(2)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)
[A] +y2=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +=1
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
[针对训练] (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,且满足∠F1MF2=90°,MF2延长线交椭圆于另一点C,|MF2|=2|F2C|=2,则椭圆的方程为(　　)
[A] +y2=1 [B] +y2=1
[C] +=1 [D] +=1
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
[A] +=1(y>0) [B] +=1(y>0)
[C] +=1(y>0) [D] +=1(y>0)
考点三　椭圆的几何性质
角度1　椭圆的离心率
[例3] (1)(2025·福建福州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆C交于M,N两点,若=3且∠F1NF2=∠F1F2N,则椭圆C的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)(2025·江苏盐城模拟)已知点F1,F2是椭圆B:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点M为椭圆B上一点,点F1关于∠F1MF2的平分线的对称点N也在椭圆B上,若cos∠F1MF2=,则椭圆B的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解.
(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解.
(3)构造a,c的二元齐次方程,将其转化为关于e的一元二次方程,从而求得e.
角度2　椭圆上的点有关的最值或范围问题
[例4] (1)(2025·湖南长沙模拟)已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆的离心率为,M为椭圆上一动点,则∠F1MF2的最大值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)已知P为椭圆+=1上一点,M,N分别是圆(x+3)2+y=4和(x－3)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的取值范围是(　　)
[A] [7,13] [B] [10,15]
[C] [10,13] [D] [7,15]
与椭圆上的点有关的最值
或范围问题的求解方法
(1)设出椭圆上的点的坐标,构造关于以点的坐标为变量的函数关系式,利用函数知识求解.
(2)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
(3)根据几何图形的临界情况建立不等关系,如运用三点共线、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等性质求解.
[针对训练]
1.(角度1)设F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆上存在一点P使得|PF1|－|PF2|=2b,|PF1|·|PF2|=ab,则该椭圆的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.(角度2)已知椭圆+=1的左顶点为A,右焦点为F,M是椭圆上任意一点,则·的取值范围为(　　)
[A] [－16,0] [B] [－8,0]
[C] [0,8] [D] [0,16]
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
椭圆的定义及应用 1,6,7,13
椭圆的标准方程 2,4
椭圆的几何性质 3,9,10,12
椭圆的综合问题 5,8,11,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.“2[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
2.已知△ABC的周长等于10,|BC|=4,通过建立适当的平面直角坐标系,顶点A的轨迹方程可以是(　　)
[A] +=1(y≠0) [B] +=1(y≠0)
[C] +=1(y≠0) [D] +=1(y≠0)
3.若椭圆C:+=1(m>9)比椭圆D:+=1更扁,则C的长轴长的取值范围是(　　)
[A] (6,6) [B] (18,36)
[C] (6,+∞) [D] (36,+∞)
4.(2025·江西新余模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,经过F2的直线l与C交于A,B两点,若·=16,·=9,·=0,则椭圆C的方程为(　　)
[A] +=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +y2=1
5.(多选题)已知椭圆C:+=1(0[A] C的短轴长为4
[B] C上存在点P,使得PF1⊥PF2
[C] C上存在点P,使得·=
[D] C与曲线+=4 重合
6.(5分)(2025·湖北武汉模拟)设椭圆+=1的左、右焦点为F1,F2,椭圆上点P满足|PF1|∶|PF2|=2∶3,则△PF1F2的面积为　 .
7.(5分)(2025·江苏宿迁模拟)若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P(x0,y0)在椭圆C上,△PF1F2的内切圆的半径为1,则|y0|的值为　　　　　　　.
8.(12分)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且 PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2－,求椭圆的标准方程;
(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.
9.(2025·浙江杭州模拟)已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω:+=1(a>b>0),且AB,AD斜率之积的范围为(－,－),则椭圆Ω离心率的取值范围是(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] (,)
10.(2025·广东深圳模拟)P是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,·=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=b.则C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
11.(多选题)(2025·福建福州模拟)已知F1,F2为椭圆Γ:+y2=1(a>1)的左、右焦点,P为平面上一点,若·=0,则(　　)
[A] 当P为Γ上一点时,△PF1F2的面积为1
[B] 当P为Γ上一点时,+的值可以为1
[C] 当满足条件的点P均在Γ内部时,则Γ的离心率小于
[D] 当点P在Γ的外部时,在Γ上必存在点M,使得·=0
12.已知曲线M:+=4,圆N:(x－5)2+y2=1,若A,B分别是M,N上的动点,则|AB|的最小值是(　　)
[A] 2 [B] 2
[C] 3 [D] 2+
13.(5分)设椭圆+=1的左、右焦点为F1,F2,过点F2的直线与该椭圆交于A,B两点,若线段AF2的中垂线过点F1,则|BF2|=　　　　.
14.(14分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
15.(多选题)(2025·安徽合肥模拟)已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则(　　)
[A] 存在点M,使∠AMB=120°
[B] ·=2·
[C] ·的最小值为－
[D] △FMN周长的最大值为8
16.(多选题)设F1,F分别为椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上的动点,且椭圆上至少有17个不同的点Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…构成公差为d且递增的等差数列,则(　　)
[A] |FP|的最大值为2+4
[B] △F1PF的面积最大时,tan∠F1PF=－
[C] d的取值范围为(0,]
[D] 椭圆上存在点P,使∠F1PF=
第4节　椭　圆（解析版）
[课程标准要求]
1.了解椭圆及椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学表达式:集合E={P||PF1|+|PF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
①若a>c,则集合E为椭圆;
②若a=c,则集合E为线段;
③若a2.椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0), A2(a,0), B1(0,－b), B2(0,b) A1(0,－a), A2(0,a), B1(－b,0), B2(b,0)
轴长 短轴长为2b,长轴长为2a
焦点 F1(－c,0), F2(c,0) F1(0,－c), F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
对称性 对称轴:x轴和y轴,对称中心:原点
离心率 e=(0a,b,c的关系 a2=b2+c2
在椭圆的标准方程中,
焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大;
焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大.
1.椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦.
2.椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关,当a不变时,e越大,b越小,椭圆越扁;e越小,b越大,椭圆越圆.
3.椭圆系方程
(1)与+=1共焦点的椭圆系方程为+=1(k(2)与+=1有共同的离心率的椭圆系方程为+=λ与+=λ(λ>0).
4.椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.
(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.
(2)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|.
(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤() 2=a2.
(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
1.(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为该椭圆上任意一点(异于长轴端点),则△PF1F2的周长为(　　)
[A] 10 [B] 13 [C] 14 [D] 16
【答案】 D
【解析】 由题意可知,a=5,b=4,c==3,则|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=6,所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16.故选D.
2.(北师大版选择性必修第一册P58习题2-1 B组T2改编)若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为(　　)
[A] (0,) [B] (0,)
[C] (,1) [D] (,1)
【答案】 B
【解析】 由题可知,1－m>m>0,解得0所以实数m的取值范围为(0,).故选B.
3.已知椭圆+=1(a>b>0),A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的一个焦点.若AB⊥BF,则该椭圆的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意得,A(－a,0),B(0,b),F(c,0),
因为AB⊥BF,所以·=0,
则ac－b2=ac－a2+c2=0,e2+e－1=0,解得e=或e=(舍).故选B.
4.(2025·福建泉州模拟)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(－,),(,),则椭圆方程为　　　　　　　　.
【答案】 +=1
【解析】 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).由解得m=,n=.所以椭圆方程为+=1.
5.(人教A版选择性必修第一册P116习题3.1 T12改编)若椭圆C:+=1,则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为　　　　　　.
【答案】 3
【解析】 由题意知a=2,b=,c==1,距离的最大值为a+c=3.
考点一　椭圆的定义及应用
[例1] (1)已知两圆C1:(x－4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
[A] =1 [B] +=1
[C] =1 [D] +=1
(2)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|等于(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 4 [D] 5
[溯源探本] 本例题(2)源于人教B版选择性必修第一册P142习题2-5A T3.
【答案】 (1)D　(2)B
【解析】 (1)设动圆的圆心M(x,y),半径为r,
圆M与圆C1:(x－4)2+y2=169内切,
与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,
所以|MC1|=13－r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义知,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82－42=48,动圆圆心M的轨迹方程为+=1.故选D.
(2)因为·=0,所以∠F1PF2=90°,
由椭圆方程可知,c2=5－1=4 c=2,
所以+==42=16,
又|PF1|+|PF2|=2a=2,平方得
++2|PF1||PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2.故选B.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
[针对训练] (1)若动点M(x,y)满足方程+=10,则动点M的轨迹方程为(　　)
[A] +=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +=1
(2)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　　　　　.
【答案】 (1)B　(2)(3,)
【解析】 (1)方程+=10的几何意义为动点M(x,y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10,且10>2+2,由椭圆的定义可得动点M的轨迹是椭圆,且焦点在x轴上,2a=10,2c=4,b2=a2－c2=52－22=21.因此椭圆的方程为+=1.故选B.
(2) 由已知可得a2=36,b2=20,所以c2=a2－b2=16,所以c=4,
又M为C上一点且在第一象限,△MF1F2为等腰三角形,
所以|MF1|=|F1F2|=2c=8,所以|MF2|=4.
设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则=·|F1F2|·y0=4y0.
又=×4×=4,
所以4y0=4,解得y0=.
所以+=1,解得x0=3(x0=－3舍去),
所以M的坐标为(3,).
考点二　椭圆的标准方程
[例2] (1)过点(,－),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)
[A] +=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +=1
(2)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)
[A] +y2=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +=1
【答案】 (1)C　(2)B
【解析】 (1)法一(定义法)　椭圆+=1的焦点坐标为(0,－4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2.由c2=a2－b2可得b2=4,
所以所求椭圆的标准方程为+=1.故选C.
法二(待定系数法)　因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25－9=16.
设它的标准方程为+=1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2－b2,故a2－b2=16.①
又点(,－)在所求椭圆上,
所以+=1,则+=1.②
由①②得b2=4,a2=20,
所以所求椭圆的标准方程为+=1.故选C.
(2)因为|AF2|=2|BF2|,所以|AB|=3|BF2|,
又|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3|BF2|,
又|BF1|+|BF2|=2a,所以|BF2|=,
所以|AF2|=a,|BF1|=a,
因为|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=a,
所以|AF1|=|AF2|,所以A点在y轴上.
在△AF1F2中,
cos∠BAF1===1－,
在△ABF1中,
cos∠BAF1==,
所以1－=,解得a2=3,b2=a2－c2=2.即椭圆方程为+=1.故选B.
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
[针对训练] (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,且满足∠F1MF2=90°,MF2延长线交椭圆于另一点C,|MF2|=2|F2C|=2,则椭圆的方程为(　　)
[A] +y2=1 [B] +y2=1
[C] +=1 [D] +=1
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
[A] +=1(y>0) [B] +=1(y>0)
[C] +=1(y>0) [D] +=1(y>0)
【答案】 (1)C　(2)A
【解析】 (1)因为点M在椭圆上,MF2延长线交椭圆于另一点C,且|MF2|=2|F2C|=2,
所以|MF1|=2a－2,
|CF1|=2a－1,则|CM|=3,由于∠F1MF2=90°,所以+|CM|2=,即(2a－2)2+9=(2a－1)2,解得a=3,所以|MF1|=2a－2=4,则|F1F2|===2,则c=,b2=a2－c2=4,所以椭圆方程为+=1,故选C.
(2)设点M(x,y),则P′(x,0),因为M为PP′的中点,所以P(x,2y),
又P在圆x2+y2=16(y>0)上,所以x2+4y2=16(y>0),即+=1(y>0),即点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A.
考点三　椭圆的几何性质
角度1　椭圆的离心率
[例3] (1)(2025·福建福州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆C交于M,N两点,若=3且∠F1NF2=∠F1F2N,则椭圆C的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)(2025·江苏盐城模拟)已知点F1,F2是椭圆B:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点M为椭圆B上一点,点F1关于∠F1MF2的平分线的对称点N也在椭圆B上,若cos∠F1MF2=,则椭圆B的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 (1)D　(2)B
【解析】 (1)因为∠F1NF2=∠F1F2N,
所以|F1N|=|F1F2|=2c,
又|F1N|+|F2N|=2a,
所以|F2N|=2a－|F1N|=2a－2c,
又=3,所以|MN|=3|F2M|,
所以|F2M|=|F2N|=a－c,
又|F1M|+|F2M|=2a,所以|F1M|=a+c,
在△F1NF2中,
cos∠F1NF2=,
在△F1NM中,
cos∠F1NM=,
由cos∠F1NF2=cos∠F1NM,
可得a2+3c2－4ac=0,解得e=或1(舍去).
所以椭圆C的离心率为e=.故选D.
(2)由题意可作图.
由图可知,|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|=2a,
作MP平分∠F1MF2,交F1N于P,则∠F1MP=∠F1MF2,
所以sin∠F1MP=,
由cos∠F1MF2=,则sin∠F1MP=,
由N是F1关于∠F1MF2的平分线的对称点,则N,F2,M共线,|F1P|=|NF1|,MP⊥F1N,
|MF1|=|MN|,
所以|MF1|+|MN|+|NF1|=4a,在Rt△MF1P中,|F1P|=|MF1|·sin∠F1MP=|MF1|,
可得|MF1|+|MN|+2|F1P|=2|MF1|+|MF1|=4a,解得|MF1|=a,|MF2|=a,
在△F1MF2中,由余弦定理,可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2－2|MF1||MF2|cos∠F1MF2,
代入可得,4c2=a2+a2－2×a×a×,化简可得,4c2=a2,
所以其离心率e==.故选B.
求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解.
(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解.
(3)构造a,c的二元齐次方程,将其转化为关于e的一元二次方程,从而求得e.
角度2　椭圆上的点有关的最值或范围问题
[例4] (1)(2025·湖南长沙模拟)已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆的离心率为,M为椭圆上一动点,则∠F1MF2的最大值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)已知P为椭圆+=1上一点,M,N分别是圆(x+3)2+y=4和(x－3)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的取值范围是(　　)
[A] [7,13] [B] [10,15]
[C] [10,13] [D] [7,15]
【答案】 (1)A　(2)A
【解析】 (1)因为e==,所以a=2c,
M为椭圆上一动点,设|MF1|=m,|MF2|=n.
则m+n=2a,在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1MF2===－1≥－1=－1=,
当且仅当m=n时,等号成立,即当点M为椭圆短轴顶点时,cos∠F1MF2取得最小值,又∠F1MF2∈(0,π),所以∠F1MF2的最大值为.故选A.
(2)点P为椭圆上的动点,M,N分别为两个圆上的动点,三个点都是动点,这时需要研究图形的结构特征,注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、右焦点,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|的最大值为|PF1|+r1,最小值为|PF1|－r1,|PN|的最大值为|PF2|+r2,最小值为|PF2|－r2,如图所示.
则求|PM|+|PN|的取值范围转化为求|PF1|+|PF2|的范围,又利用椭圆的定义得到|PF1|+|PF2|=
2a=10.所以7=10－(1+2)≤|PM|+|PN|≤10+1+2=13.
从而所求取值范围为[7,13].故选A.
与椭圆上的点有关的最值
或范围问题的求解方法
(1)设出椭圆上的点的坐标,构造关于以点的坐标为变量的函数关系式,利用函数知识求解.
(2)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
(3)根据几何图形的临界情况建立不等关系,如运用三点共线、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等性质求解.
[针对训练]
1.(角度1)设F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆上存在一点P使得|PF1|－|PF2|=2b,|PF1|·|PF2|=ab,则该椭圆的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|－|PF2|=2b,解得|PF1|=a+b,|PF2|=a－b,
所以|PF1|·|PF2|=a2－b2=ab,则1－()2=×,则=,所以离心率为e===.故选B.
2.(角度2)已知椭圆+=1的左顶点为A,右焦点为F,M是椭圆上任意一点,则·的取值范围为(　　)
[A] [－16,0] [B] [－8,0]
[C] [0,8] [D] [0,16]
【答案】 D
【解析】 法一　由题意知A(－4,0),F(2,0),设M(x0,y0),则·=(－4－x0,－y0)·(2－x0,－y0)=(x0－2)(x0+4)+=+2x0－8+12－=+2x0+4=(x0+4)2,因为+=1,
所以=1－≤1,所以－4≤x0≤4,所以0≤·≤16.故选D.
法二　由题意知A(－4,0),F(2,0),设M(x0,y0),取线段AF的中点N,则N(－1,0),连接MN,
如图,
则·===－9=(x0+1)2+－9=+2x0+1+12－－9=+2x0+4=(x0+4)2,因为+=1,所以=1－≤1,
所以－4≤x0≤4,所以0≤·≤16.故选D.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
椭圆的定义及应用 1,6,7,13
椭圆的标准方程 2,4
椭圆的几何性质 3,9,10,12
椭圆的综合问题 5,8,11,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.“2[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 若方程+=1表示的曲线为椭圆,则
解得22.已知△ABC的周长等于10,|BC|=4,通过建立适当的平面直角坐标系,顶点A的轨迹方程可以是(　　)
[A] +=1(y≠0) [B] +=1(y≠0)
[C] +=1(y≠0) [D] +=1(y≠0)
【答案】 A
【解析】 以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略),
则B(－2,0),C(2,0),又△ABC的周长等于10,
所以|AB|+|AC|=6>4=|BC|,
所以点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,所以a=3,c=2,b2=5,
所以顶点A的轨迹方程为+=1(y≠0).故选A.
3.若椭圆C:+=1(m>9)比椭圆D:+=1更扁,则C的长轴长的取值范围是(　　)
[A] (6,6) [B] (18,36)
[C] (6,+∞) [D] (36,+∞)
【答案】 C
【解析】 椭圆C的离心率e1=,椭圆D的离心率e2==,因为椭圆C比椭圆D更扁,所以e1>e2,即>,
解得m>18,则2>6,
所以椭圆C的长轴长的取值范围是(6,+∞).故选C.
4.(2025·江西新余模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,经过F2的直线l与C交于A,B两点,若·=16,·=9,·=0,则椭圆C的方程为(　　)
[A] +=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +y2=1
【答案】 A
【解析】 因为·=0,可知BA⊥BF1,
则·==16,·==9,
可得||=4,||=3,即|F1B|=4,|AB|=3,则|AF1|==5,
由椭圆定义可得4a=|AF1|+|F1B|+|AB|=12,即a=3,且|F2B|=2a－|F1B|=2,
则|F1F2|==2,
即2c=2,可得c=,b==2,
所以椭圆C的方程为+=1.故选A.
5.(多选题)已知椭圆C:+=1(0[A] C的短轴长为4
[B] C上存在点P,使得PF1⊥PF2
[C] C上存在点P,使得·=
[D] C与曲线+=4 重合
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由题知解得c=,所以b==,所以C的短轴长为2,A错误;
对于BC,由上可知,F1(－,0),F2(,0),
设P(x0,y0),则=(－－x0,－y0),=(－x0,－y0),
又+=1,即=8－4,
所以·=(－－x0)(－x0)+=+－6=2－3,
因为－≤y0≤,所以0≤≤2,得－4≤·≤2,
所以存在点P使得·=0,·=,所以BC正确;
对于D,由+=4的几何意义可知,
动点(x,y)到定点F1(－,0),F2(,0)的距离之和等于4,表示以F1(－,0),F2(,0)为焦点,a=2的椭圆,故D正确.故选BCD.
6.(5分)(2025·湖北武汉模拟)设椭圆+=1的左、右焦点为F1,F2,椭圆上点P满足|PF1|∶|PF2|=2∶3,则△PF1F2的面积为　 .
【答案】 12
【解析】 由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,
则有=,即|PF1|=4,|PF2|=6,
又|F1F2|=2c=2=2,
由42+62=52=,故∠F1PF2=90°,
故=×4×6=12.
7.(5分)(2025·江苏宿迁模拟)若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P(x0,y0)在椭圆C上,△PF1F2的内切圆的半径为1,则|y0|的值为　　　　　　　.
【答案】 4
【解析】 如图,=|F1F2|·|y0|=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r,
所以2c·|y0|=2a+2c,
所以|y0|=+1=3+1=4.
8.(12分)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且 PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2－,求椭圆的标准方程;
(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.
【解】 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2－)=4,故a=2.
设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,
得2c=|F1F2|===2,
所以c=,从而b==1,
故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)连接F1Q,如图所示,
由椭圆的定义,
|PF1|+|PF2|=2a,
|QF1|+|QF2|=2a.
从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a－2|PF1|.
设|PF1|=m,所以|QF1|=4a－2m,|QF2|=2m－2a,|PF2|=2a－m,
又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,
所以
即解得
所以e===.
9.(2025·浙江杭州模拟)已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω:+=1(a>b>0),且AB,AD斜率之积的范围为(－,－),则椭圆Ω离心率的取值范围是(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] (,)
【答案】 A
【解析】 由题意,A,C和B,D均关于原点对称,令B(m,n),则D(－m,－n),
若A(x,y),则kABkAD=·===－∈(－,－),
所以椭圆Ω离心率e=∈(,).
故选A.
10.(2025·广东深圳模拟)P是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,·=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=b.则C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ交PF2于A,
由题意知OQ∥PF1,O为F1F2的中点,故A为PF2中点,
又·=0,即PF1⊥PF2,则∠QAP=,
又由∠QPA=,则△AQP是等腰直角三角形,
故有
化简得即
代入m2+n2=4c2得(a+b)2+(a－b)2=4c2,
即a2+b2=2c2,由b2=a2－c2,所以2a2=3c2,
所以e2=,e=.故选C.
11.(多选题)(2025·福建福州模拟)已知F1,F2为椭圆Γ:+y2=1(a>1)的左、右焦点,P为平面上一点,若·=0,则(　　)
[A] 当P为Γ上一点时,△PF1F2的面积为1
[B] 当P为Γ上一点时,+的值可以为1
[C] 当满足条件的点P均在Γ内部时,则Γ的离心率小于
[D] 当点P在Γ的外部时,在Γ上必存在点M,使得·=0
【答案】 ACD
【解析】 对于A,如图,因为P点在椭圆上,不妨设P点在第一象限,所以|PF1|+|PF2|=2a,
又因为·=0 ⊥,
所以+=(2c)2=4(a2－1).
所以2|PF1|·|PF2|=4,
所以=|PF1|·|PF2|=1,故A正确;
对于B,因为|PF1|·|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=2a,所以==a,而a>1.
所以+=a不可能为1,故B错误;
对于C,如图:
当P都在椭圆内部,则c<1 c2对于D,如图:
当P在Γ的外部时,因为a>c,所以以F1,F2为直径的圆与椭圆Γ必有交点,
不妨取M,则·=0,故D正确.故选ACD.
12.已知曲线M:+=4,圆N:(x－5)2+y2=1,若A,B分别是M,N上的动点,则|AB|的最小值是(　　)
[A] 2 [B] 2
[C] 3 [D] 2+
【答案】 C
【解析】 根据题意,曲线M:+=4,
则曲线M上的点到点(0,)和(0,－)距离之和为4>2,
根据椭圆定义知曲线M是以(0,)和(0,－)为焦点的椭圆,
其中c=,a=2,则b==1,所以曲线M的方程为+x2=1,
设点A(x0,y0)满足+=1且x0∈[－1,1],可得=4(1－),
圆N:(x－5)2+y2=1的圆心为(5,0),半径为1,则|AN|=
=,
又函数y=在x0∈[－1,1]单调递减,所以|AN|≥=4,
所以|AB|的最小值是|AN|min－1=3.故选C.
13.(5分)设椭圆+=1的左、右焦点为F1,F2,过点F2的直线与该椭圆交于A,B两点,若线段AF2的中垂线过点F1,则|BF2|=　　　　.
【答案】
【解析】 设线段AF2的中垂线与AF2相交于点M,由椭圆+=1方程可知,
a=3,b=,c=2;由已知有|AF1|=|F1F2|=2c=4,点A在椭圆上,
根据椭圆定义有,|AF1|+|AF2|=2a=6,所以|AF2|=2,
|AM|=|MF2|=1,
在Rt△F1F2M中,cos∠F1F2M==,∠F1F2M+∠F1F2B=π,
cos∠F1F2B=－,点B在椭圆上,根据椭圆定义有|BF1|+|BF2|=2a=6,
设|BF2|=m,则|BF1|=6－m,|F1F2|=4,在△F1F2B中,由余弦定理有,
cos∠F1F2B===－,
解得m=,即|BF2|=.
14.(14分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
【解】 (1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,
|PF2|=c,|PF1|=c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,
故C的离心率为e==－1.
(2)P为椭圆C上一点,
故|PF1|+|PF2|=2a,①
由PF1⊥PF2得
=|PF1|·|PF2|=16,②
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,③
由①②③式可得(|PF1|+|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|=4a2－4×16=4c2,又a2=b2+c2,可得b=4.
设点P到线段F1F2的距离为d,则由△F1PF2的面积公式可得d==,由P在椭圆上可得d≤4,即c≥4,故a2=b2+c2≥32,
又b=4,故a≥4,
a的取值范围为[4,+∞).
15.(多选题)(2025·安徽合肥模拟)已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则(　　)
[A] 存在点M,使∠AMB=120°
[B] ·=2·
[C] ·的最小值为－
[D] △FMN周长的最大值为8
【答案】 BCD
【解析】 对于A,设椭圆的上顶点为E,则直角三角形BOE中,tan∠OEB===<,则∠AEB<,故A错误;
对于B,设M(m,n),则T(m,0),N(m,－n),且+=1,即4－m2=2n2,
又A(－2,0),B(2,0),
则·=(－2－m,0)·(2－m,0)=－(2+m)(2－m)=－(4－m2)=－2n2,
又2·=－2n2,
故·=2·,则B正确;
对于C,F(－,0),·=(m+,n)·(m+,－n)=－n2==
+2m,－2对于D,设椭圆的右焦点为F′,
△FMN的周长为|MF|+|NF|+|MN|=4－|MF′|+4－|NF′|+|MN|=8－(|MF′|+|MF′|－|MN|)≤8,
当且仅当M,N,F′三点共线时,等号成立,故D正确.故选BCD.
16.(多选题)设F1,F分别为椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上的动点,且椭圆上至少有17个不同的点Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…构成公差为d且递增的等差数列,则(　　)
[A] |FP|的最大值为2+4
[B] △F1PF的面积最大时,tan∠F1PF=－
[C] d的取值范围为(0,]
[D] 椭圆上存在点P,使∠F1PF=
【答案】 ABC
【解析】 由椭圆方程+=1知,a=2,b=2,c=4,
因为P为椭圆上的动点,所以a－c≤|PF|≤a+c,所以|FP|的最大值为a+c=2+4,故A正确;
当点P为短轴顶点时,△F1PF的高最大,所以△F1PF的面积最大.
此时tan∠F1PF=－,故B正确;
设|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为d的等差数列{an},所以a1≥a－c=2－4,an≤a+c=2+4,
d=≤≤=,
故C正确;
因为cos∠F1PF==,
又|PF1|+|PF|=2a,
|F1F|=2c,
所以cos∠F1PF=－1,
而|PF1|+|PF|≥2,
当且仅当|PF1|=|PF|时取等号.此时|PF1||PF|≤a2,
cos∠F1PF≥－1,
故此时∠F1PF最大.此时tan∠F1PF=－<－1=tan.故D不成立.
故选ABC.
(
第
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)(共96张PPT)
第4节　椭　圆
1.了解椭圆及椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
[课程标准要求]
知识梳理
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的
,焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学表达式:集合E= ,|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
①若a>c,则集合E为椭圆;
②若a=c,则集合E为线段;
③若a椭圆
焦点
焦距
{P||PF1|+|PF2|=2a}
知识梳理
2.椭圆的几何性质
知识梳理
范围
顶点
轴长 短轴长为 ,长轴长为 －a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a,0),
A2(a,0),
B1(0,－b),
B2(0,b)
A1(0,－a),
A2(0,a),
B1(－b,0),
B2(b,0)
2b
2a
知识梳理
焦点
焦距 |F1F2|= 对称性 对称轴: ,对称中心: 离心率 a,b,c的关系 F1(－c,0),
F2(c,0)
F1(0,－c),
F2(0,c)
2c
x轴和y轴
原点
a2=b2+c2
在椭圆的标准方程中,
焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大;
焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大.
释疑
重要结论
2.椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关,当a不变时,e越大,b越小,椭圆越扁;e越小,b越大,椭圆越圆.
3.椭圆系方程
重要结论
4.椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.
(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.
重要结论
(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a－c.
对点自测
[A] 10 [B] 13 [C] 14 [D] 16
D
对点自测
对点自测
B
对点自测
B
对点自测
对点自测
对点自测
3
考点一　椭圆的定义及应用
[例1] (1)已知两圆C1:(x－4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
D
【解析】 (1)设动圆的圆心M(x,y),半径为r,
圆M与圆C1:(x－4)2+y2=169内切,
与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,
所以|MC1|=13－r,|MC2|=3+r.
B
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
解题策略
B
【解析】 (2) 由已知可得a2=36,b2=20,所以c2=a2－b2=16,所以c=4,
又M为C上一点且在第一象限,△MF1F2为等腰三角形,
所以|MF1|=|F1F2|=2c=8,所以|MF2|=4.
考点二　椭圆的标准方程
C
(2)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)
B
解题策略
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
C
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A
考点三　椭圆的几何性质
D
角度1　椭圆的离心率
【解析】 (1)因为∠F1NF2=∠F1F2N,
所以|F1N|=|F1F2|=2c,
又|F1N|+|F2N|=2a,
所以|F2N|=2a－|F1N|=2a－2c,
B
解题策略
求椭圆离心率或其范围的方法
(3)构造a,c的二元齐次方程,将其转化为关于e的一元二次方程,从而求得e.
A
角度2　椭圆上的点有关的最值或范围问题
[A] [7,13] [B] [10,15]
[C] [10,13] [D] [7,15]
A
【解析】 (2)点P为椭圆上的动点,M,N分别为两个圆上的动点,三个点都是动点,这时需要研究图形的结构特征,注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、右焦点,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|的最大值为|PF1|+r1,最小值为|PF1|－r1,
|PN|的最大值为|PF2|+r2,最小值为|PF2|－r2,如图所示.
则求|PM|+|PN|的取值范围转化为求|PF1|+|PF2|的范围,又利用椭圆的定义得到|PF1|+|PF2|=2a=10.所以7=10－(1+2)≤|PM|+|PN|≤10+1+2=13.
从而所求取值范围为[7,13].故选A.
解题策略
与椭圆上的点有关的最值
或范围问题的求解方法
(1)设出椭圆上的点的坐标,构造关于以点的坐标为变量的函数关系式,利用函数知识求解.
(2)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
(3)根据几何图形的临界情况建立不等关系,如运用三点共线、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等性质求解.
[针对训练]
B
[A] [－16,0] [B] [－8,0]
[C] [0,8] [D] [0,16]
D
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
椭圆的定义及应用 1,6,7,13
椭圆的标准方程 2,4
椭圆的几何性质 3,9,10,12
椭圆的综合问题 5,8,11,14,15,16
基础巩固练
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
B
2.已知△ABC的周长等于10,|BC|=4,通过建立适当的平面直角坐标系,顶点A的轨迹方程可以是(　　)
A
【解析】 以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略),
则B(－2,0),C(2,0),又△ABC的周长等于10,
所以|AB|+|AC|=6>4=|BC|,
所以点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,所以a=3,c=2,b2=5,
C
A
BCD
12
4
(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.
【解】 (2)连接F1Q,如图所示,
由椭圆的定义,
|PF1|+|PF2|=2a,
|QF1|+|QF2|=2a.
从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a－2|PF1|.
综合运用练
A
C
【解析】 如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ交PF2于A,
由题意知OQ∥PF1,O为F1F2的中点,故A为PF2中点,
ACD
对于D,如图:
当P在Γ的外部时,因为a>c,所以以F1,F2为直径的圆与椭圆Γ必有交点,
C
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
应用创新练
BCD
ABC

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